新课标高中数学知识点及方法总结（修订版）.doc

第一章 集合与简易逻辑集合知识点归纳 1.定义：一组对象的全体形成一个集合2.特征：确定性、互异性、无序性3.表示法：列举法1,2,3,、描述法x|P(x), 维恩图4.分类：有限集、无限集5.数集：自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、正整数集N、空集6.关系：属于、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等7.运算：交运算ABx|xA且xB；并运算ABx|xA或xB;补运算x|xA且xU，U为全集8.图形表示：9.性质：AA； A； 若AB，BC，则AC；AAAAA； A；AA；ABAABBAB；ACA； ACAI；C( CA)A；C(AB)(CA)(CB)10.方法： 韦恩示意图, 数轴分析数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决11.注意： 区别与、与、a与a、与、(1,2)与1,2； AB时，A有两种情况：A与A若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是-1, 所有非空真子集的个数是区分集合中元素的形式.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键.元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？；空集是指不含任何元素的集合、和的区别；0与三者间的关系空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 第二章函数一函数定义知识点归纳 1函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA，其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域2两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数3映射的定义：一般地，A、B两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:AB由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集4映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一简记：每元有象，象且唯一.二函数解析式知识点归纳1函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系2求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组法:消元法（5）给出抽象的变量关系式，需通过给x,y赋值来求解析式：赋值法三定义域和值域知识点归纳3.求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出4求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0) (1)x1,x2,x2,则(3)x1b,x2b,则 (4)x1b (0）f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c0(0(0( 0且均不为1）9.同底的指数函数与对数函数互为反函数10指数方程和对数方程主要有以下几种类型：1.af(x)=bf(x)=logab, logaf(x)=bf(x)=ab; （定义法）2.af(x)=ag(x)f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)f(x)=g(x)0（转化法）3 af(x)=bg(x)f(x)logma=g(x)logmb(取对数法)4.logaf(x)=logbg(x)logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)四对数函数的性质：1、记住图象：2、性质：图象性质(1)定义域：（0，+）（2）值域：R（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0（4）在 （0，+）上是增函数（4）在（0，+）上是减函数(5)；(5)；3、几种幂函数的图象：、五幂函数1、幂函数的定义2、幂函数的图象与性质补充8六函数图象变换知识点归纳1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象 2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到 y=f(x)y=f(x+h); y=f(x) y=f(x-h);y=f(x) y=f(x)+h; y=f(x) y=f(x)-h5对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；（3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到y=f(x) y= -f(x); y=f(x) y=f(-x);y=f(x) y=f(2a-x); y=f(x) y=f-1(x); y=f(x) y= -f(-x)6翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到；（2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到 7伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；（2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到y=f(x)y=f(); y=f(x)y=f(x)补充7：对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上. 证明图像与的对称性,即证上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在上,反之亦然. 函数与的图像关于直线(轴)对称；函数与函数的图像关于直线(轴)对称； 若函数对时，或恒成立,则图像关于直线对称； 若对时,恒成立,则图像关于直线对称； 函数,的图像关于直线对称(由确定)； 函数与的图像关于直线对称； 函数,的图像关于直线对称(由确定)； 函数与的图像关于原点成中心对称；函数, 的图像关于点对称； 函数与函数的图像关于直线对称；曲线：,关于,的对称曲线的方程为(或； 曲线：关于点的对称曲线方程为：.补充10补充11.七、方程的根与函数的零点1、方程有实根 函数的图象与轴有交点 函数有零点.2、 零点存在性定理：如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.补充93、用二分法求方程的近似解1、掌握二分法.2.几类不同增长的函数模型3、函数模型的应用举例解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验.八函数与导数1、函数从到的平均变化率： 2、导数定义：在点处的导数记作；补充121、函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.2、几种常见函数的导数； ； ； ； ；3、导数的运算法则（1）. （2）. （3）.4、复合函数求导法则复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.解题步骤:分层层层求导作积还原.5、函数的极值 (1)极值定义：极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极大值； 极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极小值.极大值（2）判别是极大（小）值的方法(1)求导；极小值（2）令=0，解方程，求出所有实根（3）列表，判断每一个根左右两侧的正负情况：如果在附近的左侧，右侧，则是极大值； 如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.6.求函数在闭区间a , b上的最值的步骤： （1）求函数的所有极值； （2）求闭区间端点函数值； （3）将各极值与比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即，千万不能写成导数值。 （2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)补充13也可利用导函数的零点穿轴分析，和列表分析等价，但更简洁九导数的概念与和、差、积、商的导数知识点归纳 1导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为3导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数， 4可导: 如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导5可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件6求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数 7 常见函数的导数公式：； 8和差的导数： 十单调性及其应用知识点归纳 1利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤（1）求（x）（2）确定（x）在（a，b）内符号（3）若（x）0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x） （）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点4判别f(x0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值5 求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f(x) (2)求方程f(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值6函数的最大值和最小值:在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个7利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值第四章不等式知识点归纳 1绝对值不等式 与型不等式与型不等式的解法与解集：不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集为 ;不等式的解集为 2解一元一次不等式 3韦达定理：方程（）的二实根为、，则且两个正根，则需满足，两个负根，则需满足，一正根和一负根，则需满足4一元二次不等式的解法步骤（1）查（2）求（3）写对于一元二次不等式，设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R 方程的根函数草图观察得解，对于的情况可以化为的情况解决5.恒成立问题的处理方法：分离参数法(最值法)； 转化为一元二次方程根的分布问题即图像问题；（1）含参数的不等式axbxc0恒成立问题含参不等式axbxc0的解集是R；其解答分a0(验证bxc0是否恒成立)、a0（a0且0标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正判断或比较根的大小13、含参数的不等式的解法解形如且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论与0的大小；讨论与0的大小；讨论两根的大小.14、恒成立问题不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当时 当时不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当时当时恒成立恒成立恒成立恒成立15、线性规划问题二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：由于直线的同一侧的所有点的坐标代入后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（如原点），由的正负即可判断出或表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据或，观察的符号与不等式开口的符号，若同号，或表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，异号下方.法三：左右手定则（借助肢体判定）根据或，（A0），沿直线向上走同时伸直左右手，左手指向不等式小于零所示区域; 右手指向不等式大于零所示区域，脚踩过的点形成等于零的区域。二元一次不等式组所表示的平面区域： 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.利用线性规划求目标函数为常数）的最值： 法一：角点法：（代可行域顶点检验）如果目标函数 （即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应值，最大的那个数为目标函数的最大值，最小的那个数为目标函数的最小值法二：画移定求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 ，平移直线（据可行域，将直线平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用的几何意义：,为直线的纵截距.若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最小值；若则使目标函数所表示直线的纵截距最大的角点处，取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，取得最大值.常见的目标函数的类型：“截距”型：“斜率”型：或“距离”型：或或在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.第五章：三角函数一：任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念.2、 与角终边相同的角的集合：.3.几种终边在特殊位置时对应角的集合为： 角的终边所在位置角的集合X轴正半轴Y轴正半轴X轴负半轴Y轴负半轴X轴Y轴坐标轴 二、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、 .3、弧长公式：.4、扇形面积公式：.三、任意角的三角函数1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么：2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设） ，3、 ，在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT5、 特殊角0，30，45，60，90，180，270等的三角函数值.0四、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系：.2、 商数关系：.3、 倒数关系：五、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”）1、 诱导公式一：（其中：）2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： 七、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：八、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2正切函数的单调性：正切函数f (x) = tan x（在每一个区间上都是增函数但不能说f (x ) = tan x在其定义域上是增函数3、记住余切函数的图象4、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.5、会用五点法作图.在上的五个关键点为：九、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质图象定义域值域-1,1-1,1最值无周期性奇偶性奇偶奇单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减在上单调递增对称性对称轴方程：对称中心对称轴方程：对称中心无对称轴对称中心十、函数的图象1、对于函数：有：振幅A，周期，初相，相位，频率.2、能够讲出函数的图象与的图象之间的平移伸缩变换关系. 先平移后伸缩： 平移个单位 （左加右减） 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的倍平移个单位 （上加下减） 先伸缩后平移： 横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的倍平移个单位 （左加右减）平移个单位 （上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数，xR及函数，xR(A,为常数，且A0)的周期；函数，(A,为常数，且A0)的周期.对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数图像的对称轴与对称中心，只需令与解出即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：，.要根据周期来求,要用图像的关键点来求.十一、三角函数模型的简单应用1、 要求熟悉课本例题.十二 、三角恒等变换1、两角差的余弦公式记住15的三角函数值：2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)、(2)、(3)、(4)、（5）、.（6）、.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）、， 变形： .（2）、.变形如下： 升幂公式：降幂公式：（3）、.（4）、5万能公式；十三、简单的三角恒等变换1、 注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式 （其中辅助角所在象限由点的象限决定, ).3函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将ysinx的图象向左(0)或向右(0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(0)，便得ysin(x)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将ysinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(0),再沿x轴向左(0)或向右(0平移个单位，便得ysin(x)的图象5 由yAsin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系7 求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；8 求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法9五点法作y=Asin（x+）的简图：五点取法是设x=x+，由x取0、2来求相应的x值及对应的y值，再描点作图十四、三角函数的最值及综合应用 1y=asinx+bcosx型函数最值的求法：常转化为y= sin（x+）2y=asin2x+bsinx+c型 常通过换元法转化为y=at2+bt+c型：3y=型（1）当时，将分母与乘转化变形为sin（x+）型（2）转化为直线的斜率求解（特别是定义域不是R时，必须这样作）4同角的正弦余弦的和差与积的转换：同一问题中出现，求它们的范围，一般是令或或，转化为关于的二次函数来解决5已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值：如已知，求的值，一般是将不包括常数项的式子的分母1用代换，然后分子分母同时除以化为关于的表达式6几个重要的三角变换：sin cos 可凑倍角公式； 1cos 可用升次公式；1sin 可化为，再用升次公式；或（其中 ）这一公式应用广泛，熟练掌握7 单位圆中的三角函数线:三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、y = tan x、y = cot x的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的8 三角函数的图象的掌握体现：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图9三角函数的奇偶性 函数y = sin (x)是奇函数 函数y = sin (x)是偶函数 函数y =cos (x)是奇函数 函数y = cos (x)是偶函数补充1310、角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 如：； 等；“”的变换：；十五、解三角形1、正弦定理：.（其中为外接圆的半径）用途：已知三角形两角和任一边，求其它元素； 已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。2、余弦定理：用途：已知三角形两边及其夹角，求其它元素；已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：4、三角形内角和定理： 在ABC中，有.5、一个常用结论： 在中，若特别注意，在三角函数中，不成立。正弦平方差公式：；三角形的内切圆半径；面积公式：；射影定理：.6.中,易得：,.,. 锐角中,类比得钝角结论. .第六章平面向量一、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.2、 既有大小又有方向的量叫做向量.二、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.2、 向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作；长度为零的向量叫做零向量；长度等于1个单位的向量叫做单位向量.3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行.三、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同四、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.2、.五、向量减法运算及其几何意义1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.六、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下： ,当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.2、 平面向量共线定理：向量与 共线，当且仅当有唯一一个实数，使.七、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.2.在多边形中，有关向量的关系：原则应选定两个不共线的非零向量作为“基底”。用“基底” 向量来表示其他向量。八、平面向量的正交分解及坐标表示1、 .九、平面向量的坐标运算1、 设，则： ，.2、 设，则： .十、平面向量共线的坐标表示1、设，则线段AB中点坐标为，ABC的重心坐标为.十一、平面向量数量积的物理背景及其含义1、 .规定2、 在方向上的投影为：.向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3 、数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4、 .5、 .6、 .7.乘法公式成立： 7.特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=十二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹