导数和微分的计算方法.docx

导数和微分计算导数和微分的计算法则相同，只不过形式上有所不同，因此只列出了求导的运算法则。一、基本初等函数的导数公式：（1）(x)=x-1（2）(sinx)=cosx（3）(cosx)=-sinx（4）(tanx)=sec2x(5) (ctgx)=-csc2x(6) (secx)=secxtanx(7) (cscx)=-cscxctgx(8) (ax)=axlna(a0,a1)(9) (ex)=ex(10) (logax)=1xlna(a0,a1)(11) (lnx)=1x(12) (arcsinx)=11-x2(13) (arccosx)=-11-x2(14) (arctanx)=11+x2(15) (arccotx)=-11+x2二、函数的和差积商的求导法则设u=ux,v=v(x)都可导(C为常数)，则(1)(uv)=uv(2) (Cu)=Cu(3) (uv)=uv+uv(4)(vu)=vu-vuu2三、反函数的求导设y=f(x)为x=f-1(y)的反函数，f-1(y)在y某邻域单调可导，且f-1(y)0则fx=1f-1(y)。四、复合函数求导法则设y=fu,u=gx，且f(u)及g(x)都可导，则复合函数y=f(gx)的导数为：dydx=dydududx五、隐函数求导法则如果变量x和y满足方程Fx,y=0，在一定条件下，当x取某一区间内的任一值时，相应地总有唯一的y值与其对应，则称Fx,y=0在该区间内定义一个隐函数。隐函数的求导只需在方程两端同时对x求导。六、参数方程的求导法则若x=(t)y=(t)，则dydx=(t)(t)历年真题1、 设x=e-t y=0tln1+u2du，则d2ydx2|t=0= (2010，数一，4分)【解析】dydx=ln(1+t2)-e-td2ydx2=ddt-etln1+t21xt=e2t2t1+t2+ln(1+t2)d2ydx2|t=0=0正确答案为0。2、 设函数fx=ex-1(e2x-2)(enx-n)，其中n为正整数，则f0=。A-1n-1n-1! B-1nn-1! C-1n-1n! D-1nn! (2012，数一，4分)【解析】令gx=(e2x-2)(enx-n)，则fx=ex-1g(x)fx=ex-1gx=exgx+ex-1gxf0=e0g0+e0-1g0=-1n-1n-1!正确答案为（A）。3、 设x=sint y=tsint+cost t为参数，则d2ydx2|t=4=(2013，数一，4分)【解析】dydx=sint+tcost-sintcost=td2ydx2=1costd2ydx2|t=4=2本题的答案为2。4、 设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)确定，则limnnf1n-1= 。 (2013，数一，4分)【解析】当x=0时，y=1y-1=ex(1-y)1-y-xyy0=1limnnf1n-1=limnf1n-f(0)1n=f0=1正确答案为1。5、 设fx是周期为4的可导奇函数，且fx=2x-1,x0,2,则f7= (2014，数一，4分)【解析】fx=2x-1,x0,2,fx=x2-2x+C又fx为奇函数，所以f0=0；可得：C=0fx是周期为4的奇函数，f7=f8-1=f-1=-f1=1正确答案为1。6、 已知函数f(x)由方程ey+6xy+x2-1=0确定，则y0= (2002，数一，3分)【解析】方程两端对x求导可得: ey