辽宁省锦州市高三数学第二次模拟考试试题（含解析）新人教A版.doc

2013年辽宁省锦州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2013锦州二模）已知全集u=r，集合a=x|x22x0，b=x|y=lg（x1），则（cua）b等于（）ax|x2或x0bx|1x2cx|1x2dx|1x2考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：求出集合a中的一元二次不等式的解集，确定出集合a，由全集r，求出集合a的补集，然后求出集合b中对数函数的定义域确定出集合b，求出集合a补集与集合b的交集即可解答：解：由集合a中的不等式x22x0，因式分解得：x（x2）0，解得：x2或x0，所以集合a=x|x2或x0，又全集u=r，cua=x|0x2，又根据集合b中的对数函数可得：x10，解得x1，所以集合b=x|x1，则（cua）b=x|1x2故选d点评：此题属于以一元二次不等式的解法及对函数的定义域为平台，考查了补集及交集的运算，是一道基础题也是高考中常考的题型2（5分）（2013锦州二模）已知复数z+i，在映射f下的象是，则1+2i的原象为（）a1+3ib2ic2+id2考点：映射；复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：根据映射的定义，利用1+2i=，求出复数z，然后推出复数z+i，就是原像解答：解：由题意：z+i1+2i=，z=2i所以z+i=2i+i=2故选d点评：本题考查复数的基本概念，映射的概念，考查计算能力，是基础题；解答关键是了解复数的基本运算法则3（5分）（2013锦州二模）下列命题错误的是（）a对于命题p：xr，使得x2+x+10，则p为：xr，均有x2+x+10b命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”c若pq为假命题，则p，q均为假命题d“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件考点：复合命题的真假专题：阅读型分析：根据命题：xr，使得x2+x+10是特称命题，其否定为全称命题，即：xr，均有x2+x+10，从而得到答案故a对；根据逆否命题的写法进行判断b即可；pq为假命题p、q不均为真命题故c错误；利用充分不必要条件的判定方法即可进行d的判定解答：解：命题：xr，使得x2+x+10是特称命题否定命题为：xr，均有x2+x+10，从而得到答案故a对b命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”故正确；c：若pq为假命题，则p、q不均为真命题故错误；d“x2”“x23x+20”，反之不成立，“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件，故选c点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“”了这里就有注意量词的否定形式如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”本题考查命题的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答4（5分）（2013锦州二模）已知函数（0）和g（x）=3cos（2x+）的图象的对称中心完全相同，若，则f（x）的取值范围是（）ab3，3cd考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域专题：计算题分析：通过函数的对称中心相同，求出，根据求出f（x）的取值范围解答：解：函数（0）和g（x）=3cos（2x+）的图象的对称中心完全相同，所以=2，因为所以，所以；故选a点评：本题是基础题，考查三角函数的基本知识，基本性质的应用，周期的应用，考查计算能力5（5分）（2013锦州二模）如图是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则？处的关系式是（）ay=x3by=3xcy=3xdy=考点：循环结构专题：压轴题；图表型分析：根据程序框图可知，程序运行时，列出数值x的变化情况，从而求出当x=1时，输出的，从而选出答案即可解答：解：当x=3时，因为x0，所以x=x2，x=1，即x=x2，x=1，x=1时，y=，？代表3x故选c点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题6（5分）（2013锦州二模）已知向量且与的夹角为钝角，则m+n的取值范围是（）a2，6bcd（2，6）考点：数量积表示两个向量的夹角专题：计算题分析：利用两向量的夹角为钝角则数量积小于0；利用圆心到直线的距离小于半径，求出m+n的范围解答：解：的夹角为钝角即（m1）（m3）+（n1）（n3）0（m2）2+（n2）22设z=m+n即m+nz=0解得2z6故选d点评：解决向量的夹角问题，一般从向量的数量积入手考虑；当夹角为钝角数量积小于0；当夹角为锐角则数量积大于0；当夹角为直角，数量积为07（5分）（2013锦州二模）（理）甲、乙、丙3位学生用互联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答题及格的概率为，乙答题及格的概率为，丙答题及格的概率为，3人各答一次，则3人中只有1人答题及格的概率为（）abcd以上全不对考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率专题：计算题分析：根据题意，3人中只有1人答题及格，包括三种情况，即每一个人都及格一次，当这个人及格时，另外两个人不及格，并且这三种情况是互斥的，在每一种情况中三个人的答题结果是相互独立的，根据概率公式得到结果解答：解：3人各答一次，3人中只有1人答题及格，包括三种情况，即每一个人都及格一次，当这个人及格时，另外两个人不及格，并且这三种情况是互斥的，每天上课后独立完成6道自我检测题，这是一个相互独立事件同时发生的概率，p=+=，故选c点评：本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查互斥事件的概率，本题好似一个基础题，只要对于算式中的9个数字不代错，就能够得分8（5分）（2013锦州二模）已知p为抛物线上的动点，点p在x轴上的射影为m，点a的坐标是，则|pa|+|pm|的最小值是（）a8bc10d考点：抛物线的简单性质专题：计算题分析：先根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线方程，延长pm交准线于h点推断出|pa|=|ph|，进而表示出|pm|，问题转化为求pf|+|pa|的最小值，由三角形两边长大于第三边可知，|pf|+|pa|fa|，直线fa与 抛物线交于p0点，可得p0，分析出当p重合于p0时，可取得最小值，进而求得|fa|，则|pa|+|pm|的最小值可得解答：解：依题意可知焦点f（0，），准线 y=，延长pm交准线于h点则|pa|=|ph|pm|=|ph|=|pa|pm|+|pa|=|pf|+|pa|，我们只有求出|pf|+|pa|最小值即可由三角形两边长大于第三边可知，|pf|+|pa|fa|，设直线fa与 抛物线交于p0点，可计算得p0 （3，），另一交点（，舍去当p重合于p0时，可取得最小值，可得|fa|=10则所求为|pm|+|pa|=故选b点评：本题主要考查了抛物线的简单性质考查了考生分析问题的能力，数形结合的思想的运用9（5分）（2009陕西）若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（）abcd考点：棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；压轴题分析：由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积解答：解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积v1=1=，故八面体体积v=2v1=故选b点评：本题是基础题，开心棱锥的体积，正方体的内接多面体，体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的体积，考查计算能力10（5分）（2013锦州二模）已知正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（）abcd不存在考点：等比数列的通项公式；基本不等式专题：计算题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：由正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项am，an，使得，知m+n=6，由此能求出的最小值解答：解：正项等比数列an满足：a3=a2+2a1，即：q2=q+2，解得q=1（舍），或q=2，存在两项am，an，使得，所以，m+n=6，=（）（m+n）=（5+）（5+2）=，所以，的最小值是点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了11（5分）（2008辽宁）设p为曲线c：y=x2+2x+3上的点，且曲线c在点p处切线倾斜角的取值范围是，则点p横坐标的取值范围是（）ab1，0c0，1d考点：导数的几何意义专题：压轴题分析：根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线c在点p处斜率的取值范围，进而得到点p横坐标的取值范围解答：解：设点p的横坐标为x0，y=x2+2x+3，y=2x0+2，利用导数的几何意义得2x0+2=tan（为点p处切线的倾斜角），又，02x0+21，故选a点评：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题12（5分）（2009浙江）过双曲线=1（a0，b0）的右顶点a作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为b、c若=，则双曲线的离心率是（）abcd考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质专题：计算题；压轴题分析：分别表示出直线l和两个渐进线的交点，进而表示出和，进而根据=求得a和b的关系，进而根据c2a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得解答：解：直线l：y=x+a与渐近线l1：bxay=0交于b（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于c（，），a（a，0），=（，），=（，），=，=，b=2a，c2a2=4a2，e2=5，e=，故选c点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分13（5分）（2013锦州二模）一个空间几何体的三视图如图所示，其正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，则它的外接球的表面积是 3考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由正视图、侧视图、俯视图均为等腰直角三角形，且直角边长都为1，我们可以把它看成一个棱长为1的正方体的一角，故其外接球即为棱长为1的正方体的外接球解答：解：由正视图、侧视图、俯视图均为直角边长为1等腰直角三角形，故其外接球即为棱长为1的正方体的外接球则2r=外接球的表面积s=4r2=3故答案为：3点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，其中利用补足法，将该几何体的外接球，转化为棱长为1的正方体的外接球，是解答的关键14（5分）（2013锦州二模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是15考点：简单线性规划专题：计算题；数形结合分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件，的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=2x+4y中，求出z=2x+4y的最小值解答：解：根据约束条件画出可行域，由图得当z=2x+4y过点a（，）时，z=2x+4y取最小值15故答案为：15点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解15（5分）（2013锦州二模）已知（1+2x）n的展开式中，所有项的系数之和等于81，那么这个展开式中x3的系数是32考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：令x=1可得，其展开式中所有项的系数之和为3n，根据题意，有3n=81，解可得n的值，进而可得其二项展开式的通项，分析可得，将r=3代入通项可得答案解答：解：令x=1可得，其展开式中所有项的系数之和为3n，根据题意，有3n=81，解可得，n=4，则其二项展开式的通项为tr+1=c4r（2x）r，当r=3时，t4=c43（2x）3=32，故答案为32点评：本题考查二项式系数的性质，要牢记展开式中中各项的系数和与二项系数和的不同意义与各自的求法16（2013锦州二模）某时段内共有100辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为38辆考点：频率分布直方图专题：图表型分析：根据频率分步直方图看出时速超过60km/h的汽车的频率比组距的值，用这个值乘以组距，得到这个范围中的频率，用频率当概率，乘以100，得到时速超过60km/h的汽车数量解答：解：根据频率分步直方图可知时速超过60km/h的概率是10（0.01+0.028）=0.38，共有100辆车，时速超过60km/h的汽车数量为0.38100=38（辆）故答案为：38点评：本题考查用样本的频率估计总体分布，频数、频率和样本容量三者之间的关系是知二求一，这种问题会出现在选择和填空中17（5分）（2013锦州二模）在数列an中，若点（n，an）在经过点（5，3）的定直线l上，则数列an的前9项和s9=27考点：等差数列的前n项和专题：计算题分析：根据点（n，an）在定直线l上得到数列为等差数列，设出等差数列的通项，把（5，3）代入即可求出a5的值，根据等差数列的前n项和的公式及性质即可求出s9的值解答：解：点（n，an）在定直线l上，数列an为等差数列an=a1+（n1）d将（5，3）代入，得3=a1+4d=a5s9=9a5=39=27点评：本题以点与直线的位置关系为平台，考查等差数列的通项公式及前n项和的公式，同时要求学生掌握等差数列的性质是一道中档题三、解答题：本大题5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明推理过程或计算步骤.18（12分）（2013锦州二模）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，若=1（）求证：a=b；（）求边长c的值；（）若|+|=，求abc的面积考点：平面向量数量积的运算；余弦定理的应用专题：计算题分析：（1）由，故可将=1转化为一个三角方程，解方程即可证明：a=b（2）由（1）的结论，再结合余弦定理，可构造一个关于c的方程，解方程易求c值（3）若|+|=平方后，结合余弦定理，可以判断三角形的形状，再结合（2）的结论，即可求abc的面积解答：解：（）=bccosa=accosb，即bcosa=acosb由正弦定理得sinbcosa=sinacosbsin（ab）=0abab=0，a=b（）=1，bccosa=1由余弦定理得bc=1，即b2+c2a2=2由（）得a=b，c2=2，c=（）|+|=，|2+|2+2|=6即c2+b2+2=6c2+b2=4c2=2b2=2，b=abc为正三角形sabc=（）2=点评：（1）中在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可（2）正、余弦定理是解三解形必用的数学工具，正弦定理一般用于已知两角一边及两边和其中一边对角的情况，余弦定理一般用于已知三边及两边和其夹角的情况19（12分）（2013锦州二模）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表：优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为（）请完成上面的列联表；（）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽到6或10号的概率考点：独立性检验的应用；等可能事件的概率专题：计算题；图表型分析：（）由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值（）我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解解答：解：（） 优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105（）根据列联表中的数据，得到因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”（）设“抽到6或10号”为事件a，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个事件a包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案20（15分）（2013锦州二模）如图，在四棱锥sabcd中，底面abcd是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，ac与bd的交点为o，e为侧棱sc上一点（）当e为侧棱sc的中点时，求证：sa平面bde；（）求证：平面bde平面sac；（）（理科）当二面角ebdc的大小为45时，试判断点e在sc上的位置，并说明理由考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题；证明题分析：（i）做出辅助线，连接oe，由条件可得saoe根据因为sa平面bde，oe平面bde，得到sa平面bde（ii）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直（iii）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置解答：解：（）证明：连接oe，由条件可得saoe因为sa平面bde，oe平面bde，所以sa平面bde（）证明：由（）知so面abcd，acbd建立如图所示的空间直角坐标系设四棱锥sabcd的底面边长为2，则o（0，0，0），s（0，0，），a（，0，0），b（0，0），c（，0，0），d（0，0）所以=（20，0），=（0，0）设ce=a（0a2），由已知可求得eco=45所以e（+a，0，a），=（+，）设平面bde法向量为n=（x，y，z），则即令z=1，得n=（，0，1）易知=（0，0）是平面sac的法向量因为n=（，0，1）（0，0）=0，所以n，所以平面bde平面sac（8分）（）设ce=a（0a2），由（）可知，平面bde法向量为n=（，0，1）因为so底面abcd，所以=（0，0，）是平面sac的一个法向量由已知二面角ebdc的大小为45所以|cos（，n）|=cos45=，所以，解得a=1所以点e是sc的中点点评：本题考查用空间向量解决线线角和面面角，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何的理论推导变化成数字的运算问题，这样可以降低题目的难度，同学们只要细心都可以做对21（15分）（2013锦州二模）已知椭圆m的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆m的一个焦点，又点a在椭圆m上（）求椭圆m的方程；（）已知直线l的方向向量为，若直线l与椭圆m交于b、c两点，求abc面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征专题：计算题分析：（）先求出抛物线的焦点坐标，进而设出椭圆方程，再把点a代入方程求出a，即可求椭圆m的方程；（）先利用直线l的方向向量为，求出直线的斜率，设出直线方程；再与椭圆方程联立，求出b、c两点的坐标与m的关系；再求出b、c两点之间的线段长以及点a到bc的距离，代入abc面积的表达式，再结合不等式的有关知识求出abc面积的最大值即可解答：解：（）由已知抛物线的焦点为，故设椭圆方程为将点代入方程得，整理得a45a2+4=0，解得a2=4或a2=1（舍）故所求椭圆方程为（6分）（）设直线bc的方程为，设b（x1，y1），c（x2，y2），代入椭圆方程并化简得，由=8m216（m24）=8（8m2）0，可得m28（*）由，故又点a到bc的距离为，故，当且仅当2m2=162m2，即m=2时取等号（满足*式）所以abc面积的最大值为（12分）点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题第一问涉及到了求抛物线的焦点坐标，在求抛物线的焦点坐标时，一定注意先把抛物线方程转化为标准形式，再求解，避免出错22（16分）（2013锦州二模）设函数，其中a为常数（1）证明：对任意ar，y=f（x）的图象恒过定点；（2）当a=1时，判断函数y=f（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（3）若对任意a（0，m时，y=f（x）恒为定义域上的增函数，求m的最大值考点：利用导数研究函数的极值；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性专题：计算题；压轴题分析：（1）令lnx=0得到x=1=f（x）得到函数过定点；（2）当a=1时求出函数的导函数观察发现x=1时g（x）=0且为唯一根，根据x的范围讨论函数的增减性得到x=1是函数的唯一极值点，求出f（1）即为最小值；（3）y=f（x）恒为定义域上的增函数即要证f/（x）大于零，利用导数研究函数h（x）=x2alnx+a的最小值都比0大即可解答：解：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，所以y=f（x）的图象过定点（1，1）；（2）当a=1时，令g（x）=x2+lnx1，经观察得g（x）=0有根x=1，下证明g（x）=0无其它根，当x0时，g/（x）0，即y=g（x）在（0，+）上是单调递增函数所以g（x）=0有唯一根x=1；且当x（0，1）时，f（x）在（0，1）上是减函数；当x（1，+）时，f（x）在（1，+）上是增函数所以x=1是f（x）的唯一极小值点极小值是（3），令h（x）=x2alnx+a由题设，对任意a（0，m，有h（x）0，x（0，+），又当时，h/（x）0，h（x）是减函数；当时，h/（x）0，h（x）是增函数；所以当时，h（x）有极小值，也是最小值，又由h（x）0得，得a2e3，即m的最大值为2e3点评：考查学生利用导数研究函数的单调性及研究函数极值的能力，以及应用函数单调性的能力23（2013锦州二模）如图，在abc中，d是ac的中点，e是bd的中点，ae的延长线交bc于f（）求的值；（）若bef的面积为s1，四边形cdef的面积为s2，求s1：s2的值考点：相似三角形的性质专题：计算题分析：（）过d点作dgbc，并交af于g点，则易根据e是bd的中点，可得，befdeg，由全等三角形的性质可将bf：fc转化为dg：fc，再由平行线分线段成比例定理即可得到答案（ii）bef以bf为底，bdc以bc为底，由（i）的结论，我们可以求出两个三角形的底边长之比，及高之比，进而求出bef的面积s1，四边形cdef的面积s2的比值解答：解：（）过d点作dgb