甘肃省张掖市高考数学一模试卷 文（含解析）.doc

2015年甘肃省张掖市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合a=x|x+2=0，集合b=x|x24=0，则ab=（）a2b2c2，2d2i是虚数单位， =（）a1+2ib12ic12id1+2i3等差数列an中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（）a14b18c21d274为了得到函数y=cos（2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x的图象上所有的点（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移1个单位长度d向右平移1个单位长度5一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（）ab3+4c+4d2+46设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）am，n且，则mnbm，n且，则mncm，n，mn，则dm，n，m，n，则7已知m是abc内的一点，且=2，bac=30，若mbc，mca和mab的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）a20b18c16d98函数y=x+cosx的大致图象是（）abcd9口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）a0.42b0.28c0.3d0.710某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）a21b22c23d2411已知二次曲线+=1，则当m2，1时，该曲线的离心率e的取值范围是（）a，b，c，d，12给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作x，即x=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|xx|的四个命题：；f（3.4）=0.4；y=f（x）的定义域为r，值域是；则其中真命题的序号是（）abcd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13已知函数y=log（x2ax+a）在区间（2，+）上是减函数，则实数a的取值范围是14过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于a，b两点，若线段ab的中点m的横坐标为2，则|ab|等于15设为单位向量，若为平面内的某个向量，则=|；若与平行，则=|；若与平行且|=1，则=上述命题中，假命题个数是16已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）g（x）的零点个数为三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an与bn，若a1=3且对任意正整数n满足an+1an=2，数列bn的前n项和sn=n2+an（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列的前n项和tn18在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，过a1、c1、b三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体abcda1c1d1，且这个几何体的体积为10（）求棱aa1的长；（）若a1c1的中点为o1，求异面直线bo1与a1d1所成角的余弦值19某小组共有a、b、c、d、e五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：abcde身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9（）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的概率20已知椭圆：，离心率为，焦点f1（0，c），f2（0，c）过f1的直线交椭圆于m，n两点，且f2mn的周长为4（）求椭圆方程；（） 直线l与y轴交于点p（0，m）（m0），与椭圆c交于相异两点a，b且若，求m的取值范围21已知函数f（x）=ex（ax+b）+x2+2x，曲线y=f（x）经过点p（0，1），且在点p处的切线为l：y=4x+1（i）求a，b的值；（）若存在实数k，使得x2，1时f（x）x2+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范围四、选做题（共1小题，满分10分）22如图，ab是o的直径，c，f为o上的点，ca是baf的角平分线，过点c作cdaf交af的延长线于d点，cmab，垂足为点m（1）求证：dc是o的切线；（2）求证：ammb=dfda选做题：【选修4-4参数方程和极坐标】（共1小题，满分0分）23选修44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点o为极点，以x轴正半轴为极轴已知直线l的参数方程为，（t为参数），曲线c的极坐标方程为sin2=8cos（）求c的直角坐标方程；（）设直线l与曲线c交于a、b两点，求弦长|ab|选做题：【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24已知函数f（x）=|x1|+|xa|（i）若a=1，解不等式f（x）3；（ii）如果xr，f（x）2，求a的取值范围2015年甘肃省张掖市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合a=x|x+2=0，集合b=x|x24=0，则ab=（）a2b2c2，2d【考点】交集及其运算【专题】计算题【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出a与b，找出a与b的公共元素即可求出交集【解答】解：由a中的方程x+2=0，解得x=2，即a=2；由b中的方程x24=0，解得x=2或2，即b=2，2，则ab=2故选a【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2i是虚数单位， =（）a1+2ib12ic12id1+2i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】数系的扩充和复数【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可【解答】解：，故选d【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题3等差数列an中，a2=3，a3+a4=9 则a1a6的值为（）a14b18c21d27【考点】等差数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3，解方程可求a1，d，即可求解a1a6【解答】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3解方程可得，a1=2，d=1a1a6=27=14故选：a【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题4为了得到函数y=cos（2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x的图象上所有的点（）a向左平移个单位长度b向右平移个单位长度c向左平移1个单位长度d向右平移1个单位长度【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：，故将函数y=cos2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得函数y=cos（2x+1）的图象，故选：a【点评】本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，属于基础题5一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（）ab3+4c+4d2+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】原几何体为圆柱的一半，且高为2，底面圆的半径为1，表面积由上下两个半圆及正面的正方形和侧面圆柱面积构成，分别求解相加可得答案【解答】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为s=212+22+212=3+4故选：b【点评】本题考查由几何体的三视图求面积，由三视图得出原几何体的形状和数据是解决问题的关键，属基础题6设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）am，n且，则mnbm，n且，则mncm，n，mn，则dm，n，m，n，则【考点】平面与平面垂直的性质【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】对于a、由面面平行的判定定理，得a是假命题对于b、由m，n且，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与、都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论对于c、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于d、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可【解答】解：对于a，若m，n且，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故a错；对于b，由m，n且，则m与n一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以m与n所成的角为90，故命题b正确对于c，根据面面垂直的性质，可知m，n，mn，n，也可能=l，也可能，故c不正确；对于d，若“m，n，m，n”，则“”也可能=l，所以d不成立故选b【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目7已知m是abc内的一点，且=2，bac=30，若mbc，mca和mab的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）a20b18c16d9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用【专题】计算题【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）（x+y），利用基本不等式求得+的最小值【解答】解：由已知得=bccosbac=2bc=4，故sabc=x+y+=bcsina=1x+y=，而+=2（+）（x+y）=2（5+）2（5+2）=18，故选b【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算要注意灵活利用y=ax+的形式8函数y=x+cosx的大致图象是（）abcd【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象【专题】计算题；数形结合【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除a、c两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断【解答】解：由于f（x）=x+cosx，f（x）=x+cosx，f（x）f（x），且f（x）f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除a、c；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除d故选：b【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题9口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（）a0.42b0.28c0.3d0.7【考点】互斥事件与对立事件【专题】计算题【分析】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，根据互斥事件的概率公式得到摸出黑球的概率是10.420.28，得到结果【解答】解：口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，摸出黑球的概率是10.420.28=0.3，故选c【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目10某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）a21b22c23d24【考点】循环结构【专题】算法和程序框图【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的n，p的值，当n=23，p=79时满足条件p40，输出n的值为23【解答】解：执行程序框图，有p=1，n=2第1次执行循环体，有n=5，p=11不满足条件p40，第2次执行循环体，有n=11，p=33不满足条件p40，第3次执行循环体，有n=23，p=79满足条件p40，输出n的值为23故选：c【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题11已知二次曲线+=1，则当m2，1时，该曲线的离心率e的取值范围是（）a，b，c，d，【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先判断当m2，1时，二次曲线为双曲线，将方程化为标准方程，求得a，b，c，再由离心率公式，即可得到范围【解答】解：由当m2，1时，二次曲线为双曲线，双曲线+=1即为=1，且a2=4，b2=m，则c2=4m，即有，故选c【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率的范围，属于基础题12给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作x，即x=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=|xx|的四个命题：；f（3.4）=0.4；y=f（x）的定义域为r，值域是；则其中真命题的序号是（）abcd【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明【专题】压轴题；新定义【分析】在理解新定义的基础上，求出、3.4、对应的整数，进而利用函数f（x）=|xx|可判断的 正误；而对于易知f（x）=|xx|的值域为0，则错误此时即可作出选择【解答】解：11+=1f（）=|=|+1|=正确；33.43+3.4=3f（3.4）=|3.43.4|=|3.43|=0.4错误；00+=0f（）=|0|=，00+=0f（）=|0|=，f（）=f（）正确；y=f（x）的定义域为r，值域是0，错误故选：b【点评】本题主要考查对于新定义的理解与运用，是对学生能力的考查二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13已知函数y=log（x2ax+a）在区间（2，+）上是减函数，则实数a的取值范围是a4【考点】对数函数的图象与性质【专题】函数的性质及应用【分析】令t=x2ax+a，则由题意可得函数t在区间2，+）上为增函数且t（2）0，故有，由此解得实数a的取值范围【解答】解：令t=x2ax+a，则由函数f（x）=g（t）=logt 在区间2，+）上为减函数，可得函数t在区间2，+）上为增函数且t（2）0，故有，解得a4，故实数a的取值范围是a4，故答案为：a4【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题14过抛物线y2=4x的焦点作一条直线交抛物线于a，b两点，若线段ab的中点m的横坐标为2，则|ab|等于6【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用中点坐标公式和弦长公式即可得出【解答】解：由抛物线y2=4x可得p=2设a（x1，y1），b（x2，y2）线段ab的中点m的横坐标为2，x1+x2=22=4直线ab过焦点f，|ab|=x1+x2+p=4+2=6故答案为：6【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题15设为单位向量，若为平面内的某个向量，则=|；若与平行，则=|；若与平行且|=1，则=上述命题中，假命题个数是3【考点】平行向量与共线向量【专题】平面向量及应用【分析】根据向量是既有大小又有方向的量，判断是否正确；根据与平行时，与同向或反向，判断是否正确；根据与平行时，与同向或反向，判断是否正确【解答】解：对于，向量是既有大小又有方向的量， =|的模相同，但方向不一定相同，是假命题；对于，若与平行时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=|，是假命题；对于，若与平行且|=1时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=，是假命题；综上，上述命题中，假命题的个数是3故答案为：3【点评】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题，解题时应把握向量的基本概念是什么，是基础题目16已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）g（x）的零点个数为【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】作图题【分析】在同一坐标系中画出函数函数f（x）与函数y=log4x的图象，两函数图象交点的个数即为函数y=f（x）log3 x的零点的个数【解答】解：令g（x）=f（x）log4x=0得f（x）=log4x函数g（x）=f（x）log4x的零点个数即为函数f（x）与函数y=log4x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=log4x的图象，如图所示，有图象知函数y=f（x）log4 x上有3个零点故答案为：3个【点评】此题是中档题考查函数零点与函数图象交点之间的关系，体现了转化的思想和数形结合的思想，体现学生灵活应用图象解决问题的能力三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知数列an与bn，若a1=3且对任意正整数n满足an+1an=2，数列bn的前n项和sn=n2+an（）求数列an，bn的通项公式；（）求数列的前n项和tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由已知可得数列an是公差为2的等差数列，由等差数列的通项公式求an；把an代入sn=n2+an利用snsn1=bn（n2）求通项公式；（）首先求出t1，当n2时，由裂项相消法求数列的前n项和tn【解答】解：（）由题意知数列an是公差为2的等差数列，又a1=3，an=3+2（n1）=2n+1列bn的前n项和sn=n2+an=n2+2n+1=（n+1）2当n=1时，b1=s1=4；当n2时，上式对b1=4不成立数列bn的通项公式：；（）n=1时，；n2时，n=1仍然适合上式综上，【点评】本题考查了求数列的通项公式，训练了裂项法求数列的和，是中档题18在长方体abcda1b1c1d1中，ab=bc=2，过a1、c1、b三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体abcda1c1d1，且这个几何体的体积为10（）求棱aa1的长；（）若a1c1的中点为o1，求异面直线bo1与a1d1所成角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角；棱柱的结构特征【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）设aa1=h，由题设=，可求出棱长（）因为在长方体中a1d1bc，所以o1bc即为异面直线bo1与a1d1所成的角（或其补角）那么借助于三角形求解得到结论【解答】解：（）设aa1=h，由题设=10，即，解得h=3故a1a的长为3（）在长方体中，a1d1bc，o1bc为异面直线bo1与a1d1所成的角（或其补角）在o1bc中，ab=bc=2，a1a=3，aa1=bc1=， =，则coso1bc=异面直线bo1与a1d1所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了点，线和面间的距离计算解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离19某小组共有a、b、c、d、e五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：abcde身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9（）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的概率【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】概率与统计【分析】（）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；（）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解【解答】（）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6个由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（a，b），（a，c），（b，c）共3个因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10个由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的事件有：（c，d）（c，e），（d，e）共3个因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5，23.9）中的概率p=【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题20已知椭圆：，离心率为，焦点f1（0，c），f2（0，c）过f1的直线交椭圆于m，n两点，且f2mn的周长为4（）求椭圆方程；（） 直线l与y轴交于点p（0，m）（m0），与椭圆c交于相异两点a，b且若，求m的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）先离心率为，f2mn的周长为4，可求出a，b，c的值，从而得到答案（2）先设l与椭圆c交点为a、b的坐标，然后联立直线和椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，进而得到两根之和、两根之积，根据，可得=3，再利用韦达定理，即可解出m的范围【解答】解：（）由题意，4a=4， =，a=1，c=，=，椭圆方程方程为；（）设l与椭圆c交点为a（x1，y1），b（x2，y2）由得（k2+2）x2+2kmx+（m21）=0=（2km）24（k2+2）（m21）=4（k22m2+2）0（*）x1+x2=，x1x2=，=3x1=3x2x1+x2=2x2，x1x2=3x22，3（x1+x2）2+4x1x2=0，3（）2+4=0，整理得4k2m2+2m2k22=0m2=时，上式不成立；m2时，由（*）式得k22m22k0，0，1m或m1即所求m的取值范围为（1，）（，1）【点评】本题主要考查椭圆的标准方程、基本性质和直线与椭圆的综合问题直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点题目，要强化学习21已知函数f（x）=ex（ax+b）+x2+2x，曲线y=f（x）经过点p（0，1），且在点p处的切线为l：y=4x+1（i）求a，b的值；（）若存在实数k，使得x2，1时f（x）x2+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（i）求出函数的导数，利用切线的斜率，以及函数值得到，即可求a，b的值；（）x2，1，f（x）x2+2（k+1）x+k恒成立，推出k的表达式，构造函数求解函数的导数，利用新函数的单调性求出区间上的最值，即可求k的取值范围【解答】解：（ i）f（x）=ex（ax+a+b）+2x+2依题意，即，解得（ ii）由f（x）x2+2（k+1）x+k得：ex（x+1）k（2x+1）x2，1时，2x+10，f（x）x2+2（k+1）x+k即ex（x+1）k（2x+1）恒成立，当且仅当设，由g（x）=0得当；当上的最大值为：所以常数k的取值范围为【点评】本题考查函数的导数的综合应用，切线方程，闭区间是函数的最值的求法，构造法的应用，难度比较大，是高考常考题型四、选做题（共1小题，满分10分）22如图，ab是o的直径，c，f为o上的点，ca是baf的角平分线，过点c作cdaf交af的延长线于d点，cmab，垂足为点m（1）求证：dc是o的切线；（2）求证：ammb=dfda【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明【专题】证明题【分析】（1）证明dc是o的切线，就是要证明cdoc，根据cdaf，我们只要证明ocad；（2）首先，我们可以利用射影定理得到cm2=ammb，再利用切割线定理得到dc2=dfda，根据证明的结论，只要证明dc=cm【解答】证明：（1）连接oc，oa=ocoac=oca，ca是baf的角平分线，oac=facfac=oca，ocadcdaf，cdoc，即dc是