（试题 试卷 真题）第11讲：待定系数法应用--解法归纳(31页)

第11讲：待定系数法应用-解法归纳在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x2-3=（1-A）x2BxC，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知，求的值”，解答此题，只需设定，则，代入即可求解。这里的k就是消除的待定参数。 应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式问题、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2013年全国各地中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式问题中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x36x2+11x6，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年江苏南京2分）计算的结果是 。例2：（2013年湖南株洲3分）多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m= ，n= 例3：（2013年四川凉山5分）已知可分解因式为，其中、均为整数，则 。例4：（2013年黑龙江牡丹江市区3分）若2a=3b=4c，且abc0，则的值是【 】A2 B2 C3 D3故选B。二.待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，的形式(其中k、b为待定系数，且k0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (xh) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (xx1)(xx2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P的坐标是 直线AB的解析式为y=x+1。令y=0，得0=x+1，解得x=1。点P的坐标是（1，0）。例2：（2013年陕西省3分）根据下表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为【 】x201y3p0A1 B1 C3 D3例3：（2013年内蒙古包头3分）如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 【答案】y=2x2。【考点】待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数图象与平移变换。【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（0，2）、点B（1，0）代入，例4：（2013年湖北武汉3分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC2AB，A，B两点的坐标分别是（1，0），（0，2），C，D两点在反比例函数的图象上，则k的值等于 在RtOAB中，由勾股定理，得，即，即，解得（舍去正值）。例5：（2013年江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，连接OA、OB，若OAOB，OB=OA，则k= 例6：（2013年浙江宁波3分）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，BCA=90，AC=BC=2，反比例函数（x0）的图象分别与AB，BC交于点D，E连结DE，当BDEBCA时，点E的坐标为 【答案】。例7：（2013年山东日照4分）如图，直线AB交双曲线于、B，交x轴于点C,B为线段AC的中点，过点B作BMx轴于M，连结OA.若OM=2MC,SOAC=12，则k的值为 .【答案】8。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的判定和性质，待定系数法的应用（消参）。【分析】如图，过A作ANOC于N，例8：（2013年辽宁大连3分）如图，抛物线与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为 则，解得。平移后的抛物线的解析式为。例9：（2013年四川成都4分）在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k为常数）与抛物线交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为（0，4），连接PA，PB有以下说法：PO2=PAPB；当k0时，（PA+AO）（PBBO）的值随k的增大而增大；当时，BP2=BOBA；PAB面积的最小值为其中正确的是 （写出所有正确说法的序号）例10：（2013年浙江绍兴4分）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10，加热到100，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（min）成反比例关系直至水温降至30，饮水机关机饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序若在水温为30时，接通电源后，水温y（）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50的水，则接通电源的时间可以是当天上午的【 】A7：20 B7：30 C7：45 D7：50例11：（2013年贵州安顺10分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B（2，n），连接BO，若SAOB=4（1）求该反比例函数的解析式和直线AB的解析式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求OCB的面积【答案】解：（1）由A（2，0），得OA=2；点B（2，n）在第一象限内，SAOB=4，OAn=4。n=4。点B的坐标是（2，4）。设该反比例函数的解析式为，将点B的坐标代入，得，m=8。三.待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式 (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量， an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,an满足 (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项是关于n的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1： （2013年山东烟台3分）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是【 】A502 B503 C504 D505例2：（2013年黑龙江牡丹江市区3分）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是 例3：（2013年重庆市B4分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第个图形有1颗棋子，第个图形一共有6颗棋子，第个图形一共有16颗棋子，则第个图形中棋子的颗数为【 】A51 B70 C76 D81例4：（2013年湖北孝感3分）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如：称图中的数1，5，12，22为五边形数，则第6个五边形数是 四.待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年四川乐山3分）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的B与y轴的正半轴交于点A（0，1）。过点P（0，7）的直线l与B相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有【 】A1个 B2个 C3个 D4个例2：（2013年江苏连云港3分）在RtABC中，C90，若sinA，则cosA的值为【 】A B C D例3：（2013年四川内江6分）在ABC中，已知C=90，则 = 。例4：（2013年江苏无锡3分）如图，平行四边形ABCD中，ABBC=32，DAB=60，E在AB上，且AEEB=12，F是BC的中点，过D分别作DPAF于P，DQCE于Q，则DPDQ等于【 】A34 B C D例5：（2013年江苏苏州3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将ADE沿AE折叠后得到AFE，且点F在矩形ABCD内部将AF延长交边BC于点G若，则 （用含k的代数式表示）例6：（2013年贵州遵义10分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N（1）求证：CM=CN；（2）若CMN的面积与CDN的面积比为3：1，求的值例7：（2013年山东烟台3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为 例8：（2013年云南曲靖10分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CFDE于F，过点A作AGCF交DE于点G（1）求证：DCFADG（2）若点E是AB的中点，设DCF=，求sin的值【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，ADC=90，例9：（2013年内蒙古呼和浩特9分）如图，AD是ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且B=CAE，EF：FD=4：3（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cosAED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长例10：（2013年湖北武汉8分）如图，在平面直角坐标系中，ABC是O的内接三角形，ABAC，点P是的中点，连接PA，PB，PC （1）如图，若BPC60，求证：AC=AP；（2）如图，若，求的值例11：（2013年四川乐山3分）如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的B与y轴的正半轴交于点A（0，1）。过点P（0，7）的直线l与B相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值