（全国通用）高考数学 6.7 数学归纳法练习.doc

课时提升作业(三十九)数学归纳法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015郑州模拟)用数学归纳法证明1+2+3+n2=n4+n22,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()a.k2+1b.(k+1)2c.(k+1)4+4(k+1)22d.(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2【解析】选d.当n=k时,左边=1+2+3+k2,当n=k+1时,左边=1+2+k2+(k2+1)+(k+1)2,所以应加上(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.2.用数学归纳法证明“2nn2+1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()a.2b.3c.5d.6【解析】选c.当n=1时,21=2=12+1,当n=2时,22=422+1=5,当n=3时,23=832+1=10,当n=4时,24=1652+1=26,当n=6时,26=6462+1=37,故起始值n0应取5.3.(2015南昌模拟)已知f(n)=12+22+32+(2n)2,则f(k+1)与f(k)的关系是()a.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2b.f(k+1)=f(k)+(k+1)2c.f(k+1)=f(k)+(2k+2)2d.f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选a.f(k+1)=12+22+32+(2k)2+(2k+1)2+2(k+1)2=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2,故选a.4.(2015潍坊模拟)某个命题与正整数有关,若当n=k(kn*)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知当n=4时该命题不成立,那么可推得()a.当n=5时,该命题不成立b.当n=5时,该命题成立c.当n=3时,该命题成立d.当n=3时,该命题不成立【解析】选d.由数学归纳法的特点可以知道,当n=4时该命题不成立,可知当n=3时,该命题不成立.5.对于不等式n2+nn+1(nn*),某同学用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,12+11+1,不等式成立.(2)假设当n=k(kn*)时,不等式成立,即k2+kk+1,则当n=k+1时,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2(k2+3k+2)+(k+2)=(k+2)2=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.()a.过程全部正确b.n=1验证不正确c.归纳假设不正确d.从n=k到n=k+1的推理不正确【解题提示】此证明中,在推出p(k+1)成立中,并没有用到假设p(k)成立的形式,不是数学归纳法.【解析】选d.在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,即从n=k到n=k+1的推理不正确,故选d.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015洛阳模拟)用数学归纳法证明1+12+13+12n-11)时,第一步应验证的不等式是.【解析】由nn*,n1知,n取第一个值n0=2,当n=2时,不等式为1+12+132.答案:1+12+132【误区警示】此题很容易出现,第一步验证的不等式是n=2时左边为1+12,缺少了13,而导致答案不正确.7.设sn=1+12+13+14+12n,则sn+1-sn=.【解析】因为sn+1=1+12+12n+12n+1+12n+2n,sn=1+12+13+14+12n,所以sn+1-sn=12n+1+12n+2+12n+2n.答案:12n+1+12n+2+12n+3+12n+2n8.设数列an的前n项和为sn,且对任意的正整数n都有(sn-1)2=ansn,通过计算s1,s2,s3,猜想sn=.【解析】由(s1-1)2=s12得:s1=12;由(s2-1)2=(s2-s1)s2得:s2=23;由(s3-1)2=(s3-s2)s3得:s3=34.猜想sn=nn+1.答案:nn+1三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列an中,1a12,an+1=1+an-12an2(nn*),求证:(1)a3118,32.(2)当n3时,|an-2|12n.【证明】(1)因为1a1-18,32-218,所以-18a3-218,即|a3-2|18.假设当n=k(k3且kn*)时,|ak-2|12k成立,则当n=k+1时,|ak+1-2|=12|ak-2|ak+2-2|1212k12k+22-212k+1,即n=k+1时结论成立.由可知,当n3时,|an-2|12n.【方法技巧】数学归纳法证明不等式的种类和注意点(1)证明不等式的种类一般有三种:一是直接给出不等式;二是比较两个式子的大小,先利用n的几个特殊值猜想大小再证明;三是已知不等式成立,寻求变量的取值范围.(2)从n=k到n=k+1成立时,一定要用假设n=k的中间过渡,可以用放缩法、基本不等式、分析法等.10.已知各项均为正数的数列an的首项a1=1,对任意的正整数n都有(n2+n)(an2-an+12)=1,(1)求数列an的通项公式.(2)若数列an的前n项和为sn,求证:sn0,所以an=1n.(2)因为an=1n,所以sn=1+12+13+1n.当n=1时,左边=1,右边=2,左右,所以n=1时,sn2n.假设n=k(k1,kn*)时所证不等式成立,即sk2k,当n=k+1时,sk+1=1+12+13+1k+1k+12k+1k+1=2k(k+1)+1k+10,(n2+n)(an2-an+12)=1,所以a2=12,a3=13,a4=12=14,猜想an=1n,下面用数学归纳法证明,当n=1时,因为a1=1,所以n=1时,an=1n.假设n=k(k1,kn*)时所证成立,即ak=1k,当n=k+1时,因为(k2+k)(ak2-ak+12)=1,所以ak+12=ak2-1k2+k=1k-1k2+k=1k+1.所以ak+1=1k+1.故当n=k+1时,an=1n仍成立,由可知,对任意nn*,an=1n成立.(2)因为1n=22n2n+n-1=2(n-n-1),所以sn=1+12+13+1n12,1+12+131,1+12+13+1732,1+12+13+1152,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.【解析】一般结论:1+12+13+12n-1n2(nn*),证明如下:(1)当n=1时,由题设条件知命题成立.(2)假设当n=k(kn*)时,猜想正确,即1+12+13+12k-1k2.当n=k+1时,1+12+13+12k-1+12k+12k+1-1k2+12k+12k+1+12k+1-1k2+12k+1+12k+1+12k+1=k2+2k2k+1=k+12,所以当n=k+1时,不等式成立.根据(1)(2)可知,对nn*,1+12+13+12n-1n2.(20分钟40分)1.(5分)(2015天津模拟)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是()a.若f(1)1成立,则f(10)100成立b.若f(2)4成立,则f(1)1成立c.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立d.若f(4)16成立,则当k4时,均有f(k)k2成立【解析】选d.选项a,b与题设中不等号方向不同,故a,b错;选项c中,应该是k3时,均有f(k)k2成立;选项d符合题意.2.(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是()a.假使n=2k+1时正确,再推n=2k+3时正确(kn*)b.假使n=2k-1时正确,再推n=2k+1时正确(kn*)c.假使n=k时正确,再推n=k+1时正确(kn*)d.假使nk(k1)时正确,再推n=k+2时正确(kn*)【解析】选b.因为n为正奇数,根据数学归纳法证题的步骤,第二步应先假设第k个正奇数也成立,本题即假设n=2k-1(kn*)时正确,再推第k+1个正奇数,即n=2k+1时正确,故选b.3.(5分)平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+.【解析】当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.答案:k+14.(12分)(2015汉沽模拟)如图,p1(x1,y1),p2(x2,y2),pn(xn,yn)(0y1y2yn)是曲线c:y2=3x(y0)上的n个点,点ai(ai,0)(i=1,2,3,n)在x轴的正半轴上,且ai-1aipi是正三角形(a0是坐标原点).(1)写出a1,a2,a3.(2)求出点an(an,0)(nn*)的横坐标an关于n的表达式并证明.【解析】(1)a1=2,a2=6,a3=12.(2)依题意,得xn=an-1+an2,yn=3an-an-12,由此及yn2=3xn得3an-an-122=32(an+an-1),即(an-an-1)2=2(an-1+an).由(1)可猜想:an=n(n+1)(nn*).下面用数学归纳法予以证明:当n=1时,命题显然成立.假设当n=k(kn*)时命题成立,即有ak=k(k+1),则当n=k+1时,由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1),得ak+1-k(k+1)2=2k(k+1)+ak+1,即ak+12-2(k2+k+1)ak+1+k(k-1)(k+1)(k+2)=0,解得ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)0,数列bn满足bn=an+an+2an+1(n=1,2,3,4,)(1)求b1,b2,b3,b4.(2)求数列bn的通项公式.(3)是否存在正数k,使得数列an的每一项均为整数,如果不存在,说明理由,如果存在,求出所有的k.【解析】(1)经过计算可知:a4=k+1,a5=k+2,a6=k+4+2k.求得b1=b3=2,b2=b4=2k+1k.(2)由条件可知:an+1an-2=k+anan-1.类似地有:an+2an-1=k+an+1an-有:an+an+2an+1=an-2+anan-1,即:bn=bn-2.所以b2n-1=b2n-3=b1=a1+a3a2=2,b2n=b2n-2=b2=a2+a4a3=2k+1k,所以bn=4k+12k+(-1)n2k.(3)假设存在正数k,使得数列an的每一项均为整数,则由(2)可知:a2n+1=2a2n-a2n-1a2n+2=2k+1ka2n+1-a2n由a1=kz,a6=k+4+2kz可知k=1,2.当k=1时,2k+1k=3为整数,利用a1,a2,a3z,结合式,反复递推,可知an的每一项均为整数,当k=2时,变为a2n+1=2a2n-a2n-1a2n+2=52a2n+1-a2n我们用数学归纳法证明a2n-1为偶数,a2n为整数,n=1时,结论显然成立,假设n=k时结论成立,这时a2n-1为偶数,a2n为整数,故a2n+1=2a2n-a2n-1为偶数,a2n-2为整数,所以n=k+1时,命题成立,故数列an是整数列,综上所述,k的取值集合是1,2.【加固训练】设数列an的前n项和为sn,且方程x2-anx-an=0有一根为sn-1(nn*).(1)求a1,a2.(2)猜想数列sn的通项公式,并给出证明.【解析】(1)当n=1时,方程x2-a1x-a1=0有一根为s1-1=a1-1,所以(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=12.当n=2时,方程x2-a2x-a2=0有一根为s2-1=a1+a2-1=a2-12,所以a2-122-a2a2-12-a2=0,解得a2=16.(2)由