辽宁省葫芦岛一中高三数学上学期周考试卷（十九） 理（含解析）.doc

2014-2015学年辽宁省葫芦岛 一中高三（上）周考数学试卷（十九）（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项中，只有一个符合要求的）1已知集合a=1，2，3，4，b=x|x=n2，na，则ab=（） a 1，4 b 2，3 c 9，16 d 1，22（5分）条件p：（1x）（1+x）0，条件q：lg有意义，则p是q（） a 充分不必要 b 必要不充分 c 充要条件 d 既不充分也不必要3已知锐角的终边上一点p（sin40，1+cos40），则等于（） a 10 b 20 c 70 d 804已知数列an、bn满足a1=1，且an，an+1是函数f（x）=x2bnx+2n的两个零点，则b10等于（） a 24 b 32 c 48 d 645（5分）在三棱锥sabc中，三侧面两两互相垂直，侧面sab，sac的面积分别为1，3，则此三棱锥的外接球的表面积为（） a 14 b 12 c 10 d 86已知直三棱柱abca1b1c1的各顶点都在球o的球面上，且ab=ac=1，bc=，若球o的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（） a b c 2 d 7（5分）变量x，y 满足，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，实数a的集合是（） a 3，0 b 3，1 c 0，1 d 3，0，1 8（5分）在三棱锥pabc中，pa底面abc，acbc，pa=ac=bc，则pc与ab成角的大小是（） a 30 b 60 c 120 d 909已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，且在区间0，+）单调递增若实数a满足f（log2a）+f（loga）2f（1），则a的取值范围是（） a 1，2 b c d （0，210点a，b，c，d在同一个球的球面上，ab=bc=2，ac=2，若四面体abcd体积的最大值为，则该球的表面积为（） a b 8 c 9 d 1211（5分）已知函数f（x）=x+2alnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围 a ，1 b 1， c . d ，1（12（5分）在一个正方体的内切球中有一个内接正四棱锥，记正四棱锥的体积为v1正方体的体积为v2，且v1=kv2，则k的最大值为（） a b c d 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13（5分）在abc中，=（1，1sina）=（cosa，1），且，则a=14（5分）若对任意nn+，关于x的不等式x2+x（）n0在（，上恒成立，则实数的取值范围是15定义在r上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的xr，都有f（x），则不等式f（log2x）的解集为16四棱锥pabcd底面是一个棱长为2的菱形，且dab=60，各侧面和底面所成角均为60，则此棱锥内切球体积为三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）（2013秋房山区期末）在abc中，a、b、c分别是三个内角a、b、c的对边，a=2，sin，且abc的面积为4（）求cosb的值；（）求边b、c的长18（12分）已知数列an中，a1=1，前n项和为sn且sn+1=sn+1（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求满足不等式tn的n值19（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求f（x）的单调递增区间；（）在abc的内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且f（c）=1，若c=4，求abc面积的最大值20（12分）四棱锥sabcd，底面是矩形，sd底面abcd，ad=，dc=sd=2，点m在sc上，abm=60（1）确定m点的位置，并证明你的结论（2）求钝二面角samb的余弦值21（12分）（2007江西）如图是一个直三棱柱（以a1b1c1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为abc已知a1b1=b1c1=1，a1b1c1=90，aa1=4，bb1=2，cc1=3（1）设点o是ab的中点，证明：oc平面a1b1c1；（2）求二面角baca1的大小；（3）求此几何体的体积22（12分）（2014巴中模拟）f（x）=|xa|lnx（a0）（1）若a=1，求f（x）的单调区间及f（x）的最小值；（2）若a0，求f（x）的单调区间；（3）试比较+与的大小（nn*且n2），并证明你的结论2014-2015学年辽宁省葫芦岛一中高三（上）周考数学试卷（十九）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项中，只有一个符合要求的）1已知集合a=1，2，3，4，b=x|x=n2，na，则ab=（） a 1，4 b 2，3 c 9，16 d 1，2考点： 交集及其运算 专题： 集合分析： 由集合a中的元素分别平方求出x的值，确定出集合b，找出两集合的公共元素，即可求出交集解答： 解：根据题意得：x=1，4，9，16，即b=1，4，9，16，a=1，2，3，4，ab=1，4故选a点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）条件p：（1x）（1+x）0，条件q：lg有意义，则p是q（） a 充分不必要 b 必要不充分 c 充要条件 d 既不充分也不必要考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可解答： 解：由（1x）（1+x）0得1x1，若lg有意义，则1+x+（1x）20，即x2x+20，则xr，即p：1x1，q：xr，则q是p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，故选：b点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用逆否命题的等价性判断q是p的必要不充分条件是解决本题的关键3已知锐角的终边上一点p（sin40，1+cos40），则等于（） a 10 b 20 c 70 d 80考点： 任意角的三角函数的定义 专题： 计算题；三角函数的求值分析： 由题意求出po的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可解答： 解：由题意可知sin400，1+cos400，点p在第一象限，op的斜率tan=cot20=tan70，由为锐角，可知为70故选c点评： 本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力4已知数列an、bn满足a1=1，且an，an+1是函数f（x）=x2bnx+2n的两个零点，则b10等于（） a 24 b 32 c 48 d 64考点： 函数零点的判定定理 专题： 函数的性质及应用分析： 由根与系数关系得到anan+1=2n，取n=n+1后再得一式，两式相除，可得数列an中奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，求出a10，a11后，可求b10解答： 解：由已知得，anan+1=2n，an+1an+2=2n+1，两式相除得=2a1，a3，a5，成等比数列，a2，a4，a6，成等比数列而a1=1，a2=2，a10=224=32，a11=125=32，又an+an+1=bn，所以b10=a10+a11=64故选：d点评： 本题考查了韦达定理的应用，等比数列的判定及通项公式求解，考查转化、构造、计算能力，是中档题5（5分）在三棱锥sabc中，三侧面两两互相垂直，侧面sab，sac的面积分别为1，3，则此三棱锥的外接球的表面积为（） a 14 b 12 c 10 d 8考点： 球的体积和表面积 专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 先根据题意得出侧棱sa，sb，sc两两垂直，再根据三角形面积公式，解方程组得sa=2，sb=1，sc=3，进而算出以sa、sb、sc为长、宽、高的长方体的对角线长为，从而得到三棱锥外接球r=，最后用球的表面积公式，可得此三棱锥外接球表面积解答： 解：由题意得，侧棱sa，sb，sc两两垂直，设sa=x，sb=y，sc=z，则因为sab，sbc，sac都是以s为直角顶点的直角三角形，得，解之得：x=2，y=1，z=3即sa=2，sb=1，sc=3，侧棱sa，sb，sc两两垂直，以sa、sb、sc为过同一顶点的3条棱作长方体，该长方体的对角线长为=，恰好等于三棱锥外接球的直径由此可得外接球的半径r=得此三棱锥外接球表面积为s=4r2=14故选a点评： 本题给出特殊三棱锥，求它的外接球表面积，着重考查了空间垂直关系的性质和多面体的外接球等知识，属于中档题6已知直三棱柱abca1b1c1的各顶点都在球o的球面上，且ab=ac=1，bc=，若球o的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（） a b c 2 d 考点： 球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心o是abc和a1b1c1的外心连线段的中点，连接oa、ob、oc、o1a、o1b、o1c在abc中利用正、余弦定理算出o1a=1，由球o的体积算出oa=，然后在rto1oa中，用勾股定理算出o1o=2，得三棱柱的高o1o2=4，最后算出底面积sabc=，可得此直三棱柱的体积解答： 解：设abc和a1b1c1的外心分别为o1、o2，连接o1o2，可得外接球的球心o为o1o2的中点，连接oa、ob、oc、o1a、o1b、o1cabc中，cosa=a（0，），a=根据正弦定理，得abc外接圆半径o1a=1球o的体积为v=，oa=r=rto1oa中，o1o=2，可得o1o2=2o1o=4直三棱柱abca1b1c1的底面积sabc=abacsin=直三棱柱abca1b1c1的体积为sabco1o2=故选：b点评： 本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题7（5分）变量x，y 满足，若使z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，实数a的集合是（） a 3，0 b 3，1 c 0，1 d 3，0，1 考点： 简单线性规划 专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论解答： 解：不等式对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=ax+z，若a=0时，直线y=ax+z=z，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件若a0，则直线y=ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=ax+z与y=x2平行，此时a=1，解得a=1若a0，则直线y=ax+z截距取得最大值时，z取的最大值，此时满足直线y=ax+z与y=3x+14平行，此时a=3，解得a=3综上满足条件的a=3或a=1，故实数a的取值集合是3，1，故选：b点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据8（5分）在三棱锥pabc中，pa底面abc，acbc，pa=ac=bc，则pc与ab成角的大小是（） a 30 b 60 c 120 d 90考点： 异面直线及其所成的角 专题： 空间角分析： 以c为原点，cb为x轴，ca为y轴，建立空间直角坐标系，设pc与ab成角的大小为，由cos=|cos|=能求出pc与ab成角的大小解答： 解：以c为原点，cb为x轴，ca为y轴，建立空间直角坐标系，设pa=ac=bc，则p（0，1，1），c（0，0，0），a（0，1，0），b（1，0，0），=（0，1，1），=（1，1，0），设pc与ab成角的大小为，cos=|cos|=，=60pc与ab成角的大小为60故选：b点评： 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用9已知函数f（x）是定义在r上的偶函数，且在区间0，+）单调递增若实数a满足f（log2a）+f（loga）2f（1），则a的取值范围是（） a 1，2 b c d （0，2考点： 奇偶性与单调性的综合 专题： 函数的性质及应用分析： 根据偶函数的定义将所给的式子化为：f（|log2a|）f（1），再利用偶函数的单调性列出关于a的不等式求解解答： 解：f（x）是定义在r上的偶函数，可变为f（log2a）f（1），即f（|log2a|）f（1），又在区间0，+）上单调递增，且f（x）是定义在r上的偶函数，即，解得a2，故选：c点评： 本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，易错处是忽略定义域内的单调性不同，即对称区间单调性相反，注意自变量的取值范围，考查了学生的转化能力10点a，b，c，d在同一个球的球面上，ab=bc=2，ac=2，若四面体abcd体积的最大值为，则该球的表面积为（） a b 8 c 9 d 12考点： 球的体积和表面积 专题： 计算题；球分析： 根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积解答： 解：根据题意知，abc是一个直角三角形，其面积为2其所在球的小圆的圆心在斜边ac的中点上，设小圆的圆心为q，四面体abcd的体积的最大值，由于底面积sabc不变，高最大时体积最大，所以，dq与面abc垂直时体积最大，最大值为sabcdq=，sabc=acbq=2即dq=，dq=2，如图设球心为o，半径为r，则在直角aqo中，oa2=aq2+oq2，即r2=（）2+（2r）2，r=则这个球的表面积为：s=4（）2=9；故选：c点评： 本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体abcd的体积的最大值，是解答的关键11（5分）已知函数f（x）=x+2alnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围 a ，1 b 1， c . d ，1（考点： 利用导数研究函数的单调性 专题： 导数的综合应用分析： 函数在区间（1，2）内是增函数，转化成导数在这个区间上大于等于0恒成立问题，然后把恒成立转化成导数的最小值大于等于0解答： 解：f（x）=1= 要使函数f（x）=x+2alnx在区间（1，2）上单调递增，需f（x）0在（1，2）上恒成立； 即0在（1，2）上恒成立， 即x22ax3a20在（1，2）上恒成立， 设h（x）=x22ax3a2，则它的对称轴为x=a， 当a1时，h（1）=12a3a20，解得1a； 当1a2时，=4a2+12a20，a不存在； 当a2时，h（2）=44a3a20，a不存在；综上可知，a的取值范围是1a故选：b点评： 本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，重点考查了转化思想与分类讨论的思想；关键是把问题转化成求最值问题解决12（5分）在一个正方体的内切球中有一个内接正四棱锥，记正四棱锥的体积为v1正方体的体积为v2，且v1=kv2，则k的最大值为（） a b c d 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积 专题： 空间位置关系与距离分析： 设出正方体的棱长，求出球的半径，然后求解球的内接正四棱锥的体积的表达式，求出正四棱锥体积的最大值，即可求解k解答： 解：设正方体的棱长为2，则正方体的内切球的半径为1，正方体的体积v2=8设正四棱锥底面边长为a，底面到球心的距离为x，则：x2+（）2=12，是正四棱锥的体积为：v=a2h=a2（1+x）=（1x2）（1+x）其中x（0，1），因为（1x2）（1+x）=（22x）（1+x）（1+x）=，当且仅当x=时取等号正四棱锥的最大值为：，即v1=，v1=kv2可得=8k，解得k=故选：a点评： 本题考查正方体的内接球，球的内接体，几何体的体积的求法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题以及空间想象能力计算能力二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13（5分）在abc中，=（1，1sina）=（cosa，1），且，则a=考点： 平面向量数量积的运算 专题： 计算题；三角函数的求值；平面向量及应用分析： 运用向量垂直的条件：数量积为0，由二倍角公式，结合同角的商数关系可得tan=，由a为三角形的内角，计算即可得到解答： 解：由=（1，1sina）=（cosa，1），且，则=0，即cosa+1sina=0，即2cos2=2sincos，由于0a，即0，即有cos=sin，tan=，即有=，即有a=故答案为：点评： 本题考查向量垂直的条件：数量积为0，主要考查二倍角公式和同角公式的运用，考查运算能力，属于基础题14（5分）若对任意nn+，关于x的不等式x2+x（）n0在（，上恒成立，则实数的取值范围是（，1考点： 函数恒成立问题 专题： 综合题；函数的性质及应用分析： 关于x的不等式x2+x（）n0对任意nn*在x（，恒成立，等价于x2+x（）nmax对任意nn*在x（，恒成立解答： 解：关于x的不等式x2+x（）n0对任意nn*在x（，恒成立，等价于x2+x（）nmax对任意nn*在x（，恒成立，x2+x对 x（，恒成立设y=x2+x，它的图象是开口向上，对称轴为x=的抛物线，当x时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则2+，解得1，或（舍）当x，左边的最小值就是在x=时取到，达到最小值时，x2+x，=，不满足不等式因此的范围就是 1故答案为：（，1点评： 本题考查函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化15定义在r上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的xr，都有f（x），则不等式f（log2x）的解集为（0，2）考点： 其他不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点 专题： 计算题分析： 设g（x）=f（x）x，由f（x），得到g（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集解答： 解：设g（x）=f（x）x，f（x），g（x）=f（x）0，g（x）为减函数，又f（1）=1，f（log2x）=log2x+，即g（log2x）=f（log2x）log2x=g（1）=f（1）=g（log22），log2xlog22，又y=log2x为底数是2的增函数，0x2，则不等式f（log2x）的解集为（0，2）故答案为：（0，2）点评： 此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题16四棱锥pabcd底面是一个棱长为2的菱形，且dab=60，各侧面和底面所成角均为60，则此棱锥内切球体积为考点： 球内接多面体；棱锥的结构特征；球的体积和表面积 专题： 球分析： 设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积解答： 解：四棱锥pabcd底面是一个棱长为2的菱形，且dab=60，adb，dbc都是正三角形，边长为2，三角形的高为：由题意设内切球的半径为r，四棱锥的高为：h，h=，斜高为：棱锥的体积为：v=s底h=连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，s全=4+22sin60=6=，r=球的体积为：=故答案为：点评： 本题考查几何体的内切球的体积的求法，等体积法求法球的半径是解题的关键考查空间想象能力以及计算能力三、解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）（2013秋房山区期末）在abc中，a、b、c分别是三个内角a、b、c的对边，a=2，sin，且abc的面积为4（）求cosb的值；（）求边b、c的长考点： 解三角形；三角形中的几何计算 专题： 计算题分析： （i）由二倍角公式cosb=12可求（ii）由cosb，及0b可求sinb，然后由三角形的面积公式可求c，再由余弦定理b2=a2+c22accosb可求解答： 解：（i）sin，cosb=12=12=（ii）由（i）cosb=，且在abc中0b又由已知sabc=4且a=2解得c=5b2=a2+c22accosb=17点评： 本题主要考查了二倍角公式、同角平方关系、三角形的面积公式、余弦定理等公式的综合应用，属于基础试题18（12分）已知数列an中，a1=1，前n项和为sn且sn+1=sn+1（nn*）（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为tn，求满足不等式tn的n值考点： 数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合 专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： （1）根据题意可得，从而；（2）由（1）知，所以tn=，又，所以不等式tn可化简为，解得n=1或2解答： 解：（1） （nn*），故，所以，又a1=1，所以，从而数列an是首项为1，公比为的等比数列，则有；（2）由（1）知，所以是首项为1，公比为的等比数列，=，又，所以不等式tn即为，化简得，解得n=1或2点评： 本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和等知识，考查转化思想，属中档题19（12分）已知函数f（x）=4cosxsin（x+）1（）求f（x）的单调递增区间；（）在abc的内角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且f（c）=1，若c=4，求abc面积的最大值考点： 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题： 三角函数的图像与性质；解三角形分析： （1）利用两角和公式对函数解析式化简整理，利用三角函数性质求得函数的单调增区间（2）利用f（c）=1求得c，进而利用余弦定理建立关于a和b的等式，利用基本不等式求得ab的最大值，进而利用三角函数面积公式求得面积的最大值解答： 解：f（x）=4cosxsin（x+）1=4cosx（sinx+cosx）1=2sinxcosx+2cos2x1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）令2k2x+2k+，即kxk+，kz，函数单调增，函数f（x）的递增区间是k，k+（kz）（2）0c，2c+，f（c）=2sin（2c+）=1，sin（2c+）=，2c+=，c=cosc=ab=a2+b2c22abc2，又c=4ab16，sabc=absin=ab4，故abc面积的最大值是4点评： 本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质注重了对学生基础知识的考查20（12分）四棱锥sabcd，底面是矩形，sd底面abcd，ad=，dc=sd=2，点m在sc上，abm=60（1）确定m点的位置，并证明你的结论（2）求钝二面角samb的余弦值考点： 二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征 专题： 空间位置关系与距离分析： （1）如图所示，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可得出；（2）设分别是平面sam，mab 一个法向量，由，解出利用法向量的夹角计算公式即可得出解答： 解：（1）点m是线段sc的中点，证明；建立以d为原点，da所在直线为ox轴，dc所在直线为oy轴，ds所在直线为oz轴的如图空间直角坐标系：设m（x，y，z），s（0，0，2），a，c（0，2，0）设（0）则（x，y，z2）=（x，2y，z），可得m，=，又=（0，2，0），abm=60cos60=，=，解得=1，因此点m是线段sc的中点（2）由（1）有m（0，1，1），=（，1，1），又=，=（0，2，0）设=（x1，y1，z1），分别是平面sam，mab 一个法向量，则，解得=，同理可得=cos=点评： 本题考查了利用平面的法向量夹角求二面角的方法、向量的夹角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题21（12分）（2007江西）如图是一个直三棱柱（以a1b1c1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为abc已知a1b1=b1c1=1，a1b1c1=90，aa1=4，bb1=2，cc1=3（1）设点o是ab的中点，证明：oc平面a1b1c1；（2）求二面角baca1的大小；（3）求此几何体的体积考点： 与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 专题： 计算题；证明题；压轴题分析： （1）由题意及图形，利用直三棱柱的特点，因为o为中点连接od，由题意利用借助线面垂直的判定定理证明oc平面a1b1c1； （2）由题意利用三垂线定理找到二面角的平面角，在三角形中进行求解二面角的大小；（3）由题意及图形利用体积分割的方法，把不规则的几何体分割成两个规则的几何体，利用相应的体积公式进行求解解答： （1）证明：作odaa1交a1b1于d，连c1d则odbb1cc1因为o是ab的中点，所以od=则odc1c是平行四边形，因此有occ1dc1d平面c1b1a1且oc平面c1b1a1，则oc面a1b1c1（2）如图，过b作截面ba