毕业设计（论文）-模糊层次分析法在高校教学评估中的应用.pdf

CHANGSHACHANGSHA UNIVERSITYUNIVERSITY OFOF SCIENCESCIENCE 1 0 0 5 1 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 1 0 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 1 0 1 0 0 5 1 0 1 0 0 5 for i 1 7 a i A i 1 A i 2 A i 3 A i 4 A i 5 A i 6 A i 7 end for i 1 7 for j 1 7 f i j a i a j 2 7 0 5 end end f f 0 50000 32140 50000 17860 32140 50000 1786 0 67860 50000 67860 35710 50000 67860 3571 0 50000 32140 50000 17860 32140 50000 1786 0 82140 64290 82140 50000 64290 82140 5000 0 67860 50000 67860 35710 50000 67860 3571 0 50000 32140 50000 17860 32140 50000 1786 0 82140 64290 82140 50000 64290 82140 5000 A 0 5 0 0 1 0 0 5 for i 1 2 a i A i 1 A i 2 end for i 1 2 for j 1 2 f i j a i a j 2 2 0 5 end end f 模糊层次分析法在高校教学评估中的应用 第 24页共 30页 f 0 50000 2500 0 75000 5000 A 0 5 1 1 0 0 5 1 0 0 0 5 for i 1 3 a i A i 1 A i 2 A i 3 end for i 1 3 for j 1 3 f i j a i a j 2 3 0 5 end end f f 0 50000 66670 8333 0 33330 50000 6667 0 16670 33330 5000 A 0 5 1 1 1 1 0 0 0 5 0 1 0 0 0 1 0 5 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 1 1 1 0 5 0 1 1 1 1 1 0 5 for i 1 6 a i A i 1 A i 2 A i 3 A i 4 A i 5 A i 6 end for i 1 6 for j 1 6 f i j a i a j 2 6 0 5 end end f f 0 50000 75000 66670 83330 58330 4167 0 25000 50000 41670 58330 33330 1667 模糊层次分析法在高校教学评估中的应用 第 25页共 30页 0 33330 58330 50000 66670 41670 2500 0 16670 41670 33330 50000 25000 0833 0 41670 66670 58330 75000 50000 3333 0 58330 83330 75000 91670 66670 5000 利用模糊一致矩阵算出各因素在目标中的权值 A 0 5 0 667 0 833 0 333 0 5 0 667 0 167 0 333 0 5 for i 1 3 a i A i 1 A i 2 A i 3 1 3 l sum a a i l end ans 0 4543 ans 0 3347 ans 0 2110 B 0 5 0 75 0 25 0 5 for j 1 2 b j B j 1 B j 2 1 2 p sum b b j p end ans 0 6340 ans 0 3660 模糊层次分析法在高校教学评估中的应用 第 26页共 30页 C 0 5 0 75 0 667 0 833 0 583 0 417 0 25 0 5 0 417 0 583 0 333 0 167 0 333 0 583 0 5 0 667 0 417 0 25 0 167 0 417 0 333 0 5 0 25 0 083 0 417 0 667 0 583 0 75 0 5 0 333 0 583 0 833 0 75 0 917 0 667 0 5 for k 1 6 c k C k 1 C k 2 C k 3 C k 4 C k 5 C k 6 1 6 m sum c c k m end ans 0 2132 ans 0 1210 ans 0 1524 ans 0 0874 ans 0 1830 ans 0 2431 D 0 5 0 321 0 5 0 179 0 321 0 5 0 179 0 679 0 5 0 679 0 357 0 5 0 679 0 357 0 5 0 321 0 5 0 179 0 321 0 5 0 179 模糊层次分析法在高校教学评估中的应用 第 27页共 30页 0 821 0 643 0 821 0 5 0 643 0 821 0 5 0 679 0 5 0 679 0 357 0 5 0 679 0 357 0 5 0 321 0 5 0 179 0 321 0 5 0 179 0 821 0 643 0 821 0 5 0 643 0 821 0 5 for h 1 7 d h D h 1 D h 2 D h 3 D h 4 D h 5 D h 6 D h 7 1 7 n sum d d h n end ans 0 0981 ans 0 1546 ans 0 0981 ans 0 1984 ans 0 1546 ans 0 0981 ans 0 1984 模糊层次分析法在高校教学评估中的应用 第 28页共 30页 层次总排序 W0 0 0981 0 1546 0 0981 0 1984 0 1546 0 0981 0 1984 R 0 5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 366 0 634 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 634 0 366 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4543 0 3347 0 211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 634 0 366 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 366 0 634 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2132 0 121 0 1524 0 0874 0 183 0 2431 W W0 R W Columns 1 through 12 0 04910 04910 05660 09800 06220 03590 0901 0 06640 04190 09800 05660 0359 Columns 13 through 19 0 06220 04230 02400 03020 01730 03630 0482 专家测评均分 E2 95 90 93 90 90 85 90 92 83 80 83 90 88 92 87 90 92 95 90 92 88 91 89 88 85 91 89 80 85 87 90 90 94 86 88 90 89 87 90 90 88 87 85 82 90 91 86 82 85 91 92 92 85 88 93 91 91 89 89 88 90 84 86 90 91 82 86 87 92 95 95 86 89 93 90 89 96 89 90 91 92 89 89 89 85 86 87 95 91 96 88 90 90 90 89 94 90 89 87 85 82 93 91 83 82 85 91 92 92 85 91 94 91 92 93 89 87 90 84 88 90 90 82 83 86 89 95 93 87 89 93 90 89 91 91 89 90 89 86 90 91 87 86 87 93 94 94 86 89 89 92 90 93 87 91 89 88 89 91 89 83 85 87 90 93 90 86 91 90 91 88 95 91 90 89 91 85 90 92 83 87 83 92 88 92 89 90 92 94 90 for j 1 19 f2 j E2 1 j E2 2 j E2 3 j E2 4 j E2 5 j E2 6 j E2 7 j E2 8 j E2 9 j E2 10 j 10 end f2 f2 模糊层次分析法在高校教学评估中的应用 第 29页共 30页 Columns 1 through 11 92 800089 400089 600089 200087 600085 700090 4000 90 500083 400084 200085 7000 Columns 12 through 19 91 300091 800093 000086 500089 500091 600091 3000 89 5000 自评均分 E1 95 92 93 90 90 85 90 92 83 83 86 90 88 92 87 90 92 95 90 93 89 91 89 88 85 91 89 89 85 87 90 90 94 86 88 90 89 94 91 90 88 88 86 84 90 91 86 82 85 91 92 92 85 88 93 91 91 89 89 94 90 87 86 90 91 82 86 87 92 95 95 86 89 93 90 89 97 93 90 91 92 89 89 89 85 86 89 95 91 96 88 90 90 93 89 94 92 89 87 85 83 93 91 83 85 85 91 92 92 85 91 94 91 92 93 89 89 92 89 88 90 90 87 83 86 89 95 93 87 89 93 90 89 92 91 89 90 89 86 90 91 87 86 87 93 94 94 86 89 89 92 90 93 87 91 89 88 89 91 89 83 85 87 90 93 90 86 91 90 91 93 95 91 90 89 91 85 90 92 83 87 88 92 88 92 89 90 92 94 90 for j 1 19 f1 j E1 1 j E1 2 j E1 3 j E1 4 j E1 5 j E1 6 j E1 7 j E1 8 j E1 9 j E1 10 j 10 end f1 f1 Columns 1 through 11 93 200090 300090 400089 500088 500086 000090 4000 90 500084 800084 800086 7000 Columns 12 through 19 91 300091 800093 000086 500089 500091 600091 6000 90 7000 最终教学评估分数 模糊层次分析法在高校教学评估中的应用 第 30页共 30页 W 0 0491 0 0491 0 0566 0 0980 0 0622 0 0359 0 0901 0 0644 0 0419 0 0980 0 0566 0 0359 0 0622 0 0423 0 0240 0 0302 0 0173 0 0363 0 0 482 f1 93 2 90 3 90 4 89 5 88 5 86 0 90 4 90 5 84 8 84 8 86 7 91 3 91 8 93 0 86 5 89 5 91 6 91 6 90 7 f2 92 8 89 4 89 6 89 2 87 6 85 7 90 4 90 5 83 4 84 2 85 7 91 3 91 8 93 0 86 5 89 5 91 6 91 3 89 5 F 0 3 W f1 0 7 W f2 F 88 9019 毕业设计毕业设计 论文论文 开题报告开题报告 题目题目 模糊层次分析法在高校教学评估中的应用模糊层次分析法在高校教学评估中的应用 课课 题题 类类 别 别 设计设计 论文论文 学学 生生 姓姓 名 陈玲荣名 陈玲荣 学学号 号 20064090204200640902042006409020420064090204 班班级 级 06 0206 0206 0206 02 班班 专业 全称专业 全称 数学与应用数学 数学与应用数学 指指 导导 教教 师 刘文军师 刘文军 2010201020102010 年年 4 4 4 4 月月 一 本课题设计 研究 的目的 1 掌握模糊层次分析法的基本原理 并研究模糊层次分析法在高校教学评估中 的应用 建立高校教学评估模型 2 培养科学的思维方式 综合运用所学理论 知识和技能分析和解决实际问题 提高分析和解决实际问题的能力 是毕业前全面素质教育的重要实践训练 二 设计 研究 现状和发展趋势 文献综述 进入 21 世纪 面对经济全球化进程明显加快 科技进步日新月异 综合国力竞 争日益激烈的新形势 大力提高高等学校的办学水平和教学质量 已成为时代的主题 成为 21 世纪高等教育改革和发展的迫切任务 本科教育是高等教育的主体和基础 抓好本科教学是提高整个高等教育质量的重点 2003 年开始由国家教育部组织的普通 高等学校本科教学工作水平评估受到众人瞩目 而采用何种评估方法合理评定学校办 学水平更是引起人们的探讨 层次分析法是美国运筹学家 匹兹堡大学的 A L Saaty 教授于 20 世纪 70 年代提 出的一种定性分析和定量分析相结合的系统分析方法 它是将与决策有关的元素分解 成目标 准则 方案等层次 在此基础上进行定性和定量分析的决策方法 层次分析 法在经济决策 城市规划 环境监测等领域已取得了成功 在一些涉及到人的决策方 面 层次分析法往往没有考虑到人思维的模糊性 因此有必要将层次分析法推广到模 糊环境下 在很多情况下 我们不能很好的给出指标权重 或者各指标难于量化 或 者一致性约束很难达到 我们就引入参数 这就是模糊层次分析法的最简单解释 用模糊层次分析法进行决策的一般步骤如下 1 建立层次结构模型 首先确定 所要解决问题的目标 影响因素及各因素间的关系等 然后根据目标将涉及的各影响 因素结构层次化 2 构造优先关系矩阵 R R 是模糊互补矩阵 3 构造模糊一致 矩阵 4 使用模糊一致的判断矩阵去推算层次各因素的重要次序 将权值进行归一 化处理 5 综合各层的权重矩阵 可得到 n 层递阶结构的指标因素层相对于总目标 的合成矩阵 针对高校教学工作水平评估问题 本文将应用模糊层次分析法 通过合成层次总 权重得出了相对总目标的各层权重 给出了学校评估的一般模型 并结合某大学本科 教学评估给出了实际应用 通过该法笔者可以得到在教学评估中某高校的综合得分 三 设计 研究 的重点与难点 拟采用的途径 研究手段 重点 1 定义模糊一致矩阵及其性质 2 建立层次结构模型 难点 1 确定所要解决问题的目标 影响因素及各因素间的关系 2 根据目标将涉及的各影响因素结构层次化 采用的途径 第一步 建立本科教学评估的层次结构模型 第二步 建立优先关系矩阵 并将其转换为模糊一致矩阵 第三步 算出各因素在目标中的权值 四 设计 研究 进度计划 1 第 6 周 搜集资料 2 第 6 7 周 完成开题报告和英文翻译 3 第 8 15 周 撰写毕业论文 4 第 16 周 毕业论文修改 5 第 17 周 毕业论文答辩毕业论文资料整理 五 参考文献 1 刘洋 吴洁 层次分析法在应用中的几个问题 J 温州大学学报 2002 4 71 76 2 彭祖赠 孙韫玉 模糊 fuzzy 数学及其应用 M 武汉大学出版社 2002 3 122 163 3 张吉军 模糊层次分析法 J 模糊系统与数学 2000 14 2 4 王莲芬 蔡海鸥 孙宏才 投资决策量化方法 J 海洋出版社 2004 5 吴开军 模糊数学在本科教学评估中的应用 N 考试周刊 2001 18 6 陈水利 李敬功 王向公 模糊集理论及其应用 M 科学出版社 2005 241 252 7 李学平 用层次分析法求指标权重的标度方法的探讨 J 北京邮电大学学报 社会科学版 2001 1 8 刘婷婷 韩玉启 李新 关于层次分析法 AHP 的应用 J 机械管理开发 2006 5 73 75 9 朱茵 孟志勇 阚叔愚 用层次分析法计算权重 J 北方交通大学学报 1999 5 123 126 10 陈义华 数学建模的层次分析法 J 甘肃工业大学学报 1997 23 3 92 97 11 David C lay Linear Algebra and its Applications Third Edition Beijing Publishing Housr of Electronics Industry 2004 3 12 Z Pawlak Rough sets Theoretical Aspects of Reasoning about Data M Kluwer Academic Publishers 1991 指导教师意见 签名 月日 教研室 学术小组 意见 教研室主任 学术小组长 签章 月日 模糊集 1 第三章模糊集 这一章主要研究模糊集概念的基本思想 模糊集是边界集为连续而不是间断 的语言实体 我们总结模糊集的基本概念和理论 这些概念与理论用在数据挖掘 中 首先 我们从模糊集的基本概念与特征入手 然后 我们转而研究更深层次 的内容 隶属函数估计 模糊集的运算 虚集和粗糙集的相关概念 我们应高度 重视计算模糊集和概率论之间的区别 另外 我们应全面回顾模糊集里出现的信 息粒度的概念 它是构成数据挖掘有效体系的一个关键概念 3 1 引言 当我们处理很多不同的周边事物以及相关事物时 我们习惯于把它们组织起 来并进行系统的分类 这些组织活动能够很好地帮助我们理解 组织和处理周边 环境的信息 而不必对单个物体的一些抽象的共有的类别进行命名和描述 这些 抽象类正好就是集合 我们可随意地谈论一系列客车 而不必一一地列举出这些 对象 车的名字 类似地 如果一一地列举出如下数字 5 4 3 0 1 2 3 这样太繁琐了 为了使这个任务变得容易 或使这任务变得可 行 我们可引入一个整数集合 这个隐含的基本概念就是二分法 它与集合有 内在的关系 当定义集合后 我们所感兴趣的每个元素要么属于这个集合 要么不属于这 个集合 像 属于 或等价地说 是 的一个元素 这样的一些断言是集合 论的重要原理 至少在集合论中属于一个应用性更强的层次 考虑集合 A 则 x 属于 A 用数学语言就描述为 Ax x 不属于 A 就描述为 Ax 是否 属于这个集合是通过 A 的一个定义在某个讨论范围内的特征函数来描述的 如 A A A Ax x x x A A A Ax x x x x x x xA A A A 0 0 0 0 1 1 1 1 在这个讨论范围所包含的元素的集合里 所有概念都有定义 例如 当涉及到正数 偶数等数时 讨论范围就构成了全体实数集 R 显然 空 集 定义了一个空特征函数 Xxx 0 对所有的属于 X 的元素 定义 这样的一个连续的特征函数 Xxx 1 集合 aA 只含一个元素 这 模糊集 2 就是说 当ax 时 1 xA 否则 0 xA 尽管集合论不仅在数学领域里发展地很好 在其它一些领域如科学 能源 经济等也很普遍 但关于二分法过程本身及其相关的方法都存在一些根本上的问 题 显然 集合论没有涉及到这方面 但是 在很多情况下 一个正在研究的问 题如果仅仅只用是或否来决定 这明显太不合适了 这个二分法本身很可能就起 源于概念 而这个概念就是我们努力遵循的数学背景强加在我们身上的 对于那些简单易懂的物体或现象 双分类起到很好的作用 定义一个正实数 集合 用它构成一些欧洲国家首都的集合 这不是一个难题 定义像高温 大雨 等这样的概念则另作讨论 我们马上就要面对一个从完全接纳到完全排斥的 不断转换 甚至解释灌木都可能是一个颇具挑战的任务 波尔的一段经常被引用 的摘录简要地描述了这些困难的本质 概念和分类的连续性问题到处都可见 这的确是很让人惊讶 考虑一个分段函数 在控制工程或信号处理中经常用到的一个信号模型 这实际上是现实物体的 一个理想模型 而事实上 就如图 1 所言 分段函数显示了 0 和 1 之间值的连续 统一性 图一 分段函数信号的理想情况和物理现实情况 同样地 黑白图像是很稀有的 正是变化多端的亮度的光谱使它们变得丰 模糊集 3 富有趣 函数 A 1 0 X 引入了一个限制条件 它在属于 X 的对象上有确定 的边界 这里可能就规定 X 为集合 A 模糊集的思想是减轻二分法的这种需求 并且认可类成员的中间值 考虑到一个浓缩的并且更实际的解释框架 这为论述 提供了一些属性 更有趣的是 用来描述现实世界对象的大多数类别没有确定的 边界 在这些情况下 属于一个分类的对象的性质就称为度 它被区间 1 0中的 正数描述出来 实体的度越接近 类的对象的成员等级就越高 3 2 基本定义 Zadeh 于 1965 1975 年 Kandel 于 1986 年 Klir 和 Folger 于 1988 年 分别提出了模糊集的概念 即 模糊集是相关隶属函数的值取在 0 1 中的对象 的集合 隶属函数的数值大小反映了每个对象对于集合的隶属度 模糊集更规范 的定义如下 将一个区域 空间或论域 X 上的元素映射到区间 0 1 上 则模糊集由这样的 一个实值函数来表示 即 1 0 XA 由此可见 一个定义在 X 上的模糊集 A 可能代表全体 X 上的元素 x 及其隶属度的集合 即 AxxAA 显然 模 糊集是对隶属函数只能取 0 1 两个值的集合的概念的推广 正如前面已经讨论 的 xA的值反映了 A 中的一个元素 x 隶属于集合 A 的程度 例如 考虑高温 这个概念 环境温度分布在区间 500 X上 单位是C C 0显然不是高温的 值 我们可指定 0 度来反映高温这个概念的隶属度 换句话说 C 0的隶属度 即 0 CA 对高温这个类来说是 0 同样地 C 30即 30 CA 以上当然是高温了 并且 我们可指定这样一个完全的隶属度 模糊集可以被看作是附加在一个区域或区间上的灵活的限制条件 一个弹力 橡胶带的实验有助于理解这个概念 为了包含任何一个新的点 这个橡胶带应该 被拉长 拉长的程度视点的位置而定 拉长橡胶带使其包含这个点 所用的力相 应地看作是隶属度 则力越大 隶属度越小 完全不需要拉伸的点当然是包含在 模糊集 4 这个类里的 这个例子很好地阐明了模糊集的本质 模糊集可以被定义在有限区间上 也可以被定义在无限区间上 正是因为这 样 读者应该特别注意通篇文章里所用的符号的差别 对于一个基数为 n 的有限 区间 其模糊集是一个 n 维向量 它的分量代表 X 的相关元素的隶属度 我们可以得出 实边界上的点构成一个形式很特殊的模糊集 表示方法如下 px px pxxA 当 当 0 1 其中Rpx 3 3 隶属函数的种类 原则上 任何 连续 函数形如 1 0 XA 都可以用来描述模糊集上 的一个隶属函数 然而 每个模糊集都附加了某些意义 这使得一类隶属函数的 范围变窄了 例如 有些极端的隶属函数就因为不能被清晰地表示出来 而有些 点被忽略掉了 通常 隶属函数会带有参数 以便于我们改变它们的形式 下面 列出了我们经常用到的几种隶属函数 三角模糊函数 bx bmx mb xb max am ax ax xA 当 当 当 当 0 0 这里 a b 分别是 xA不为 0 时 x 的下界与上界 m 是 ba 中的一个样值 三 角模糊函数的等价形式为 0 min max mbxbamaxbmaxA 从概念上来看 三角模糊函数的这三个参数所代表的意义很直观 下界与上界代 表了隶属函数的值不为 0 的区间 样值代表了模糊集的最可能的元素 S隶属函数 模糊集 5 bx bmx mb xb max am ax ax xA 当 当 当 当 1 21 2 0 2 2 点 2 ba m 是 S函数的转折点 梯形隶属函数 k 3 4 模糊集的特点 正如模糊集可用隶属函数来刻画一样 我们也可以用特征函数来更详细地描述许 多函数的特性 这就引进了正规模糊集 高 支集 凸集等概念以及模糊集的隶 属函数的简单运算 正规模糊集与高 一个模糊集称为正规的 如果其隶属度能达到 1 即 1 sup xA x 若其最大值小于 1 则 A 称为非正规模糊集 这个最大值通常称为 A 的高度 记 模糊集 6 为 Ahgt 因此 模糊集是正规的等价于模糊集的高度为 1 支集 模糊集的一个支集记为 ASupp 即所有隶属度不为 0 的元素的集合 即 0 xAXxASupp 核 模糊集A的核是那些隶属度为 1 的所有元素构成的集合 更规范地说 即 1 xAXxACore 模糊集的支集和核可以被看作两个相逆的概念 显然 支集和核都是集合 截集 同样地 我们定义一个更精炼的概念 如A的 截集 axAXxA A的核就是 1 截集 单峰 A是单峰的 如果它的隶属函数是一个单峰函数 即函数有唯一的最大值点 一个相关的概念就是凸集 凸集 一个模糊集是凸集如果它的隶属函数满足 min 1 2121 xAxAxxA Xxx 21 1 0 凹集 凹集是凸集的逆概念 一个模糊集A是凹集 如果其相应的隶属函数满足如下关 系 模糊集 7 min 1 2121 xAxAxxA Xxx 21 1 0 注意 凸模糊集和凹模糊集都是单峰的 但反过来不成立 基数 给出有限区域上的一个模糊集A 其基数记为 Acard 表示所用隶属函数的和 即 Xx xAAcard 通常 Acard指A的数量基或和 例如 在 654321 X内 模糊集 5 4 04 0 13 6 02 3 01 1 0 A 其基数等于2 4 4 24 00 16 03 01 0 Acard 若X是无限的 则在其中定义的基数是 A的一个积分 假设这个积分有意义 Xx dxxAAcard 我们可列出模糊集的的一些简单的并且有用的运算 存在一些有争议的映射 它 们仅仅适用于一个单独的隶属函数 正规化 这个运算将一个非空的非正规模糊集转换成正规模糊集 只需用原来的隶属函数 除以 A 的高 即 Ahgt xA xANorm 归一化 通过对模糊集进行归一处理 它们的隶属函数得到相应的更小的值 也就是说 一个模糊集将以更高的隶属度集中在某些点附近 例如将隶属函数平方 即 2 xAxACon 同样地 对于任意的1 p 隶属函数的p次幂都能达到上述效果 即 xAxACon p 模糊集 8 扩大化 扩大化与归一化的作用相反 通过修改隶属函数达到这个效果 即 5 0 xAxADil 或 2 2 xAxAxADil 和上面一样 对于任意的10 p 有 否则 当 pp pp xA xAxA xAInt 1 21 5 0 0 2 1 1 模糊化 模糊化与强化处理的作用是互补的 它是这样来改变隶属函数的 否则 当 2 11 5 0 2 xA xAxA xAFuzz 3 5 隶属函数决策 模糊集是定义在边界连续的语言概念上的弹性限制 这些概念是在一定的环 境下被运用和讨论的 它们的意义在本文中有作详细的讨论 高温这个概念除非 模糊集 9 放在某个特殊环境 如某个建筑里的温度 室外温度 某一特殊化学反应的温度 等等 下才有意义 这里存在一个很明显的二元性概念 一方面 在任何定向标 记的环境下 这些术语本身就是可以被开发的标记符号 对人工智能来说这极为 特殊 隶属函数的数字结构有其它的维数 这为概念的标准化提供了一个很方 便的必要条件 这就是为什么高的室外温度与用同样语言符号描述的气炉里的高 温的隶属函数有很大的不同 有很多实验方法可用来估计隶属函数的值 下面 我们简洁地将它们列举出来 包括 水平方法 垂直方法 相关比较 基于问题 说明的推论 每一个选择很大程度上依赖于实际运用的各个特殊情况 这特别是 指在实验中所表现出来的不确定性 隶属函数估计的水平方法 很根本的思想就是 在论域里选择某些元素 n xxx 21 再将这个概念的 隶属函数的值的信息集中起来 这些元素不必均匀地分布 相反 根据所选择的 概念的形式 它们的分布可以很不均匀 我们可以设想一个对数阶来控制点的分 布 这个方法依赖于接下来叙述的一些实验结果 一些专家们被问到如下问题 1 x能够与A的概念相容吗 这个问题的答案可以仅仅回答 是 或 不是 隶属函数在 1 x处的估计值 看作是 i xN 与N的比值 即 N xN xA i 1 ni 2 1 这个实验是很直观的 如果谨慎地运用它 可以很可靠的估计出隶属度 并 且 关于它们的统计相关值可以用这个结果估计 为了估计出这个值 我们想到 了实验得到的隶属函数值的标准差 假设结果服从某个二项分布 则估计的 i xA 的标准差的计算式为 N xAxA x ii i 1 将这些结果与先前得出的隶属函数的估计值联系起来 我们推出其边界为 1 1 N xAxA xA N xAxA xA ii i ii i 模糊集 10 隶属函数估计的垂直方法 这种方法利用一致性原则 并且通过关联它的 截集来重新构造一个模糊 集 选择 的一个水平 使X的子集的阀值不低于 通过聚集连续的 截 集就构造出了一个模糊集 与水平方法相比较 在这个实验里所出现的不确定性因素分布在隶属函数的 轴上 观察后一种方法 可知不确定性元素都属于论域 因此这些方法可以被认 为是正交的 在某种程度上来说它们是互补的 因为它们的估计值可以通过选择 一些 i x和 值将它们放在一块 通过这个方式可以获得都有效的结果 这两种方法的主要好处是它们的概念都很明确 它们最明显的缺点就是在这 些环境下进行的实验所体现的特征的局限性 这使得每个具体的实验变得没有多 大联系 这实际上不符合模糊集的隶属函数的连续性的根本概念 由于对元素采 取了这些不相关处理 所用实验得出的结果也可能是分散的并且不一致 隶属函数估计的两两双向比较方法 Saaty 所提出的这种方法靠隶属函数通过一系列对论域里的具体对象进行 双向比较 从而缓和了水平方法和垂直方法的不足之处 这种方法适用于定义在 一个有限论域里的隶属函数 为了解释这其中的缘由 我们假设 隶属函数已给 定 且已知了它在点 n xxx 21 的值 即 21n xAxAxA 考虑比值 j i xA xA nji 2 1 并将它们排列成方块矩阵的形式 即 j i ij xA xA aA 模糊集 11 1 1 2 1 1 n ij xA xA xA xA xA xA aA 2 2 2 1 xA xA xA xA j i xA xA 1 n n n xA xA xA xA A通常指一个可逆矩阵 注意 1 所有对角线上的元素都是单位元 即 j i xA xA 1 2 A可逆即 ij ij a a 1 或1 jiija a nji 2 1 3 A是可传递的即 ijkjik aaa 这个性质可简单地得到 ij j i j k k i kjik a xA xA xA xA xA xA aa 现在 用一个向量 1 xAa 2 xA n xA T 乘以A naAa 即 0 anIA 从这个基本的矩阵代数式 A是一个正定矩阵 I是一个单位矩阵 可知 n是A的一个特征值 并且特征值n相应的特征向量等于a 现在我们将这个问题颠倒过来 假设我们不知道A的元素 需要我们通过一系列 相互比较估计出A 设计一个实验 我们能够很容易地保持可逆的性质 却不可 能保持A的元素的传递性 因为A的元素是通过实验的方法得出的 所以可通过对 A 中的对象进行相互 比较选择一个适当的比率 这些数量级的数字来自一些基本的心理发现 i x对 j x 的优先级被量化 i x越优先于 j x 这一对的数量级就越高 i x对 i x的优先级总 是等于矩阵A的对角线上的元素 如果 i x不优先于 j x 则会考虑这对元素交换 后的优先级 因此 需要比较的次数是2 1 nn 由于不是总能满足传递性 模糊集 12 所以最大特征值不总是等于n 正如 Saaty 所指出的 它会超过n 非常有趣的 是 最大特征值越大 这些数据的传递一致性就越有意义 这给我们提供了一个 很好的检测估计有效性的有用工具 如果太低 这些实验就可能需重做 基于特殊隶属函数决策的问题 这种决定隶属函数的方式直接依赖于对出现在问题中的某个确定的数字对 象函数的计算 为了阐明目的 我们研究这样一个问题 一个非线性函数 xfy 必须要线性地近似于某个确定的点 比如说 x 我们知道 线性近似 xxay 仅在 xx 一个很小的邻域里成立 这个小的程度可通过引进一个反映可承受的 误差的模糊集来进行量化 特别地 我们考虑 xfxfxF 这个式子 是量化误差的一个很合适的途径 反过来 这个函数可以用来构建一个反映可承 受线性化误差的A隶属函数 A的隶属函数在x处的值描述了可接受的函数的线 性化的程度 假设表达式 maxxFM x 是有限值 则A的隶属函数定义为 1 xFM xFxF xA 一般地 作为A的一个更加灵活的变形式 我们规定一 个单调递增的函数 1 0 1 0 其中 1 1 0 0 并且 1 xFM xFxF xA 最优参数的隶属函数估计 总之 这个方法并不打算从头构造某个确定的隶属函数 这里的目的是找一 条标准曲线 使其满足一些规定的成对元素或隶属值所构成的实验数据 记为 kk xMx 含参的隶属函数的形式事先已给定 它应反映出所描述的概念的本 质 一些常用的隶属函数的例子前面已经讨论过了 例如 低温这个概念可用 隶属函数来描述 含参隶属函数的估计过程如下 我们假设一个含参隶属函数 pxA Xx 且p是参数空间P里的一个参 数向量 对于给定的N对数据 NkxMx kk 1 这个假设的隶属函数的 模糊集 13 参数向量p也需决定出来 一个常用的方法就是用均方差作为估计准则 即 N k kkPp pxAxM 1 2 min 因此这个问题实际上是一个非线性的最优化问 题 在估计隶属函数时 我们可以寻找一些附加条件或直觉暗示 为了保持隶属 值间具有很好的传递性 我们可以假设隶属值的变化率 dx dA A与 xA及 1xA 成比例 这就产生了一个与前面不同的方差 1 xAxkA dx dA k是一个正 因子 3 6 模糊关系 与定义在一个单独的论域里的模糊集相比较 模糊关系是定义在一些论域里 的 Cartesian 集里的 例如 YX 里的模糊集是通过隶属函数定义的 即 1 0 YXR 模糊关系和普通关系的区别在图 2 里被阐明 图 2 二维关系和模糊关系 模糊集 模糊关系是很常见的 我们可以很容易列举出一些例子 我们讨论一些相似的元素 则 yxR可表示x与y的相似度 很显然 1 xxR 所有二维图像都是模糊关系的例子 yxR在 1 0 中代表像素 yx的明亮度 在这种情况下 前面所研究的一些运算如对比度强化 模糊化等显然也适合 模糊集 14 模糊图形是模糊关系的例子 圆的不等式 222 cyx 引进了一个关系 1 0 否则 当 0 1 222 cyx yxR 模糊圆相当于模糊关系 否则 当 5 0 exp 1 22 222 yx cyx yxR 尽管概念不同 但模糊关系可被看作是多维的模糊集 所以 一切模糊集的运算 都适用于模糊关系 3 7 集合的运算及其性质 在研究模糊集本身的运算之前 复习一下集合理论及其关系的基本运算是很 有帮助的 当研究模糊集的各种运算时 这些运算的主要性质可作为很好的参考 特别是交换律 结合律 幂等率 分配率 两极律 传递律的性质 由于特征函 数是一种特殊的隶属函数 因此 对任意的Xx 基本的运算如 交 并 补 可用相应最小 最大和补特征函数来表示 min xBxAxBxAxBA max xBxAxBxAxBA 1 xAxA 其中 A B是定义在论域X里的集合 xBA xBA 分别表示集合A B的交和并的隶属函数的值 正如下面所列出的经典集合概念的主要特性 特征函数也可采用同样的模式 表示出来 交