（全国通用）高考数学二轮复习 第2部分 大专题综合测6 不等式与线性规划、推理与证明、框图（含解析）.doc

6不等式与线性规划、推理与证明、框图时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(2015山东文，1)已知集合ax|2x4，bx|(x1)(x3)0，则ab()a(1,3)b(1,4)c(2,3)d(2,4)答案c解析考查1.集合的基本运算；2.一元二次不等式的解法因为bx|1x3，所以ab(2,3)，故选c.(理)(2015南昌市一模)若集合ax|13x81，bx|log2(x2x)1，则ab()a(2,4b2,4c(，0)0,4d(，1)0,4答案a解析因为ax|13x81x|303x34x|0x4，bx|log2(x2x)1x|x2x2x|x2，所以abx|0x4x|x2x|20”是“ab0”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件答案d解析考查1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质本题采用特殊值法：当a3，b1时，ab0，但ab0，但ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件，故选d(理)已知a1、a2(1，)，设p，q1，则p与q的大小关系为()apqbp1，a21，pq()(1)0，p4，第四次执行循环体，第四次循环后，k5，此时不满足条件，ssin，故输出，选d(理)(2015湖南理，3)执行如图所示的程序框图如果输入n3，则输出的s()a.bc.d答案b解析考查1.程序框图；2.裂项相消法求数列的和由题意得，输出的s为数列的前三项和，而，sns3，故选b8已知a、b分别为直线yx1的斜率与纵截距，复数z在复平面上对应的点到原点的距离为()a1b2c4d答案b解析由已知得，a1，b1，z2i，故复数z在复平面上对应的点的坐标为(0，2)，所求距离为2，选b9(文)设实数x、y满足条件则y4x的最大值是()a4bc4d7答案c解析作出可行域如图，令y4xz，则当直线y4xz经过点a(1,0)时，zmax4.(理)(2015安徽文，5)已知x，y满足约束条件则z2xy的最大值是()a1b2c5d1答案a解析根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：由z2xy得，y2xz，可知在图中a(1,1)处，z2xy取到最大值1，故选a.10(文)已知x、y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为()a5b4c. d2答案b解析本题考查线性规划与点到直线的距离如图所示由解得a点坐标为(2,1)，zaxby在a点处取得最小值2，即2ab2.a2b2可看作两点(0,0)(a，b)的距离的平方，原点到直线2ab2的距离的平方是()24.(理)不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为()a2b1c0 d1答案d解析由于不等式组表示面积为1的直角三角形区域，直线ykx与直线x1垂直或与直线xy40垂直，再由围成面积为1的直角三角形区域知k1.11(文)已知x、yr，且满足，则x2y26x的最小值等于()ab4c0d1答案a解析作出可行域如图，x2y26x(x3)2y29表示平面区域abc内的点到点p(3,0)距离的平方减去9，由于|pa|，p到直线yx的距离d，x2y26x，故选a.(理)(2014新课标文，8)执行下面的程序框图，如果输入的x、t均为2，则输出的s()a4b5c6d7答案d解析程序运行过程依次为：x2，t2，m1，s3，k1m22，s235，k2m22，s257，k3，32，不满足kt，输出s7后结束12(文)(2015北京理，6)设an是等差数列下列结论中正确的是()a若a1a20，则a2a30b若a1a30，则a1a20c若0a1a2，则a2d若a10，则(a2a1)(a2a3)0答案c解析考查等差数列通项公式；作差比较法先分析四个答案，a举一反例a12，a21，a34，a1a20，而a2a30，a错误；b举同样反例a12，a21，a34，a1a30，b错误；下面针对c进行研究，an是等差数列，若0a10，设公差为d，则d0，数列各项均为正，由于aa1a3(a1d)2a1(a12d)a2a1dd2a2a1dd20，则aa1a3a2，选c.(理)(2015广东文，10)若集合e(p，q，r，s)|0ps4,0qs4,0rs4且p，q，r，sn，f(t，u，v，w)|0tu4,0vw4且t，u，v，wn，用card (x)表示集合x中的元素个数，则card(e)card(f)()a200b150c100d50答案a解析当s4时，p，q，r都是取0,1,2,3中的一个，有44464种，当s3时，p，q，r都是取0,1,2中的一个，有33327种，当s2时，p，q，r都是取0,1中的一个，有2228种，当s1时，p，q，r都取0，有1种，所以card(e)642781100，当t0时，u取1,2,3,4中的一个，有4种，当t1时，u取2,3,4中的一个，有3种，当t2时，u取3,4中的一个，有2种，当t3时，u取4，有1种，所以t、u的取值有123410种，同理，v、w的取值也有10种，所以card(f)1010100，所以card(e)card(f)100100200，故选a.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13(文)(2014哈三中二模)对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然2位对称数有9个：11,22,33，99,3位对称数有90个：101,111,121，191,202，999，则2n1(nn*)位对称数有_个答案910n解析易知对称数的位数与个数如表：位数2345个数990909002n1位对称数有910n个(理)(2014东北三省三校二模)观察下列等式：1312,132332,13233362根据上述规律，第n个等式为_答案1323n3解析本题考查归纳推理，等式左边是连续n个正整数的立方和，右边的数都是整数的平方，由于11,123,1236,123410，第n个等式右边是(123n)2，即2，故填1323n3.方法点拨由几个表达式归纳得出一个包含已知表达式在内的一般结论时，要注意从数字规律、结构特征、符号规律等多方面进行考察，最重要的切入点还是结构特征14(文)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是_答案15解析由ttk可知t是一个累加变量，原题实质为求123k的和，其和为.令105，得k14.故当k15时，t12315120105，此时输出k15.(理)(2014河南豫东、豫北十所名校联考)如果执行如图所示的程序框图，那么输出s的值为_答案2548解析程序运行过程为：k1，s0，k50满足s0212，k110，k50满足s2202，k011，k50满足s22(1)，k112，k50满足依次进行下去，到k50时仍满足k50，s的值减去2(50)，k50151，此时不再满足条件k50，输出s的值后结束循环，故输出s的值为22(1)2(2)2(50)22(12350)222548.15(文)不等式组表示的平面区域为d，则区域d的面积为_，zxy的最大值为_答案22解析作出区域d如图，其面积s222，当直线zxy过点a(2,0)时，zmax2.(理)如果直线axby50(a0，b0)和函数f(x)mx11(m0，m1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(xa1)2(yb)2的内部或圆上，那么的取值范围是_答案，解析根据指数函数的性质，可知函数f(x)mx11(m0，m1)恒过定点(1,2)，将点(1,2)代入axby50，可以得到a2b5.对作如下变形：.由于(1,2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a2(b)2.由解得或这说明点(a，b)在以a(1,2)和b(3,1)为端点的线段上运动，所以的取值范围是，2，从而的取值范围是2，进一步可以推得的取值范围是，点拨对于指数函数恒过定点的问题，就是让幂指数为零，则函数值必然为1.同时对于点在圆内和圆上的文字语言，只有准确翻译为符号语言，才能得到a，b的关系式，进一步求解后面的问题另外，我们得到a，b表达式后，能否利用，来表示的范围，即为所求的结果，这个是难点，体现了数学中的转化思想的运用16(文)(2014河北衡水中学二调)椭圆中有如下结论：椭圆1(ab0)上斜率为1的弦的中点在直线0上，类比上述结论：双曲线1(a，b0)上斜率为1的弦的中点在直线_上答案0解析椭圆1(a0，b0)上斜率为1的弦的中点在直线0上类比上述结论可知，双曲线1(a0，b0)上斜率为1的弦的中点在直线0上(理)平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，xn)表示设向量a(a1，a2，a3，an)，b(b1，b2，b3，bn)，规定向量a与b的夹角的余弦为cos.当a(1,1,1，1，b(1，1，1,1，1时，cos_.答案解析依据n维向量的坐标表示及n维向量a与b的夹角余弦公式得，当a(1,1,1，1，b(1，1，1,1，1时，ibi1(1)1(1)1111n4.121212n，(1)2(1)21212n，cos.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分10分)(文)如图所示，在复平面内有三点p1、p2、p3对应的复数分别为1a、12a、13a，且oa1，|a|2，o为原点，若sp1op2sp2op32，求对应的复数a.解析由向量加法的运算法则知，i1,2,3.p1、p2、p3对应的复数分别为1a、12a、13a，、对应的复数为a、2a、3a，即a、p1、p2、p3共线，设与x轴正方向夹角为.|a|2，saop3|sin1|3a|sin3sin.saop1|sin1|a|sinsin.显然sp1op2sp2op3soap3soap12sin.从而2sin2，sin1，(0，)，因此a2i.(理)对于任意的复数zxyi(x、yr)，定义运算p(z)x2cos(y)isin(y)(1)集合a|p(z)，|z|1，x、y均为整数，试用列举法写出集合a；(2)若z2yi(yr)，p(z)为纯虚数，求|z|的最小值；(3)直线l：yx9上是否存在整点(x，y)(坐标x、y均为整数的点)，使复数zxyi经运算p后，p(z)对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由解析(1)x2y21，由于x、yz，得p(1)1，p(i)0，p(0)0，a0,1(2)若z2yi(yr)，则p(z)4cos(y)isin(y)若p(z)为纯虚数，则yk，kz，|z|，kz，当k0或1时，|z|min.(3)p(z)对应点坐标为(x2cos(y)，x2sin(y)，由题意得x2sin(x9)x2cos(x9)9，x2sin(x)x2cos(x)9.xz，当x2k，kz时，得x290不成立；当x2k1，kz时，得x290，x3成立此时或即z36i或z312i.18(本题满分12分)观察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2012是第几行的第几个数？(4)是否存在nn*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227213120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由解析(1)第n1行的第1个数是2n，第n行的最后一个数是2n1.(2)2n1(2n11)(2n12)(2n1)322n32n2.(3)2101024,2112048,102420122048，2012在第11行，该行第1个数是2101024，由201210241989，知2012是第11行的第989个数(4)设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为sn.则an322n32n2，an1322n12n1，an2322n12n，an9322n152n7，sn3(22n322n122n15)(2n22n12n7)322n1722n32n82n2，n5时，s52271282138227213120.存在n5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227213120.19(本题满分12分)(文)看下面一段发现数学公式的过程，指出各自运用了哪种推理方式公式：s2(n)122232n2(nn*)(1)首先列表计算观察：n12345678s2(n)1514305591140204此处思维过程运用了什么推理？(2)从上表中的数据没有明显的发现，于是联想到正整数之和的公式s1(n)123nn(n1)，二者能否有关系呢？此处思维过程运用了什么推理？(3)再列表计算、比对：n12345678s1(n)1361015212836s2(n)1514305591140204此处思维过程运用了什么推理？(4)从上表中数据没有看出明显的规律，再进一步列表计算：n12345678s1(n)1361015212836s2(n)1514305591140204此处思维过程运用了什么推理？(5)从上表发现了规律：，于是猜想：s2(n)n(n1)(2n1)此处思维过程运用了什么推理？解析(1)通过直接计算得到对应的数字，用的是演绎推理(2)通过比较，用的是类比推理(3)通过直接计算得到对应的数字，用的也是演绎推理(4)通过直接计算得到对应的数字，用的还是演绎推理(5)通过分析规律，加以总结，用的是归纳推理(理)先阅读下列框图，再解答有关问题：(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？(2)当输入已知量n时，输出a的结果是什么？试证明之；输出s的结果是什么？写出求s的过程解析(1)当n1时，a；当n2时，a；当n3时，a.(2)(方法一)当输入n时，中输出结果为an，中输出结果为sn，则a1，anan1(n2)，所以(n2)所以ana1.(方法二)由a1，a2，a3，猜想an.证明：(1)当n1时，结论成立，(2)假设当nk(k1，kn*)时结论成立，即ak，则当nk1时，ak1ak.所以当nk1时，结论成立，故对nn*，都有an成立因为an()，所以sna1a2an(1)()()(1).20(本题满分12分)(文)(2015唐山一模)设数列an的前n项和为sn，满足(1q)snqan1，且q(q1)0.(1)求an的通项公式；(2)若s3，s9，s6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列解析(1)当n1时，由(1q)s1qa11得，a11.当n2时，由(1q)snqan1，得(1q)sn1qan11，两式相减得anqan1，又q(q1)0，所以an是以1为首项，q为公比的等比数列，故anqn1.(2)由(1)可知sn，又s3s62s9，得，化简得a3a62a9，两边同除以q得a2a52a8.故a2，a8，a5成等差数列(理)在数列an中，a11，an11，bn，其中nn*.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求证：bn1(nn*，n2)解析(1)证明：bn1bn1，数列bn为等差数列(2)因为b11，所以bn1(n1)n，bn1n1(n2)，原不等式即为证明n1(nn*，n2)，即1n(nn*，n2)成立用数学归纳法证明如下：当n2时，12成立，所以n2时，原不等式成立；假设当nk时，1k成立；当nk1时，1kkkk1，所以当nk1时，不等式成立，所以nn*，n2，总有0)的图象(如图)与x轴有两个不同的公共点，若f(c)0，且0x0.(1)试比较与c的大小；(2)证明：2b1.解析(1)由已知，f(x)的图象与x轴有两个不同的公共点，所以f(x)0有两个不同的实数根x1、x2.因为f(c)0，且x1x2，所以f(x)0的两个根就是c和.如果0，故0，即0c，而当0x0，所以有f()0.这与是f(x)0的根矛盾，所以c.(2)证明：因为f(c)0，所以ac2bcc0.又c0，故acb10.因为a0，c0，所以ac0.于是b10.故b1.又f(x)的图象的对称轴为x，且f(x)0的两根为c和，且c，所以2.故2b1时，x(x3)elnx0.解析(1)因为f(x)，其定义域为(0,1)(1，)f(x)，由f(x)0得f(x)的单调递增区间为(，)，由f(x)1时，f(x)的最小值为f()2e；令g(x)(x23x)e，x(1，)，则g(x)e(x2)(x3)e，由g(x)0得函数g(x)在区间(1,2)上单调递增；由g(x)1时，f(x)g(x)(x23x)e，整理即得x(x3)elnx0.22(本题满分12分)(文)(2015陕西文，21)设fn(x)xx2xn1，x0，nn，n2.(1)求fn(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0an1时，因为ak2ak1或ak2ak136，所以2ak1是3的倍数，于是ak1是3的倍数，类似可得，ak2，a1都是3的倍数，从而对任意n1，an是3的倍数，因此m的所有元素都是3的倍数(3)a136，ana118，a22a136,18a136时，02a13636，a236.假设ak36，则当ak18时，ak12ak36，当183成立，输出s值为64.5(2014新乡、许昌、平顶山调研)复数z1、z2满足z1m(4m2)i，z22cos(3sin)i(m、r)，并且z1z2，则的取值范围是()a1,1b，1c，7d ，1答案c解析z1z2，m(4m2)i2cos(3sin)i，4sin23sin4(sin)2，当sin时，取最小值，当sin1时，取最大值7，故选c.6(文)执行如图所示的程序框图，若n4，则输出s的值是()a42b21c11d43答案c解析程序运行过程依次为：n4s1，i1，in成立s1(2)11，i112，in仍成立s1(2)23，i213，in仍成立s3(2)35，i314，in仍成立s5(2)411，i415，in不成立输出s的值11后结束(理)已知x、y满足不等式组，则z2xy的最大值与最小值的比值为()a.bc.d2答案d解析作出可行域如图，作直线l0：2xy0，平移l0当经过点a时，zmin3，当经过点c时，zmax6，所求比值为2.7(2015陕西西工大附中六模)已知：x(0，)，观察下列式子：x2，x3类比有xn1(nn*)，则a的值为()annbncn2dn1答案a解析根据推理知识求解由x2，x3，可得xn1(nn*)，所以ann，故选a.8已知点an(n，an)(nn*)都在函数f(x)logax(a0且a1)的图象上，则a2a10与2a6的大小关系为()aa2a102a6ba2a101，ylogax为增函数，则loga20loga36，a2a102a6，若0a2a6，故选d9(文)(2014郑州市质检)阅读下边的程序框图，则输出的s为()a6b10c14d30答案d解析执行一次，s1，i2；执行二次，s145，i3；执行三次，s53214，i4；执行四次，s144230，i5，此时满足条件i4，故输出的s为30.(理)在如图所示的计算1352013的程序框图中，判断框内应填入()ai1007bi2011ci2013di2013答案d解析由框图知，s1352013，i初值为1，步长为2，s中加上的最后一项为2013，故判断框中的条件应为i2013.10(文)(2014中原名校联考)已知实数x、y满足，若z3xy的最大值为16，则a_.答案0解析直线yx与y1交点a(1,1)，显然z3xy最优点不是a点，由，得b(，)，由，得c(4a,1)，若最优点为b，则a0，若最优点为c，则a1，经检验知a1不合题意，a0.(理)若实数x、y满足不等式组则w的取值范围是()a1，b，c，)d，1)答案d解析作出不等式组表示的平面区域如图所示据题意，即求点m(x，y)与点p(1,1)连线斜率的取值范围由图可知wmin，wmax5.程序结束，输出s0，故选c.12(文)设a1、a2、a3、a4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若(r)，(r)且2，则称a3、a4调和分割a1a2.已知点c(c,0)、d(d,0)(c、dr)调和分割点a(0,0)，b(1,0)，则下面说法正确的是()ac可能是线段ab的中点bd可能是线段ab的中点cc、d可能同时在线段ab上dc、d不可能同时在线段ab的延长线上答案d解析由(r)，(r)知：四点a1、a2、a3、a4在同一条直线上，因为c、d调和分割点a、b，所以a、b、c、d四点在同一直线上，且2，故选d(理)abc满足2，bac30，设m是abc内的一点(不在边界上)，定义f(m)(x，y，z)，其中x、y、z分别表示mbc、mca、mab的面积，若f(m)(x，y，)，则的最小值为()a9b8c18 d16答案c解析2，bac30，|4，sabcabacsin30|sin301，f(m)(x，y，)，xysmbcsmcasmabsabc1，xy，()2(xy)2(5)2(52)18，等号在，即x，y时成立二、填空题13若不等式1ax2bxc1的解集为(1,3)，则实数a的取值范围是_答案(，)解析当a0时，存在b，c，使得相应的不等式1ax2bxc0时，依题意得，1与3是方程ax2bxc1的两根，且ax2bxc1恒成立，于是有解得0a；当a0时，依题意得，1与3是方程ax2bxc1的两根，且ax2bxc1恒成立，于是有解得a(x2)3x2的解集是_答案(，1)(2，)解析原不等式变形为x6x2(x2)3(x2)，令f(x)x3x，易知f(x)在r上单调递增，故原不等式等价于f(x2)f(x2)等价于x2x2，解之得x2.原不等式的解集为(，1)(2，)(理)当xr，|x|1loga(x)(a0，a1)解析原不等式等价于loga(x2x2)loga(ax2)当a1时，式可化为即亦即xa1.当0a1时，原不等式的解集为x|xa1；当0a0)(1)当a1时，求过点p(1,0)且与曲线yf(x)相切的直线方程；(2)当x0,1时，不等式xf(x)x恒成立，求a的取值集合解析(1)a1时，f(x)x3x，则f (x)3x21，设切点t(x0，y0)，则f (x0)3x1，切线方程为yy0f (x0)(xx0)，即y(xx0)(3x1)(xx0)把(1,0)代入得(x01)2(2x01)0，x01或x0.当x01时，切线方程为y2x2；当x0时，切线方程为yx.(2)不等式xf(x)x，即xx3axx，当x0时，不等式显然成立当x(0,1时，不等式化为x2ax2，设g(x)x2，h(x)x2，则g(x)2x0，g(x)在(0,1上单调递增，g(x)maxg(1)1，h(x)，h(x)在(0，上单调递减，在(，1上单调递增，h(x)minh()1，1a1，a1.综上知，a的取值集合为119观察下面的式子：sin23cos227sin3cos27，sin26cos224sin6cos24，sin29cos221sin9cos21，sin212cos218sin12cos18.由此你能发现什么？写出你的结论，并给出证明分析 根据上述特征，归纳出结论解析题设中各等式形式完全相同，都是sin2cos2sincos的形式，虽然