几种常见函数的导数.ppt

几种常见函数的导数 一 复习 1 解析几何中 过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值 物理学中 物体运动过程中 在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等 都是极限思想得到本质相同的数学表达式 将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式 导数 导数源于实践 又服务于实践 2 求函数的导数的方法是 说明 上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数 3 函数f x 在点x0处的导数就是导函数在x x0处的函数值 即 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一 4 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线的斜率 5 求切线方程的步骤 1 求出函数在点x0处的变化率 得到曲线在点 x0 f x0 的切线的斜率 2 根据直线方程的点斜式写出切线方程 即 二 新课 几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式 公式1 公式2 请注意公式中的条件是 但根据我们所掌握的知识 只能就的情况加以证明 这个公式称为幂函数的导数公式 事实上n可以是任意实数 公式3 要证明这个公式 必须用到一个常用极限 同理可证 公式4 三 例题选讲 例1 求过曲线y cosx上点P 且与过这点的切线垂直的直线方程 注 满足条件的直线称为曲线在P点的法线 OAx MP y 例2 如图 质点P在半径为10cm的圆上逆时针做匀角速运动 角速度1rad s 设A为起始点 求时刻t时 点P在y轴上的射影点M的速度 解 时刻t时 因为角速度1rad s 所以 故点M的运动方程为 y 10sint 故时刻t时 点P在y轴上的射影点M的速度为10costcm s 例3 已知两条曲线y sinx y cosx 问是否存在这两条曲线的一个公共点 使在这一点处 两条曲线的切线互相垂直 并说明理由 解 设存在一个公共点P x0 y0 满足题设条件 由两条曲线的切线在点P互相垂直 则cosx0 sinx0 1 得sinx0cosx0 1 即sin2x0 2 这不可能 所以不存在满足题设条件的一个点 练习1 曲线y sinx在点P 处的切线的倾斜角为 例4 已知曲线在点P 1 1 处的切线与直线m平行且距离等于 求直线m的方程 设直线m的方程为3x y b 0 由平行线间的距离公式得 故所求的直线m的方程为3x y 6 0或3x y 14 0 例5 求双曲线与抛物线交点处切线的夹角 例6 求过点P 3 5 且与曲线y x2相切的直线方程 说明 曲线上求在点P处的切线与求过点P的切线有区别 在点P处的切线 点P必为切点 求过点P的切线 点P未必是切点 应注意概念的区别 其求法也有所不同 解 设所求切线的切点在A x0 y0 因为A是曲线y x2上的一点 所以 y0 x02 又因为函数y x2的导数为所以过点A x0 y0 的切线的斜率为 由于所求切线过P 3 5 和A x0 y0 两点 故其斜率又应为 联立 解得 故切点分别为 1 1 或 5 25 当切点为 1 1 时 切线的斜率为k1 2x0 2 当切点为 5 25 时 切线的斜率为k2 2x0 10 所以所求的切线有两条 方程分别为 y 1 2 x 1 或y 25 10 x 5 即y 2x 1或y 10 x 25 练习2 若直线y 3x 1是曲线y ax3的切线 试求a的值 解 设直线y 3x 1与曲线y ax3相切于点P x0 y0 则有 y0 3x0 1 y0 ax03 3ax02 3 由 得3x0 1 ax03 由 得ax02 1 代入上式可得 3x0 1 x0 x0 1 2 所以a 1 2 3 1 a 4 四 小结与作业 1 要切实掌握四种常见函数的导数公式 1 c为常数 2 3 4 2 对于简单函数的