股票投资中的数学问题.doc

1 导言1.1 写作背景证券投资基金是指一种利益共享、风险共担的集合证券投资方式。其基本功能是通过发行基金单位汇集众多投资者的资金,交由专门的投资机构管理,由证券分析专家和投资专家具体操作运用,根据设定的投资目标将资金分散投资于特定的资产组合。与其他投资工具相比,证券投资基金具有社会参与面广、投资理性强、流动性好、收益稳定且具有一定成长性的特点。随着2001年第一家开放式基金华安创新基金的设立,基金业必将蓬勃发展,投资者的投资行为也将趋于理性。因此,股票投资基金投资方法的研究不论对中国基金业的健康发 展还是保护投资者的利益都有着非常重要的现实意义。作为现代投资理论的基础,Markowitz组合证券投资模型在投资活动中已被广泛应用。在充满风险和机会的股票市场中, 无论是个人还是机构投资者在进行股票投资时, 总是以投入资金的安全性和流动性为前提, 合理地运用投资资金, 达到较小风险、较高收益的目的。投资于高收益率的股票, 很可能获得较高的投资回报；但是, 高收益伴随着高风险。如果将资金单独投资于某一种股票, 那么一旦该股票的市场价格出现较大波动, 投资者将蒙受较大的损失。所以, 稳健的投资方法是将资金分散地投资到若干种收益和风险都不相同的股票上, 以“组合投资”的方式来降低风险1.2 写作目的和意义在股票的世界里，有几百种甚至上千种力量在联合左右着价格，所有这些价格都在不停地运动，每支股票都可能产生巨大的影响力，但又没有一支股票可以被肯定地预测。投资者的职责就是缩小范围，找出并排除那些最不了解的股票，将注意力集中在最知情的股票上。通过本文利用数学方法讨论股票投资问题，给出投资中要注意的问题及如何做到有较好的收益。投资组合是投资者在不确定的环境下进行的投资决策问题。投资组合理论也是那就主要是围绕及度量不确定环境下资产的收益与风险，如何建立适合不同投资者要求和满足各种投资环境约束的模型并提出相应的有效算法。由于理论和实际均表明：通过投资组合可以减少股票投资的风险。因此研究和建立可操作性强的组合投资最优化模型，以指导实际股票投资中各种单项股票投资比例的选择，从而达到投资收益与风险的最优化，这在当前具有现实意义。1.3 分析方法本文首先先从选择股票入手，由于进行分散投资，所以投资之间的相关性越弱越好，否则就达不到分散风险的目的。选择不同的行业的股票。在不同行业中对股票进行分析，预测未来趋势，并选择出未来发展良好的股票。一般来讲，较为可靠的投资组合是选择13种投资方式，每种方式选择24种投资品种，本文主要说明股票的投资，因此在本文中最终选取三只股票进行投资组合。选好股票之后，西方现代投资组合理论中马科维茨（Markowitz）投资组合理论为我们提供了理论上的指导。利用数学建模法，选择数学系统，建立原系统的各部分与描述其行为的数学部分之间的对应，达到发现事物运行的基本过程的目的。从而指导我们对股票波动的了解。对上面模型求解，并进行检验，最后应用于实际情况。1.4 研究的相关现状 在当代，进行证券投资实际上绝大多数情形是投资于证券投资组合，而不是投资于单个证券。为了应用简便，大批学者致力于研究和改进投资组合模型以及有效算法，其工作大致可以分为三类，第一类是研讨简化大规模投资组合模型及其有效算法。第二类侧重于简化计算有效组合所需的数据类型、数据量、和计算过程。第三类是侧重于寻求新的风险度量标准以及在新的投资准则下的投资组合模型。国内有关投资组合理论的研究起步较晚，与西方市场经济国家已经形成了成熟的理论体系相比存在着差距。尽管如此，我国学者已经在这一领域做出了许多重要的创造性的贡献。2 选取股票2.1 从不同领域选取股票投资组合的主要含义是：够买股票的的企业种类要分散，不要集中购买同一行业企业的股票。其次，购买股票的企业要分散，不要把资金全部投入一个企业的股票。投资时间可以分散。投资区域也可以分散。投资之间的相关性越弱越好，因此在六个不同的领域各选取一只股票：表1 选取的股票股票代码股票名称所属行业200002万科B房地产600029南方航空运输600036招商银行金融000927一汽夏利汽车600588用友软件软件600028中国石化石油2.2 平滑异同移动平均线 MACD由正负差（DIF）和异同平均数（DEA）组成。 MACD是在移动平均线的基础上，引入平滑因子，使得价格波动更加平缓，他利用两条不同速度（变动速率快的短期移动品均线与变动速率慢的长期移动平均线）的指数平滑移动平均线来计算两者之间的差离状况作为研判行情的基础。 当DIF线向上突破MACD平滑线时，即为涨势确认之点，为买入信号。反之，当DIF线向下跌破MACD平滑线时，即为跌势确认之点，为卖出信号。 MACD是判断市场中期最有用的指标，它抛开了股价上下波动的表面现象，从而剔除了人为的非正常因素，代表着市场的本质。但是在市场没有明显趋势而进行整盘时，MACD的失误同样较多。另外，对未来价格上升和下降的幅度，MACD不能给与有帮助的建议。2.3 根据平滑异同移动平均线选股由于MACD是判断市场中期最有用的指标，因此，我们可以根据MACD从表一中选取合适的股票。以下是每只股票的平滑异同移动平均线MACD：万科B：图1 万科B的MACD南方航空：图2 南方航空的MACD招商银行：图3 招商银行的MACD一汽夏利：图4 一汽夏利的MACD用友软件：图5 用友软件的MACD中国石化：图6 中国石化的MACD由上图可以看出：万科B，招商银行，一汽夏利，中国石化的DIF线向上突破MACD平滑线，即为涨势确认之点，为买入信号。因此，从上述六只股票中可以选择万科B，招商银行，一汽夏利，中国石化四只股票。2.4 市盈率市盈率是股票市价与每股税后盈利之比，以股价是每股盈利的倍数表示。一般来讲，市盈率越低，市价相对于股票的盈利能力越低，表明投资回收期越短，投资的风险就越小，股票的投资价值就越大。一般认为，股票的市盈率比较大，表明投资者对公司未来充满信心。但是，当股票受到不正常因素的干扰，市盈率会很高。一般认为，超过20倍的市盈率不正常。发达国家的股市比较成熟，成长速度相对缓慢，因此市盈率较低，一般在1020倍之间。而发展中国家处于成长阶段，因此市盈率较高，通常在2030倍之间。因此在我国，市盈率在20到30之间也是正常的。市盈率也有局限性，这是因为：第一，每股收益的质量难以保证，每股收益容易受到管理层的会计操纵，人为的扩大或降低每股收益。第二，每股收益波动性很大。第三，收益为负值时，市盈率没有意义。第四，市盈率的和合理倍数很难确定。2.5 根据市盈率选股市盈率简单、直观、数据以获得等优点，使其成为所有比率中使用最为广泛的指标，分析人员利用市盈率进行国家之间、行业之间、公司之间、以及公司不同时期之间的比较，以发现被低估的公司股票，从中获取超额投资利润。因此，我们根据市盈率再进行一次选择，选出更加合适的股票。以下是剩余四只股票的市盈率：万科B：表2 万科B市盈率变动日期市盈率2009-12-3122.52082009-09-3024.12042009-06-300.00002009-03-3124.71642008-12-3117.4324中国石化：表3 中国石化市盈率变动日期市盈率2009-12-3119.92932009-09-3015.91552009-06-3017.38992009-03-3122.64632008-12-3120.6471招商银行：表4 招商银行市盈率变动日期市盈率2009-09-3018.02442009-06-3020.55962009-03-3112.34882008-12-318.50352008-09-3010.6788一汽夏利：表5 一汽夏利市盈率变动日期市盈率2009-09-30533.85832009-06-30213.76152009-03-311848.14812008-12-3160.76562008-09-3019.2641由上述数据可以看出，一汽夏利的市盈率不正常，所以可以排除。其余三只股票都处于合适的市盈率范围内。因此，我们可以选择万科B，中国石化，招商银行作为后面投资组合的三只股票。市盈率的有效性取决于对公司未来每股收益的正确预期和选择合理的市盈率倍数，而这两个条件在实际操作中很难满足。应肯定市盈率的分析作用，但是市盈率不能作为衡量某只股票是否具有投资价值的唯一标准。3 股票进行投资组合基本理论3.1 进行投资组合的假设条件1) 不考虑经济危机，政府宏观调控等因素引起的股票市场的不正常波动。2) 不考虑流通股盘，资产质量指标，市盈率，公司规模的变化，基金持股变化等对股票收益率的影响。3) 假定股票市场稳定，收益率与时间无关。4) 假定投资者的信心不受外界环境的影响。5) 证券市场是有效的，证券的价格反映了证券的内在经济价值，每个投资者都掌握了充分的信息，了解每种证券的期望收益率及标准差，不存在交易费用和税收，投资者是价格接受者，证券是无限可分的，必要的话可以购买部分股权。6) 一种股票收益的均值衡量这种股票的平均收益状况。7) 一种股票收益的方差衡量这种股票收益的波动幅度。一般来说，人们投资股票时的收益是不确定的，因此是一个随机变量，所以除了考虑收益的方差（或标准差）来进行衡量：方差越大，则认为风险越大；方差越小，则认为风险越小。在一定的假设下，用收益的方差（或标准差）来衡量风险确实是合适的。8) 两种股票收益的协方差表示的则是他们之间的相关程度：协方差为0时两者不相关。协方差为正数表示两者正相关，协方差越大则正相关性越强（越有可能一赚皆赚，一赔皆赔）。协方差为负数表示两者正相关，协方差越大则负相关性越强（越有可能一个赚，一个赔）。3.2 马科维茨投资组合理论马科维茨的投资组合理论：马科维茨的投资组合理论不仅揭示了组合资产风险的决定因素，而且更为重要的是还揭示了“资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这一重要结论，即资产（单个资产和组合资产）由其风险大小来定价，单个资产价格由其方差或标准差来决定，组合资产价格由其协方差来决定。假设投资者选择了n种可投资的风险资产进行组合,设他们的预期收益率记为，。彼此之间的协方差记为。表示相应的资产在组合中的比重。于是投资组合的预期收益率和方差应当是 (1) (2)优化投资组合的过程就是寻求有效投资组合，在预期收益率一定的条件下，使组合的方差达到最小， (3)或在方差一定的条件下，使预期收益率达到最大 (4)4 模型建立与求解4.1 建立模型由上述可知，我们选取了万科B，招商银行，中国石化这三只股票。这三只股票的收益率：表6 收益率日期万科B(收益率%)招商银行(收益率%)中国石化(收益率%)2010-03-312.895.004.012009-12-3114.2619.6516.252009-09-308.4614.9513.632009-06-302.359.819.36日期万科B(收益率%)招商银行(收益率%)中国石化(收益率%)2009-03-317.315.123.282008-12-3112.6526.518.992008-09-307.5722.734.772008-06-306.8834.185.682008-03-312.418.452.132007-12-3116.5522.4218.26记股票A，B，C分别为万科B，招商银行，中国石化。而它们每月的收益率分别为，则是一个随机变量。用E表示随机变量的数学期望，用cov表示两个随机变量的协方差（covariance），根据概率论的知识和表一给出的数据，则可以计算出月收益率的数学期望为： (5) (6) 即 (7) (8)注：我们将在稍后的LINGO模型中根据原始数据直接计算出这些均值和方差 用决策变量，分别表示投资人投资股票A，B，C比例。假设市场上没有其他投资渠道，且手上资金（可以不放假设只有1个单位的资金）必须全部用于投资这三种股票，则，=0 ，+=1 (9) 年投资收益率也是一个随机变量。根据概率论的知识，投资的总期望收益为 (10)年投资收益率的方差为 (11)实际的投资者可能面临许多约束条件，这里只考虑题中的年收益率（的数学期望）不低于10%，即 (12)所以得出优化模型： (13)或者在风险方差小于0.3%，即 (14)所得出的优化模型： (15)4.2 模型求解过程4.2.1 固定收益风险最小投资组合知识建立模型，根据上表的数据，分别利用LINGO、Excel软件编程求解。假设投资人的预期年收益率不低于10%方法一（应用LINGO软件编程求解）：求解程序：MODEL:Title简单的投资组合模型;SETS: YEAR/1.10/; STOCKS/A,B,C/:Mean,X; Link(YEAR,STOCKS):R; STST(Stocks,stocks):COV;ENDSETSDATA: TARGET=0.10;R=0.0289 0.0500 0.04010.1420 0.1965 0.16250.0846 0.1495 0.13630.0235 0.0981 0.09360.0731 0.0512 0.03280.1265 0.2651 0.08990.0757 0.2273 0.04770.0688 0.3418 0.05680.0241 0.0845 0.02130.1655 0.2242 0.1826;ENDDATACALC:for(stocks(i):Mean(i)= sum(year(j):R(j,i)/size(year);for(stst(i,j):COV(i,j)=sum(year(k): (R(k,i)-mean(i)*(R(k,j)-mean(j)/(size(year)-1);ENDCALCOBJMIN=sum(STST(i,j):COV(i,j)*x(i)*x(j);ONESUM(STOCKS:X)=1;TWOSUM(stocks:mean*x)=TARGET;END运行结果：Local optimal solution found. Objective value: 0.2701869E-02 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 19 Model Title: 简单的投资组合模型 Variable Value Reduced Cost TARGET 0.1000000 0.000000 MEAN( A) 0.8127000E-01 0.000000 MEAN( B) 0.1688200 0.000000 MEAN( C) 0.8636000E-01 0.000000 X( A) 0.4461679 0.000000 X( B) 0.1929541 0.000000 X( C) 0.3608780 0.000000 R( 1, A) 0.2890000E-01 0.000000 R( 1, B) 0.5000000E-01 0.000000 R( 1, C) 0.4010000E-01 0.000000 R( 2, A) 0.1420000 0.000000 R( 2, B) 0.1965000 0.000000 R( 2, C) 0.1625000 0.000000 R( 3, A) 0.8460000E-01 0.000000 R( 3, B) 0.1495000 0.000000 R( 3, C) 0.1363000 0.000000 R( 4, A) 0.2350000E-01 0.000000 R( 4, B) 0.9810000E-01 0.000000 R( 4, C) 0.9360000E-01 0.000000 R( 5, A) 0.7310000E-01 0.000000 R( 5, B) 0.5120000E-01 0.000000 R( 5, C) 0.3280000E-01 0.000000 R( 6, A) 0.1265000 0.000000 R( 6, B) 0.2651000 0.000000 R( 6, C) 0.8990000E-01 0.000000 R( 7, A) 0.7570000E-01 0.000000 R( 7, B) 0.2273000 0.000000 R( 7, C) 0.4770000E-01 0.000000 R( 8, A) 0.6880000E-01 0.000000 R( 8, B) 0.3418000 0.000000 R( 8, C) 0.5680000E-01 0.000000 R( 9, A) 0.2410000E-01 0.000000 R( 9, B) 0.8450000E-01 0.000000 R( 9, C) 0.2130000E-01 0.000000 R( 10, A) 0.1655000 0.000000 R( 10, B) 0.2242000 0.000000 R( 10, C) 0.1826000 0.000000 COV( A, A) 0.2493482E-02 0.000000 COV( A, B) 0.2693656E-02 0.000000 COV( A, C) 0.2200232E-02 0.000000 COV( B, A) 0.2693656E-02 0.000000 COV( B, B) 0.9653562E-02 0.000000 COV( B, C) 0.1801042E-02 0.000000 COV( C, A) 0.2200232E-02 0.000000 COV( C, B) 0.1801042E-02 0.000000 COV( C, C) 0.3247583E-02 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price OBJ 0.2701869E-02 -1.000000 ONE 0.000000 -0.2460975E-02 TWO 0.000000 -0.2942763E-01由上可知，投资三种股票的比例大致是：A占44.6%，B占19.3%，C占36.1%，风险（方差）为0.002701869。、注：论文主体中出现的结果数据都是采用的方法一求解出来的结论。X表示投资的比例。方法二（结合LINGO、Excel软件编程求解）利用Excel软件求解每只股票的方差，以及它们的协方差。在Excel软件里输入下表：表7 Excel中输入数据日期万科B(收益率%)招商银行(收益率%)中国石化(收益率%)3/31/2010 0.02890.050.040112/31/2009 0.14260.19650.16259/30/2009 0.08460.14950.13636/30/2009 0.02350.09810.09363/31/2009 0.07310.05120.032812/31/2008 0.12650.26510.08999/30/2008 0.07570.22730.04776/30/2008 0.06880.34180.05683/31/2008 0.02410.08450.021312/31/2007 0.16550.22420.1826在“数据分析”中选择“方差分析：单因素方差分析”对每只股票进行方差分析得出：表8 单因素方差分析结果方差分析：单因素方差分析SUMMARY组观测数求和平均方差列 1100.81330.081330.002502列 2101.68820.168820.009654列 3100.86360.086360.003248方差分析差异源SSdfMSFP-valueF crit组间0.04826520.0241324.7002790.017723.354131组内0.138625270.005134总计0.1868929由上可知，股票A的方差为0.002502，股票B的方差为0.009654，股票C的方差为0.003248。在“数据分析”中选择“协方差”对每只股票之间的协方差进行分析得出：表9 协方差结果列 1列 2列 3列 10.002251454列 20.0024259510.008688206列 30.0019847770.0016209380.002922824由上可知，股票A，B之间的协方差为0.002425951，股票A，C之间的协方差为0.001984777，股票B，C之间的协方差为0.001620938。将上述数据代入模型中：(16) (17)应用LINGO软件编程求解求解程序：min=0.002502*x12+0.009654*x22+0.003248*x32+0.002425951*x1*x2+0.001984777*x1*x3+0.001620938*x2*x3;0.08133*x1+0.16882*x2+0.08636*x3=0.10;x1+x2+x3=1;运行结果： Local optimal solution found. Objective value: 0.1921171E-02 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 16 Variable Value Reduced Cost X1 0.4479704 0.000000 X2 0.1927394 0.000000 X3 0.3592902 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.1921171E-02 -1.000000 2 0.000000 -0.2249654E-01 3 0.000000 -0.1592687E-02注：x1,x2,x3分别代表三只股票投资比例，即由上可知，投资三种股票的比例大致是：A占44.8%，B占19.3%，C占35.9%，风险（方差）为0.001921171。综上所述，两种方法比较，方法一要简便精确，故采用方法一的结论数据。万科B，招商银行，中国石化三只股票在收益大于10%的条件下的投资比例分别是44.8%，19.3%，35.9%。4.2.2 固定风险收益最大假设投资人的预期投资风险不高于0.3%由于使用LINGO更加精确，所以在此就不再使用Excel方法。求解程序：MODEL:Title简单的投资组合模型;SETS: YEAR/1.10/; STOCKS/A,B,C/:Mean,X; Link(YEAR,STOCKS):R; STST(Stocks,stocks):COV;ENDSETSDATA: TARGET=0.003;R=0.0289 0.0500 0.04010.1420 0.1965 0.16250.0846 0.1495 0.13630.0235 0.0981 0.09360.0731 0.0512 0.03280.1265 0.2651 0.08990.0757 0.2273 0.04770.0688 0.3418 0.05680.0241 0.0845 0.02130.1655 0.2242 0.1826;ENDDATACALC:for(stocks(i):Mean(i)= sum(year(j):R(j,i)/size(year);for(stst(i,j):COV(i,j)=sum(year(k): (R(k,i)-mean(i)*(R(k,j)-mean(j)/(size(year)-1);ENDCALCOBJMAX=sum(stocks:mean*x);ONESUM(STOCKS:X)=1;TWOSUM(STST(i,j):COV(i,j)*x(i)*x(j)=TARGET;END运行结果： Local optimal solution found. Objective value: 0.1082836 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 4 Model Title: 简单的投资组合模型 Variable Value Reduced Cost TARGET 0.3000000E-02 0.000000 MEAN( A) 0.8127000E-01 0.000000 MEAN( B) 0.1688200 0.000000 MEAN( C) 0.8636000E-01 0.000000 X( A) 0.2898456 0.5844607E-07 X( B) 0.2837613 0.000000 X( C) 0.4263931 0.000000 R( 1, A) 0.2890000E-01 0.000000 R( 1, B) 0.5000000E-01 0.000000 R( 1, C) 0.4010000E-01 0.000000 R( 2, A) 0.1420000 0.000000 R( 2, B) 0.1965000 0.000000 R( 2, C) 0.1625000 0.000000 R( 3, A) 0.8460000E-01 0.000000 R( 3, B) 0.1495000 0.000000 R( 3, C) 0.1363000 0.000000 R( 4, A) 0.2350000E-01 0.000000 R( 4, B) 0.9810000E-01 0.000000 R( 4, C) 0.9360000E-01 0.000000 R( 5, A) 0.7310000E-01 0.000000 R( 5, B) 0.5120000E-01 0.000000 R( 5, C) 0.3280000E-01 0.000000 R( 6, A) 0.1265000 0.000000 R( 6, B) 0.2651000 0.000000 R( 6, C) 0.8990000E-01 0.000000 R( 7, A) 0.7570000E-01 0.000000 R( 7, B) 0.2273000 0.000000 R( 7, C) 0.4770000E-01 0.000000 R( 8, A) 0.6880000E-01 0.000000 R( 8, B) 0.3418000 0.000000 R( 8, C) 0.5680000E-01 0.000000 R( 9, A) 0.2410000E-01 0.000000 R( 9, B) 0.8450000E-01 0.000000 R( 9, C) 0.2130000E-01 0.000000 R( 10, A) 0.1655000 0.000000 R( 10, B) 0.2242000 0.000000 R( 10, C) 0.1826000 0.000000 COV( A, A) 0.2493482E-02 0.000000 COV( A, B) 0.2693656E-02 0.000000 COV( A, C) 0.2200232E-02 0.000000 COV( B, A) 0.2693656E-02 0.000000 COV( B, B) 0.9653562E-02 0.000000 COV( B, C) 0.1801042E-02 0.000000 COV( C, A) 0.2200232E-02 0.000000 COV( C, B) 0.1801042E-02 0.000000 COV( C, C) 0.3247583E-02 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price OBJ 0.1082836 1.000000 ONE 0.000000 -0.3271672E-01 TWO 0.000000 23.50006 综上可知，在风险不高于0.003的条件下，万科B，招商银行，中国石化三只股票投资比例分别为29.0%，42.6%，28.4%。收益为10.8%。5 模型评价与推广模型优点：(1) 逻辑非常清楚，当考虑的投资项目在一定范围内时，具有比较强的操作性。(2) 运用风险分散理论,有些单只股票风险可以消除,有些不能。总体上投资组合降低了风险。(3) 用方差和标准差判断风险特别直观，而且被广泛认同为正确的测量方法并运用到其它很多预测领域上。模型缺点：(1) 当考虑的股票总体数目超过某一限制时，模型的最优化过程是难以实践的。(2) 模型样本容量不充足使测算结果具有一定误差 。模型推广：对实际投资人来说，可能不仅希望知道指定的期望投资回报率下的风险（回报率的方差），可能更希望知道风险随着不同的投资回报率是如何变化的，然后作出最后的投资决策，这当然可以通过在上面的模型中不断修改约束中的参数来实现。即当期望的年收益率变化时，投资组合和相应的风险如何变化。6 结论本文追求获得投资组合优化模型最优解的解析方法。在期望收益给定的条件下，最小化风险；或者在风险给定的条件下，最大化风险收益。但是在现实生活中，股票的走势是千变万化的，没有什么方法可以肯定的预测，我们只能在一定条件下尽可能的减小风险，但不能避免风险。本文通过找到权威数据，对调查结果数据的搜集整理，使用LINGO软件进行数学家建模，对数据进行期望分析、方差分析、相关性分析等，以考察各种因素对股票价格的影响。从中找出最优投资组合，追求获得投资组合优化模型最优解的解析方法。投资组合产业已经发展很多年了，至今形成了有数种不同的高度职业化参与者组成的群体所构成的结