（全国通用）高考数学二轮复习 第2部分 大专题综合测8 数学思想与数学方法（含解析）.doc

8数学思想与数学方法时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(2015新课标文，10)已知函数f(x)且f(a)3，则f(6a)()abcd答案a解析解法1：由已知条件可得函数图象：故f(a)3log2(a1)，可得a7；f(6a)f(1)2112.故本题正确答案为a解法2：由f(a)3得或解之得a7，f(6a)f(1).解法3：由指数函数的性质知2x10，2x122，f(a)3，log2(a1)3，a7，f(6a)f(1).(理)(2015湖北文，7)设xr，定义符号函数sgn x则()a|x|x|sgn x| b|x|xsgn |x|c|x|x|sgn x d|x|xsgn x答案d解析对于选项a，右边x|sgn x|而左边|x|显然不正确；对于选项b，右边xsgn|x|而左边|x|显然不正确；对于选项c，右边|x|sgn x而左边|x|显然不正确；对于选项d，右边xsgn x而左边|x|显然正确；故应选d2(文)如图，过抛物线yax2(a0)的焦点f作一直线交抛物线于p、q两点，若线段pf与fq的长分别为p、q，则等于()a4a b2aca da答案a解析由于弦pq只要求过焦点f，无论怎样的位置，结论都是一样的，故选取特殊位置不妨设pqx轴，则pq，4a.故选a(理)已知两定点a、b且|ab|4，动点p满足|pa|pb|3，则|pa|的最小值是()a bc d5答案c解析由题作出示意图，分析得出p在p点处|pa|min，|ao|2，|op|.|pa|min2.3设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x、y，有()axx bxxc2x2x dxx2x答案d解析选项a，取x1.5，则x1.52，x1.51，显然xx；选项b，取x1.5，则x221.51；选项c，取x1.5，则2x33,2x21.52，显然2x2x4(文)设0abb3 b1 dlg(ba)0答案d解析取a，b，则()32排除b；ab()1，排除c，故选d(理)(2015福建文，12)“对任意x，ksinxcosxx” 是“k1”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案b解析令f(t)sintt，t0，则f(t)cost10恒成立，f(t)在0，上单调递减，f(t)f(0)0，sintt，令t2x，则0x，因此当0x时可得sinxcosxx，当k1时，有ksinxcosxsinxcosxx，故必要性成立令x，则ksinxcosxx，即k，取k，满足ksinxcosx1，故充分性不成立5(文)函数yax2bx与ylog|x(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是()答案d解析对于选项a、b，对数函数单调递增，故1，1或1，但a、b两项二次函数的对称轴都在内，故a、b都不对对于c、d两选项，对数函数单调递减，故01，故11且0，0时，yf(x)与ylnx的图象有4个交点故选d6(2014石家庄市质检)已知两定点a(2，0)和b(2,0)，动点p(x，y)在直线l：yx3上移动，椭圆c以a，b为焦点且经过点p，则椭圆c的离心率的最大值为()a bc d 答案b解析如图，问题转化为在直线yx3上求一点p，使得|pa|pb|取最小值，作点a(2,0)关于直线yx3的对称点a，连接ab与直线yx3的交点p即为所求a(3,1)，|ab|，|pa|pb|pa|pb|ab|，椭圆的长轴长为2a，a，又椭圆的焦距2c4，c2，故离心率为e的最大值为.7(文)(2015安徽文，4)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()ayln x byx21cysin x dycos x答案d解析考查函数的奇偶性与零点选项a，yln x的定义域为(0，)，故yln x不具备奇偶性，故a错误；选项b，yx21是偶函数，但yx210无解，即不存在零点，故b错误；选项c，ysin x是奇函数，故c错；选项d，ycos x是偶函数，且ycos x0xk，kz，故d项正确(理)(2015北京文，3)下列函数中为偶函数的是()ayx2sin x byx2cos xcy|ln x| dy2x答案b解析根据偶函数的定义f(x)f(x)，a选项为奇函数，b选项为偶函数，c选项定义域为(0，)，不具有奇偶性，d选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选b8(文)已知三条直线l1：axy10，l2：xay10，l3：xya0能构成三角形，则()aa1 ba1ca1 da1且a2答案d解析若构成三角形，三条直线应不交于同一点且任意两条不平行，考察选择支，当a1时，l1l3，排除ba1时，l1l2，排除aa2时，可见交于同一点(1,1)排除c，选d(理)曲线1(m6)与曲线1(5m9)的()a焦距相等 b离心率相等c焦点相同 d准线相同答案a解析5m9，且m6，5m0成立s0，n112，n2015成立yf(2)cos，y0不成立n213，n2015成立yf(3)cos1，y0不成立n314，n2015成立yf(4)cos，y0不成立n415，n2015成立yf(5)cos，y0成立，s1，n516，n2015成立yf(6)cos21，y0成立，s112，n617，n2015成立yf(7)cos，yf(n)是周期为6的函数，当n2015时，201563355，输出的s3352671，选c(理)(2015南昌市二模)安排a，b，c，d，e，f六名女工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题义工a不安排照顾老人甲，义工b不安排照顾老人乙，安排方法共有()a30 b40c42 d48答案c解析若b照顾甲，则有ccc种方法；若b不照顾甲，则有ccc种方法，故适合条件的安排方法有cccccc42种二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13(文)设坐标原点为o，抛物线y24x与过焦点的直线交于a、b两点，则_.答案3解析由于没有限制直线ab的位置，故取其特殊位置与x轴垂直的情形可得a(1,2)，b(1，2)，3.点评其一般解法为：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，直线ab：xmy1，将xmy1代入y24x中消去x得，y24my40，y1y24m，y1y24，x1x2y1y2(my11)(my21)y1y2(m21)y1y2m(y1y2)1(m21)(4)4m213.(理)已知直线axbyc0与圆o：x2y21相交于a、b两点，且|ab|，则_.答案解析因为直线方程中的三个系数a、b、c均未知，因此直线位置不确定，故可利用条件|ab|取特殊位置来解答令a(，)，b(，)，则|ab|，.14(文)已知三个互不重合的平面、，m，n，且直线m、n不重合，由下列三个条件：m，n；m，n；n，n.能推出mn的条件是_答案或解析构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件：取平面为平面adda，平面为平面abcd，则直线m为直线ad因m，故可取平面为平面abcd，因为n且n，故可取直线n为直线ab.则直线ad与平面ab为异面直线，故m与n不平行对于：、取中平面，取平面为平面bccb，可取直线n为直线bc，故可推得mn；对于：，取中平面，取为平面abcd，取直线n为直线bc故可推得结论：(理)已知两个实数集aa1，a2，a60与bb1，b2，b25若从a到b的映射f使得b中每个元素都有原象，且f(a1)f(a2)f(a60)，则这样的映射共有_个答案c解析由映射的定义及条件知，a中每个元素在b中都有象，b中每个元素在a中都有原象，可以多对一，但不能一对多又由f(a1)f(a2)f(a60)知，象只能从大到小顺序排列，我们可以构造这样的数学模型来解决，将a1，a2，a60依次排成一列，从所形成的59个空隙中选取24个用插板隔开，然后让集合b中的元素按从大到小的顺序依次从左到右对应到这25个部分，每一部分有n个元素，这n个元素的象都是集合b中的这一个元素，共有c种对应方法15(2015福建理，14)若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析当x2时，x64，要使得函数f(x)的值域为4，)，只需f1(x)3logax(x2)的值域包含于4，)，故a1，所以f1(x)3loga2，所以3loga24，解得1a2，所以实数a的取值范围是(1,216(文)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为d(包含三角形内部与边界)若点p(x，y)是区域d内的任意一点，则x2y的取值范围是_答案2，解析由于y2x，所以抛物线在x1处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.画出可行域(如图)设x2yz，则yxz，可知当直线yxz经过点a(，0)，b(0，1)时，z分别取到最大值和最小值，此时最大值zmax，最小值zmin2，故z的取值范围是2，(理)(2014新课标理，16)设点m(x0,1)，若在圆o：x2y21上存在点n，使得omn45，则x0的取值范围是_答案1,1解析在坐标系中画出圆o和直线l：y1，其中m(x0,1)在直线上，设l与y轴交点为a，过m作o的切线mb，切点为b，则omboma45，又当x01时，omb45，当1x01时，点n存在，1x01.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(文)(2014江西理，16)已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，其中ar，(，)(1)当a，时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f()0，f()1，求a、的值审题要点(1)已知a和的值，求f(x)的最值，解题流程化简f(x)为一角一函形式求x的取值范围求sin(x)的取值范围求f(x)的最值(2)由f()0，f()1，求a、值解题流程由条件列关于a、的方程组解三角方程，结合(，)求a、的值解析(1)f(x)sin(x)cos(x)(sinxcosx)sinxcosxsinxsin(x)因为x0，从而x，故f(x)在0，上的最大值为，最小值为1.(2)由得又(，)知cos0，解得易错警示1.f(x)在0，上最值与f(x)在r上最值不同；2解a、的方程组时，注意(，)(理)(2014山东理，16)已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，设函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点(，)和(，2)(1)求m、n的值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间审题要点(1)由f(x)ab可得f(x)解析式，由f(x)图象上两点坐标可求m、n.(2)将f(x)化为“一角一函”形式求g(x)由g(x)图象上最高点与(0,3)最小距离为1，求求g(x)的递增区间解析(1)由题意知f(x)abmsin2xncos2x.因为yf(x)的图象过点(，)和(，2)，所以即解得m，n1.(2)由(1)知f(x)sin2xcos2x2sin(2x)由题意知g(x)f(x)2sin(2x2)设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x11，所以x00，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)将其代入yg(x)得sin(2)1，因为00.由a2a614，可得a47.由a3a545，得(7d)(7d)45，可得d2.所以a173d1.可得an2n1.(2)设cn，则c1c2cnan1.即c1c2cn2n，可得c12，且c1c2cncn12(n1)所以cn12，可知cn2(nn*)所以bn2n1，所以数列bn是首项为4，公比为2的等比数列所以前n项和sn2n24.(理)(2015江西上饶市三模)已知数列an的首项a11，an12an1.(1)求证：an1是等比数列；(2)求数列nan的前n项和sn.解析(1)an12an1，an112(an1)，则2为常数，an1是等比数列(2)a11，可得an12n，an2n1，则nann2nn，设tn12222n2n，则2tn122223n2n1tn222232nn2n1n2n1(n1)2n12sn(n1)2n12.21(本题满分12分)(文)设a0且a1，函数f(x)x2(a1)xalnx.(1)当a2时，求曲线yf(x)在(3，f(3)处切线的斜率；(2)求函数f(x)的极值点分析第(1)问求f(x)在(3，f(3)处的斜率就是求f (3)；第(2)问求f(x)的极值点，由于f(x)中含参数a，a的取值变化会引起f(x)单调区间的改变，从而极值改变，故需分类讨论解析(1)由已知x0，当a2时，f (x)x3，曲线yf(x)在(3，f(3)处切线的斜率为f (3).(2)f (x)x(a1).由f (x)0得x1或xa，若0a0，函数f(x)单调递增；当x(a,1)时，f (x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点若a1，则当x(0,1)时，f (x)0，函数f(x)单调递增；当x(1，a)时，f (x)0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点综上，当0a1时，x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点(理)已知函数f(x)ax2lnx，其中ar.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值是1，求a的值分析(1)求函数f(x)的单调区间，按用导数法求单调区间的一般步骤求解，由于f(x)解析式中含参数，故需分类讨论第(2)问可在第一问的基础上按区间上最值讨论方法令最大值等于1列方程求解解析(1)f (x)，x(0，)当a0时，f (x)0，从而函数f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，令f (x)0，解得x，舍去x.此时，f(x)与f (x)的情况如下：x(0，)(，)f (x)0f(x)f()所以，f(x)的单调递增区间是(0，)；单调递减区间是(，)(2)当a0时，由(1)得函数f(x)在(0,1上的最大值为f(1).令1，得a2，这与a0矛盾，舍去a2.当1a0时，1，由(1)得函数f(x)在(0,1上的最大值为f(1).令1，得a2，这与1a0矛盾，舍去a2.当a1时，01，由(1)得函数f(x)在(0,1上的最大值为f()令f()1，解得ae，满足ab0)，f(c,0)，(c0)，则过右焦点f的直线l1：xyc0，由坐标原点o到l1的距离为.则，解得c1.又e，故a，b1.所求椭圆方程为y21.(2)假设存在点m(m,0)(0m0恒成立，x1x2，x1x2.设线段pq的中点为n(x0，y0)，则x0，y0k(x01)，|mp|mq|，mnpq，kmnkpq1，即k1，m.k20，0mb0)的上顶点为(0,1)，且离心率为.(1)求椭圆c的方程；(2)证明：过椭圆1(mn0)上一点q(x0，y0)的切线方程为1；(3)从圆x2y216上一点p向椭圆c引两条切线，切点分别为a、b，当直线ab分别与x轴、y轴交于m、n两点时，求|mn|的最小值解析(1)b1，e，a2，椭圆c的方程为y21.(2)当y0时，yn，故y，当y00时，切线的斜率kx0.切线方程为yy0(xx0)，n2x0xm2y0ym2yn2xm2n2，1.当y00时，切线方程为xm，满足1.综上，过椭圆1上一点q(x0，y0)的切线方程为1.(3)设点p(xp，yp)为圆x2y216上一点，pa、pb是椭圆y21的切线，切点a(x1，y1)、b(x2，y2)，过点a的椭圆的切线为y1y1，过点b的椭圆的切线为y2y1.两切线都过p点，y1yp1，y2yp1.切点弦ab所在直线的方程为yyp1.n(0，)，m(，0)，|mn|2()(1716)(172)，当且仅当16，即x，y时取等号，|mn|，|mn|的最小值为.反馈练习一、选择题1(文)(2014山东理，5)已知实数x、y满足axay(0a bln(x21)ln(y21)csinxsiny dx3y3答案d解析axay(0ay，而幂函数yx3在定义域上为增函数，x3y3.点评可以用特值检验法求解(理)(2014唐山市二模)若正数a、b、c满足c24bc2ac8ab8，则a2bc的最小值为()a b2c2 d2答案d解析c24bc2ac8ab8，c(c4b)2a(c4b)8，(c4b)(c2a)8，a、b、c都为正数，(c4b)(c2a)()2，(a2bc)28，a2bc2.2(文)(2014新课标文，5)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和sn()an(n1) bn(n1)c d答案a解析a2，a4，a8成等比数列，an的公差为2, (a16)2(a12)(a114)，a12，snna12n2n(n1)(理)设等差数列an的前n项和为sn，sm12，sm0，sm13，则m()a3b4c5d6答案c解析smsm1am2，sm1smam13，dam1am321，sma1m10，ama1(m1)12，a13m.代入得3mm20，m0(舍去)或m5，故选c3(文)(2014哈三中二模)在abc中，内角a，b，c的对边长分别为a，b，c，且a2c22b，3，则b等于()a3b4c6d7答案b解析3，sinacosc3sinccosa，sinbsin(ac)4sinccosa，b4c，b22(a2c2)4b，b0，b4.(理)(2014东北三省三校二模)已知方程k在(0，)上有两个不同的解、()，则下列的四个命题正确的是()asin22cos2 bcos22sin2csin22sin2 dcos22sin2答案c解析令y|cosx|，ykx，在同一坐标系中画出它们的图象，如图所示，0，检验可知，选c4(文)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图如图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：87794010x91则7个剩余分数的方差为()a bc36 d答案b解析去掉最高最低分后的数据为87,90,90,91,91,94,90x，由91得x4，则方差s2(8791)2(9091)2(9091)2(9191)2(9491)2(9191)2(9491)2.(理)若随机变量xn(1,4)，p(x0)m，则p(0x2)()a12m bc d1m答案a解析本题可利用正态曲线的对称性解答据题意知正态曲线关于直线x1对称，故p(0x1)p(x0)m，因此p(0x2)2p(0x1)2(m)12m.5已知是三角形的最大内角，且cos2，则曲线1的离心率为()abc d 答案d解析是三角形的最大内角，20)与函数y|sinx|的图象恰有四个公共点a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，d(x4，y4)其中x1x2x30)与y|sinx|图象恰有四个公共点，如图当x(，2)时，函数y|sinx|sinx，ycosx.依题意，切点为(x4，y4)，kcosx4，又x(，2)时，|sinx4|sinx4y4k(x41)，即sinx4(cosx4)(x41)，sinx4(x41)cosx4，故选b8(文)(2015河北省衡水中学一模)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a、b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x()a10 b12c13 d16答案c解析如图所示，画出约束条件所表示的可行域，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bn，可知当a6，b7时，xab13.(理)(2015重庆文，10)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()a3 b1c d3答案b解析如图，由于不等式组表示的平面区域为三角形abc，且其面积等于，再注意到直线ab：xy20与直线bc：xy2m0互相垂直，所以三角形abc是直角三角形；易知，a(2,0)，b(1m，m1)，c(，)；从而sabc|22m|m1|22m|，化简得：(m1)24，解得m3，或m1；检验知当m3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m1；故选b9(文)一个四面体的顶点在空间直角坐系oxyz中的坐标分别是(1,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)、(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到的正视图可为()答案a解析由已知条件作出四面体的直观图如图所示，将四面体bdc1a1补形为正方体abcda1b1c1d1，容易看出四面体在zox平面上的投影为add1a1(其中c1的投影为d1，b的投影为a)，且bc1的投影线为ad1，它是实线，故选a(理)(2014新课标理，12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()a6 b6c4 d4答案b解析由三视图可知，该几何体是一个三棱锥sabc，底面abc为等腰直角三角形，直角边长abbc4，侧面sbc底面abc，侧面sbc是一个等腰三角形，底边bc4，高so4，故其最长的棱为sa，取bc的中点o，则so平面abc，bo2，ao，sa6.其直观图如图1，把该几何体放入正方体中如图2