0204-2：轨迹方程的求法-直线与圆的方程拓展练习.docx

轨迹方程求法练习题直线与圆的方程拓展练习轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有：（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法* 注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.二、练习例1：点P（3，0）是圆x2+y26x55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。例2：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.例3：如图, 直线L1和L2相交于点M,L1L2, 点N L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若DAMN为锐角三角形, |AM|= , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. 例4：已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程例5：设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 10答案例2：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.例3：如图, 直线L1和L2相交于点M,L1L2, 点N L1. 以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等. 若DAMN为锐角三角形, |AM|= , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. 解法一：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。设曲线段C的方程为，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。由，两式联立解得。再将其代入式并由p0解得因为AMN是锐角三角形，所以，故舍去p=4,xA=1由点B在曲线段C上，得。综上得曲线段C的方程为解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为轴，M为坐标原点。作AEl1,ADl2，BFl2垂足分别为E、D、F设A(xA, yA)、B(xB, yB)、N(xN, 0)依题意有例4：已知两点以及一条直线：y=x，设长为的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设，则PA：QB：消去t，得当t=2，或t=1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是例5：设点A和B为抛物线 y2=4px(p0)上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b由OMAB，得k=由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb4p)x+b2=0所以x1x2=, y1y2=，由OAOB，得y1y2=x1x2所以=, b=4kp 故y=kx+b=k(x4p), 得x2+y24px=0(x0)故动点M的轨迹方程为x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.|解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有得(y1y2)(y1+y2)=4p(x1x2)若x1x2,则有 ,得y12y22=16p2x1x2 代入上式有y1y2=16p2 代入，得 代入，得所以即4pxy12=y(y1+y2)y12y1y2 、代入上式，得x2+y