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文档简介

3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 由平面向量基本定理知 平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 对于空间的任意一个向量 有没有类似的结论呢 如图 设i j k是空间三个两两垂直的向量 且有公共起点O 对于空间任意一个向量p OP 设点Q为点P在i j所确定的平面上的正投影 由平面基本定理可知 在OQ k所确定的平面上 存在实数z 使得OP OQ zk 而在i j所确定的平面上 由平面向量基本定理可知 存在有序之前数对 x y 使得OQ xi yj 从而OP OQ zk xi yj zk 一 空间向量基本定理 如果i j k是空间三个两两垂直的向量 对空间任一个向量p 存在一个有序实数组使得p xi yj zk xi yj zk为向量p在i j k上的分向量 思考 在空间中 如果用任意三个不共面向量a b c代替两两垂直的向量i j k 能得到类似的结论吗 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p xa yb zc 空间所有向量的集合 p p xa yb zc x y z R a b c 叫做空间的一个基底 a b c都叫做基向量 二 空间直角坐标系 例1设且是空间的一个基底 给出下列向量组 其中可以作为空间的基底的向量组有 A 1个B 2个C 3个D 4个 分析 能否作为空间的基底 即是判断给出的向量组中的三个下向量是否共面 由于是不共面的向量 所以可以构造一个平行六面体直观判断 设 易判断出答案 C 例题讲解 例2 如图 M N分别是四面体OABC的边OA BC的中点 P Q是MN的三等分点 用向量表示和 变式 空间四边形OABC中 M在OA上 OM 3MA N在BC上 且BN 2NC 设 用向量表示 小结 1 选定空间不共面的三个向量作为基向量 并用它们表示出指定的向量 是用向量解决立体几何问题的基本要求 2 求解时要结合已知和所求观察图形 联想相关的运算法
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