高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 2.3 反证法与放缩法自主训练 新人教A版选修4-5.doc

2.3 反证法与放缩法自主广场1.设m=,则（ ）a.m=1 b.m1 d.m与1大小关系不定思路解析:分母全换成210.答案:b2.设a,b,cr+,p=a+b-c,q=b+c-a,r=c+a-b,则“pqr0”是“p,q,r同时大于零”的 （ ）a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件思路解析:必要性是显然成立的；当pqr0时,若p,q,r不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设p0,q0,r0,则q+r=2c0矛盾,即充分性也成立.答案:c3.已知a,br+,下列各式中成立的是（ ）a.cos2lga+sin2lgblg(a+b)c.=a+bd.a+b思路解析:cos2lga+sin2lgb0,lg110.所以=1.所以lg9lg111.答案:lg9lg110,y0,a=,b=,则a,b的大小关系是_.思路解析:a=b.答案:a(+)(n2).证明:=,又,将上述各式的两边分别相加,得1+(+).(1+)(+).8.已知a,b,c,dr,且a+b=c+d=1,ac+bd1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d都是非负数.因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1,而(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bdac+bd,所以ac+bd1,这与ac+bd1矛盾.所以假设不成立,即a,b,c,d中至少有一个为负数.9.已知f(x)=x2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|c,求证:.证明:构造函数f(x)=(xr+),任取x1,x2r+,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=c,f(a+b)f(c).即.又,.12.设a,br,0x,y1,求证:对于任意实数a,b必存在满足条件的x,y使|xy-ax-by|成立.证明:假设对一切0x,y1,结论不成立,则有|xy-ax-by|.令x=0,y=1,得|b|;令x=1,y=0,得|a|;令x=y=1,得|1-a-b|1-=矛盾.故假设不成立,原命题结论正确.13.设sn=(nn+),求证:对于正整数m,n且mn,都有|sm-sn|.证明:|sm-sn|=|+|+|.|sin(n+1)|1,|sin(n+2)|1,|sinm|1,上式|+|+|=+=1-()m-n90,d是bc的中点,求证:adbc,因为bd=dc=bc,所以在abd中,adbd,从而bbad,同理ccad.所以b+cbad+cad,即b+ca.因为b+c=180-a,所以180-aa,则abc.15.已知f(x)=(x-1).(1)求f(x)的单调区间;(2)若ab0,c=.求证:f(a)+f(c).(1)解:f(x)=,所以f(x)在区间(-,-1)和(-1,+)上分别为增函数.(2)证明:首先证明对于任意的xy0,有f(x+y)x+y,由(1),知f(xy+x+y)f(x+y).所以