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2011 2012学年第一学期线性代数试卷A_参考答案与评分标准课程代码 BB103307 考试方式 闭卷 考试时长 100 分钟题号一二三四五六七八合计满分18151010717203100得分阅卷人考生须知：1.姓名、学号、专业班级均要填在密封线以内，否则试卷作废。2.答题请在题后空白区域，在草稿纸上答题无效。3.试卷上不准做任何标记，否则按作弊论处。4.考试期间，试卷不准拆开，否则按作弊处理。 (注：不用计算器) 得分一、填空题（每小题3分，共18分）1. 行列式 -30 2. 设矩阵，若，且，则 3 3. 设3阶方阵的3个特征值分别为，则 1/6 4. 设矩阵与有相同的迹，则 9 5. 设为标准正交向量组，则 1 .6. 齐次方程组的基础解系所含解向量的个数为 1 .得分二、选择题（每小题3分，共15分）1. 设为阶方阵，满足等式则必有 C (A)或； (B)；(C)或； (D)2设阶方阵满足关系式，则必有 D .(A)； (B)；(C)； (D)3. 已知是的两个不同的解，是其导出组的基础解系，是任意常数，则的通解是 B ()； ()；()； ()4. 方阵的属于不同特征值的特征向量，则必 B (A) 线性相关； (B) 线性无关； (C) 正交； (D) 不正交. 5. 二次型的系数矩阵必为 D (A) 正定矩阵； (B) 正交矩阵；(C) 对角矩阵； (D) 对称矩阵. 得分三、证明题（10分）设均为阶方阵, 若可逆, 且满足, 证明: 可逆证由 得 ， 2分而由可逆可知， 2分由方阵的行列式性质得， 4分所以，故可逆 2分 四、计算题（10分） 求向量组的一个极大线性无关组.解：用所给向量组构造矩阵, 3分对矩阵A施行行初等变换 5分由矩阵B可知，为向量组的一个极大线性相关组. 2分得分得分 五、计算题（7分）将向量组，化为正交向量组.解：， 1分， 2分， 2分， 2分则为所求正交向量组.得分六、解方程组题（17分）解齐次线性方程组. 解：该方程组的系数矩阵为 2分 (阶梯形) 3分 (行最简形) 3分一般解为 (为自由未知量)， 3分令得基础解系为 3分所以方程组的通解为， 1分为任意实数. 2分得分 七、计算题（20分）已知二次型，经正交变换化为了标准形，求所用的正交变换解：二次型及标准形的系数矩阵分别为 4分由于矩阵与 相似，所以矩阵的特征值分别为 . 2分对于，解齐次方程得基础解系 2分标准化得 . 2分对于，解齐次方程得基础解系 ， 4分正交化、标准化得 4分 令 ,所求正交变换为 2分得分 八、教改建议题（3分） 您认为线性代数教学，怎样改革才能体现素
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