高中数学 第一章 基本初等函数（II）1.2 任意角的三角函数 1.2.2 单位圆与三角函数线课堂导学案 新人教B版必修4.doc

1.2.2 单位圆与三角函数线课堂导学三点剖析一、三角函数线的概念 正弦线,余弦线,正切线分别是正弦,余弦,正切的几何表示,是与单位圆有关的有向线段,通过三角函数线可将三角函数问题转化为几何问题.【例1】 分别作出和-的正弦线、余弦线和正切线.思路分析：先以原点为圆心，1为半径作单位圆，然后分别作出角度为和-的角的终边，最后按三角函数线的定义作出正弦线、余弦线和正切线.解析：在直角坐标系中作单位圆（如图），以ox轴的正方向为始边作角的终边，与单位圆交于p点，作pmox轴，垂足为m.由单位圆与ox正方向交点a作ox轴的垂线，与op的反向延长线交于t点.则sin=mp,cos=om,tan=at,即的正弦线为mp，余弦线为om，正切线为at.同理可作出-的正弦线、余弦线和正切线.sin（-）=mp,cos(-)=om，tan(-)=at,即-的正弦线为mp,余弦线为om，正切线为at.温馨提示 （1）三角函数线有方向、正负，是有向线段； （2）在利用三角函数线比较三角函数值的大小时要注意方向、正负.各个击破类题演练 1在单位圆中画出适合下列条件的角的终边.(1)sin=;(2)cos=;(3)tan=2.解:(1)作直线y=交单位圆于p,q,则op与oq为角的终边,如图甲.(2)作直线x=交单位圆于m,n,则om与on为角的终边,如图乙.(3)在直线x=1上截取at=2,其中a的坐标为(1,0),设直线ot与单位圆交于c,d,则oc与od为角的终边,如图丙.变式提升 1根据下列三角函数值,求作角的终边,然后求角的取值集合.(1)sin=;(2)cos=;(3)tan=-1.解:(1)角的取值集合为|=2k+或=2k+,kz.(2)角的取值集合为|=2k,kz.(3)角的取值集合为|=2k+或=2k+,kz=|=k,kz. 二、利用三角函数线解简单不等式【例2】 在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合.（1）sin;(2)cos-.思路分析：先画出区域边界，再根据三角函数的正负确定区间范围.解：（1）作直线y=交单位圆于a、b两点，连结oa、ob，则oa与ob围成的区域（阴影部分）即为角的终边的范围.故满足条件的的集合为|2k+2k+,kz.(2)作直线x=-交单位圆于c、d两点，连结oc与od，则oc与od围成的区域（阴影部分）即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+2k+,kz.温馨提示（1）三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数定义域；（2）三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具.类题演练 2利用单位圆解不等式3tan+0.思路分析:先画出正切线,再根据平面区域确定角的范围.解:(1)要使3tan+0,即tan,由正切线知k0,sin2x.sinxcos,求集合ab.思路分析：三角函数线的作用是利用有向线段直观地表示三角函数值.有向线段的方向表示三角函数值的正负,有向线段的长度表示三角函数值的绝对值.在解决有关三角函数不等式或比较函数值大小方面,利用三角函数线比较简捷.解:依题意当0,cos0,sincos成立. 当0时,如图中以oa为终边表示的角,这时sincos. 当cos成立. 当cos成立. 同理,可推出当2时,sincos. 综上所述,当cos.ab=|.类题演练 3比较sin1 155与sin(-1 654)的大小.思路分析:首先利用诱导公式将1 155和-1 654分别变化到0360的角,然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线,利用三角函数线即可比较出大小.解:先化成0360间的角的三角函数.sin1 155=sin(3360+75)=sin75,sin(-1 654)=sin(-5360+146)=sin146.在单位圆中分别作出sin75或sin146的正弦线m2p2,m1p1(如图).m1p1sin(-1 654).变式提升 3设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),试比较a、b、c的大小.解：如右图，作出-1 rad的正弦线、余弦线及正切线.显然，b=cos(