二圆内接四边形的性质与判定定理.pptx

圆内接四边形的性质与判定定理 大庆市第二十三中李会艳 1 了解圆内接四边形的概念 掌握圆内接四边形的性质定理及其应用 2 理解圆内接四边形的判定定理及其推论 并能解决有关问题 3 了解反证法在证明问题中的应用 教学目标 1 性质定理1 课前预习 做一做1 四边形ABCD内接于圆O A 25 则 C等于 A 25 B 75 C 115 D 155 解析 四边形ABCD内接于圆 A C 180 又 A 25 C 180 A 155 答案 D 课前预习 2 性质定理2 课前预习 做一做2 如图 四边形ABCD内接于圆O 延长AB到点E 若 ADC 32 则 CBE等于 A 32 B 58 C 64 D 148 解析 四边形ABCD内接于圆O CBE ADC 32 答案 A 课前预习 归纳总结1 利用这两个性质定理 可以借助圆变换角的位置 得到角的相等关系或互补关系 再进行其他的计算或证明 2 利用这两个定理可以得出一些重要结论 如内接于圆的平行四边形是矩形 内接于圆的菱形是正方形 内接于圆的梯形是等腰梯形等 合作交流 3 圆内接四边形判定定理 课前预习 做一做3 下列四边形的四个顶点共圆的是 A 梯形B 矩形C 平行四边形D 菱形答案 B 课前预习 4 推论 归纳总结性质定理1和判定定理互为逆定理 性质定理2和判定定理的推论互为逆定理 课前预习 做一做4 如图 四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E 且BC BE D 80 E 50 求证 四边形ABCD内接于圆 证明 BC BE E BCE 则 EBC 180 2 E 80 EBC D 四边形ABCD内接于圆 课前预习 1 圆内接四边形的性质定理与判定定理剖析 1 圆的内接四边形的外角及内对角如图 圆内接四边形ABCD的内角 BAD的两个补角 1和 2称为圆内接四边形的外角 因为 BAD和 C两角相对 所以 C称为 1与 2的内对角 且它们满足 BAD C 180 1 2 C 2 判定定理与性质定理的内在联系性质定理1和判定定理互为逆定理 性质定理2与判定定理的推论互为逆定理 新课讲解 2 与圆内接四边形有关的相似三角形剖析 如图 通过掌握与圆有关的相似三角形的基本图形 可以在解题过程中遵循正确的思维规律和解题步骤 对图形运用自如 融为一体 做出连贯反应 基本图形1基本图形2基本图形3 基本图形1 圆的任意内接四边形ABCD 有 AED BEC DEC AEB 基本图形2 四边形ABCD内接于 O AD BC的延长线交于点F 其中相似三角形有 AED BEC AEB DEC CDF ABF ACF BDF 基本图形3 四边形ABCD内接于 O AD BC的延长线交于点F AB为直径 其中相似三角形有 DEC AEB FDC FBA Rt AFC Rt BFD Rt AED Rt BEC 题型一 题型二 题型三 例1 如图 在 ABC中 E D F分别为AB BC AC的中点 且AP BC于点P 求证 E D P F四点共圆 分析 连接PF 转化为证明 FED FPC 先利用中点证明 FED C 再利用AP BC证明PF FC 得 C FPC 即得出 FED FPC 题型一 题型二 题型三 证明 如图 连接PF AP BC F为AC的中点 PF是Rt APC斜边上的中线 PF FC FPC C E F D分别为AB AC BC的中点 EF CD ED FC 四边形EDCF为平行四边形 FED C FPC FED E D P F四点共圆 题型一 题型二 题型三 反思判定四点共圆的方法 如果四个点与一定点距离相等 那么这四个点共圆 如果一个四边形的一组对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 如本题 与线段两个端点连线的夹角相等 或互补 的点连同该线段两个端点在内共圆 题型一 题型二 题型三 变式训练1 在锐角三角形ABC中 AD是BC边上的高 DE AB DF AC 点E F是垂足 求证 E B C F四点共圆 题型一 题型二 题型三 证明 如图 连接EF DE AB DF AC A E D F四点共圆 1 2 AD是BC边上的高 1 C 2 C 90 BEF C 180 B E F C四点共圆 题型一 题型二 题型三 例2 如图 已知四边形ABCD内接于 O 延长AB和DC相交于点E EG平分 AED 且与BC AD分别交于点F G 求证 CFG DGF 分析 由 BEF DEG 可证明 EBF EDG 又 BFE与 CFG是对顶角 问题获证 题型一 题型二 题型三 证明 四边形ABCD内接于 O EBF ADE 又EF是 AED的平分线 则 BEF DEG EBF EDG EFB DGF 又 EFB CFG CFG DGF 反思当已知条件中出现圆内接四边形时 常用圆内接四边形的性质定理来获得角相等或互补 从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件 题型一 题型二 题型三 易错点 错用圆内接四边形的外角等于它的内角的对角这一定理而致错 例3 如图 四边形ABCD是 O的内接四边形 E为AB的延长线上一点 CBE 40 则 AOC等于 A 20 B 40 C 80 D 100 错解 四边形ABCD是 O的内接四边形 根据圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 得 CBE C