2005美国数学建模特等奖获奖作品翻译--数学建模作业.docx

数学建模论文翻译The UMAP Journal从默里湖到slurry大坝王永聪 5902411063 车辆112班Clay hambrickKatie lewisLori Thomas哈维姆德学院克莱尔蒙特，加利福尼亚指导老师：jon Jacobsen摘要我们预测了如果一次强烈地震导致默里湖大坝崩溃萨卢达河的洪水泛滥范围。尤其，我们预测了当洪水抵达加利福尼亚时水位有多高，和萨卢达河的如果像罗尔斯溪一样洪水能够在支流中延伸多么远。我们把我们的开放的河道水流模型建立在圣维南方程上。我们根据河流长度建立了一个离散模型来预测水位。我们的模型考虑了河床的宽度、河流倾斜程度、大坝的损坏大小和其他因素。我们评估了默里湖、大坝、萨卢达河的参数，并且计算了洪水的数据结果。南卡莱尼亚州政府很安全，即使是遇到了最恶劣的情况，因为它坐落在一座小山上，这是个即使是水位达到最高也不可能触及的位置。但是，洪水在哥伦比亚仍能达到17m，甚至更高的地方。哥伦比亚靠近河流的建筑仍有可能被淹没，但是那样就应该有足够的时间来提醒本地居民去逃生。不管是我们的模型还是当地的逃生计划都显示河流周围数公里内的低洼地区都会被大水覆盖。介绍在南卡罗来纳州中心，一个湖被一座享年75岁的土质大坝拦截。如果一次地震破坏了大坝怎么办？这样的担心来自1886年在查尔斯顿据科学家测量有7.3里氏震级的一次地震。而地震的断层线几乎就在默里湖下边，并且附近频繁地小地震也引导当局去考虑这样一次大灾难的后果。我们的任务就是预测如果像1886年那样规模的地震破坏了大坝，萨卢达河从默里大坝到哥伦比亚的水位将如何变化。尤其，支流罗尔斯湾的水会回流多远，并且在南卡罗来纳州的哥伦比亚州政府附近的水位会太高多少。Figure 1. 萨卢达河边的地形图的底部的Congaree湖默里河Topozone 2004.我们展示了我们的假设并且建立了一个默里湖和默里大坝的子模型来模拟大坝破坏时洪水泛滥的情景。然后我们在圣维南方程的基础上建立了一个模型，用水的保持和动量守恒来捕获主要干道水流溢流到周围地区时洪水的性质。我们把模型转变为一个由不同方程组成的系统并且把溢流出来的水都放还到河流的开始。为了提高精确度我们沿着河流测量了洪水泛滥区和河宽的比率，并且用这些值来修改方程。然后我们用默里湖和萨鲁达河的数据模拟了几次情景。最后，我们讨论了我们模型的函数方程式，分析了它的优点和缺点，并且讨论了模型怎么进行延伸。地震背景对大坝的影响1. 大坝怎样改变（最初破坏的大小和形状）2. 湖水和最初破坏的相互作用3. 随着时间的推移缺口的大小和形状Figure 2. 土质大坝原图和计划新建的默里大坝Lake Murray2005.对水的影响1在地震影响大坝的范围内对湖水的影响对于周围荒野的影响1 地震是否改变周围泛滥平原的面积2 地震破坏是否转移了萨鲁达河3 地震破坏是否会使萨鲁达河的水道变形是否能够使水流减缓情况有点像这样：大地震向默里大坝妥协了。土质大坝并不经常完全失败或者突然就崩溃了。相反，大坝开始泄露。一段时间后，水流继续侵蚀，导致越来越多的水流出了湖，直到湖水和大坝达到了一个新的平衡。依赖于最初的破坏和大坝的修补工作，最终的平衡会在几分钟到几小时之内出现在任何地方。某处完全成型的缺口通常会有一个二分之一到三倍坝高的宽度。有着1609米宽和63米高的默里大坝宽大约是高的25倍，这预示着缺口的宽度会比大坝宽度小得多。在大坝之下，持续增加的水流冲击力作用在荒野上，同时带有洪水和山坡冲刷。水流回溯到小溪比如说罗尔斯系和平原地区。更下游的地区，或者是水流够低呆在正常的河道里，或者是溢出的水冲刷出自己的河道，或者是更多的水继续通过一条条河流入大海。假设地震1 忽略余震：地震通常由一次主震和更小的余震组成。虽然余震也是很重要的事件并且可能导致大坝更进一步的破坏，为了简单起见，我们忽略余震。2 只有大坝缺口：地震可以影响大坝，也可以影响水流和沿岸景观。地震的影响只有在水流破坏了地势或者洪水从湖泊和河床里溢出来才会发生。这样，通过假设地震只影响大坝，我们把任何地震其他对水流的影响都归到水流对其他东西的影响。地震可以很大的影响地貌，但是这些影响是不可预测的，所以我们假定没有重大地形改变发生。天气和地势1. 没有风力影响：这里风力的影响和其他因素比起来是极小的，可以忽略的。2. 河流旁边的低洼地区可以泄洪：我们假定河流能够溢出它的河岸并且流入周围低洼平原地区。默里湖和大坝1 湖只有简单的形状：我们假定湖有完全垂直的边和平底。2 大坝缺口是矩形的：我们这样就可以模拟一系列的大坝缺口，因为我们可以独立的改变缺口的宽和高。3 被水冲走的大坝材料和洪水比起来是可以忽略的：因为我们已经假定缺口没有侵蚀，那样在最初的点之后就没有新的土源影响。这个假设在缺口很小的时候要比缺口很大的时候效果更好。萨卢达河1. 河道有恒定的宽度：萨鲁达河在14千米之后宽度变化很小，但是对于模型这样很简便，我们假定它有恒定的宽度。2. 河流有稳定的落差：限于我们的地理学数据，我们假定河流的高度稳定下降。3. 河流具有恒定的原有水深：因为我们假定河流落差稳定，那样就没有能够蓄水的水坑了。因为河流平稳开始，我们假定深度从始至终相等。4. 河流是直的：弯曲的河流会在一定程度上阻碍河水流动，并且一些模型会带有弯曲参数；但是给定的萨卢达河的直的程度证明他是很接近一条直线的河流。大坝模型我们用一个子模型来模拟在地震导致了一个大洞之后湖和大坝会发生什么。子模型提供的信息包括给定时间内离开大坝的水的体积和速度。这些信息取决于湖中水的体积，湖水的表面积和大坝缺口的面积。我们把缺口模拟成大坝上开放的一个矩形。我们假定水会从这个缺口底部冲刷出来，并且它的能量会保留下来。蕴藏的能量转换为动能，并且由方程12ms2=mgh我们得到s=2gh这里：S是水流速度m是水的质量g是重力加速度h是水的高度河流高度和缺口底部之差我们假定所有的水都以最大速度离开，有一点评估过高。我们可以这样通过这种形式化简这个方程：swaterleaving=2g（hlake-hdam）单位时间水流走的体积是水流走的速度乘以缺口的面积vwaterleaving=wbreachhlake-hdamswaterleavingttime step这里v是体积，w是宽度，h是高度，s是速度，t是时间我们假定实际上湖是一个大型直边水槽，这样它的面积就不随着水的高度而改变了。这意味着湖的高度就是简单的体积除以面积，或者是这样：hlake=vlakealake这里h是高度，v是体积，a是面积。这个假设可以改变来让湖的面积成为一个取决于它里面有多少水的函数。例如，我们可以模拟一个圆锥体的湖。我们也假定大坝上的缺口在整个模拟过程中保持形状不变，虽然这会很简单的让缺口的宽度和深度的增加成为流过的水量和水流速度的函数。做这些可以模拟水流过洞口之后的对于缺口的力的侵蚀作用。圣维南模型我们的基础模型建立在圣维南方程系统上。这个选择是受moussa和bocquillon的启发，他们描述了怎样用他们来模拟洪水。这些方程用以计算非恒定明渠流体，并且他们考虑了变速的影响、河流周围地势和与大地之间摩擦力的影响。这就让圣维南方程能够更好地简化模型，尤其是在摩擦力是很明显作用在洪水行为的力的情况下。圣维南系统由一个水量守恒方程和一个线性动量方程组成这里Y是水流高度X是河流长度T是时间V是水流速度S是河流的倾斜，moussa和bocquillon引进的一个新的变量，是相对平原宽度sf是这样叫的 能量线斜率能量线斜率带表流动的水流需要克服多少摩擦力；它是由曼宁公式通过速度和水流半径得来的：这里R，液压或者流半径由给出这里w1 是河道的宽度。这里有两个常数：n是无穷小量“糙度参数”，用以描述水流过土地；k恒等于1s2/m2/3但是引入的参数有什么作用？模型假定河道之外有一片流体阻力很高的平原。这意味着下游地区的水流是微不足道的。但是，洪水泛滥区像一个水槽那样蓄满了水，所以y/t被因素修改，河滩区宽度和河道宽度的比例由解释，因为一些水被河滩区吸收了。我们让通过在不同的地方测量河滩区宽度成为河流长度的函数。为了创建数学模型，我们把这个偏微分系统转换为多个方程系统。由于通常情况下我们用数值的偏微分系统，尤其是流体力学问题，我们必须小心谨慎的进行计算来确保结果的准确性。我们用 Lax-Wendroff差异公式：这里上边的指数代表时间 ，下边的代表距离；是时间和单位时间距离的比例。第二个属于用于减弱峰值，因为它注重每一点和它的另一面的不同和补偿。我们发现模型对于粗糙度n高度敏感。当n很大时，水流流动就有一个很大的阻力，并且洪水有堆积起来的趋势。这就导致有过多的大浪在水深剖面上，并且很有可能让模型崩溃。幸运的是，我们可以给n设定一个很小的值，因为我们只考虑在河道地区的水，这里的边界并不由石头和草组成，二十由其他洪水，而这些洪水流动缓慢并且比静止的十块平滑。这样的话，我们取n=0.01.并且，模型在河水流速太大的时候就会变得不稳定。这大概是因为圣维南方程在本质上是描述的稳定的水流，所以在遇到大量的水流的时候他们就有崩溃的趋势。我们求助于临近水深的周期平均值。这看起来并不多么影响结果。罗尔斯溪逆流洪水我们对于计算罗尔斯溪逆流洪水的最初想法是用相同的圣维南模型技术，就像萨鲁达河一样，改变参数应用于罗尔斯溪，并且用水深计算罗尔斯溪入口作为“大坝破坏口”。但是，我们并不清楚初速度是多少，因为回流的水或多或少取决于主干道的水的多少。因此，我们在地图上取了支流口的相匹配的水深。虽然太过于简化，这种方法和修正之后的圣维南系统的值是一致的，因为它假定没有水流出主干道并且河滩区地区突然随着主干道蓄满了水。罗尔斯溪被简化成一个稍微宽一点的河滩区。参数默里大坝1. g = 9.8 m/s2,重力加速度常量2. h0lake = 60 m这是湖水的原始高度3. v0lake = 3 109 m3 湖水的原始体积4. a0lake假定四周垂直之后湖的面积萨卢达河1. length=16200m，萨鲁达河的在地图的图表1上测量得到。2. hBedUpstream = 0m，大坝之后河床的高度，对比于大坝的基础3. hBedDownstream = 10 m,，汇入conggaree河之后河床的高度，我们通过对比开始的海拔和萨卢达河结束部分的海拔得到这个数据。4. h0water = 1.2m 初始沿着河流的水深，假定一致。河滩区从大坝流出来的水不会完全流进萨卢达河床里。为了精确地模拟河道和周围的河滩区的比例，我们检查了地形图。河流的海拔差不过是52米。在河流周围的区域缓慢上升大约到61米，在山峰开始之前。我们假定在河流和山脚之间的区域都是河滩区。我们每600米测量一次测量一次河滩区的宽度。我们假定这些测量点之间的宽度是线性变化，并且可以代表我们没有测量的下游宽度距离。这个假设让我们有了更加精确的模型，对比如果我们简单的假定河滩区有不变的宽度。结果默里大坝大约800米长60米高，所以任何任何缺口在理论上都是可能出现的。没有缺口用没有缺口测试，模型像预计的一样表现良好，水流高度基本恒定，因为普通水管的替代水包含在模型里现实的缺口缺口宽800米，高10米最常见的土质大坝地震破坏模型是水下侧简单的滑坡下来，产生一个很长但是很浅的缺口。在这种情况下，罗尔斯溪的洪水波峰在一小时后达到7.4米。这意味着溪流的回流洪水在其河道上达到2.4千米，当在地形图上测量时。峰值在哥伦比亚7.5小时候达到4.15米。但是州政府坐落在离河流50米高的地方，所以它是没有危险的。任意的缺口缺口宽133米，高60米为了探索缺口形状和大小，我们用和先前一样的缺口但是相反的形状测试了一种情况。由于缺口变身了，流出来的水的速度变得比之前的情形和更多的水更高了，因为湖水可以流向更低的位置。水流在1.4小时后到达罗尔斯溪波峰达到9.11米。回溯的湖水延伸了3000米，7小时后到达哥伦比亚达到6.23米。最大的破坏面缺口宽度800米，高度60米如果整个大坝简单的小时怎么样？模型和我们的假设在这种情况下都将失效。尽管更平滑，这些数字仍将在三小时之后爆炸。幸运的是，这些时间已经足够波峰达到罗尔斯溪并且还能对于哥伦比亚的波峰有一个很好的猜测。不幸的是，这些水在河流的初期是上升的如此的快，以至于我们的的数值不再有效洪水泛滥简单的扩张很快就超出了正常范围。这意味着水流并不会像模型所显示的那样达到那个高度。解释尽管州政府在所有的情况下都安全了，大量的洪水还是会发生在低洼地区并且发生在影响哥伦比亚的居住和商业。幸福的是，基于上述洪水情形，如果一个警戒系统能够及时的话，那我们就能够在洪水到达之间有足够的时间逃离。模型分析优点和缺点我们的模型建立在权衡之上。一个缺点就是如何把偏微分转变为不同的方程；后者在极端情况下会很容易不稳定。我们的假设还有其他的权衡。河滩，虽然进行了巨大的改进是指变成了一个简单的模型，模型中所有的水都留在河道里，这需要我们假定水瞬间从河里流出和立即静止流动。把系统扩展为完全的三维，水流逆流的同时向周围扩散，这样改进将是一个巨大的进步。另一方面，我们设计了特别的方程模型来模拟像萨卢达河的情况，并且用了涉及默里湖和萨鲁达河的数据。对比与其他的预测拥有大坝的公司提供了一份疏散地图，地图显示河水的什么地方需要在洪水到来的时候疏