《随机过程及其在金融领域中的应用》习题四答案.pdf

第四章第四章 习题习题 4 4 1 对泊松过程 0 t N t 1 证明 当st 时 1 0 1 kn k st n ss P Nk Nnkn ktt 2 当2 时 试求 11211 2 1 3 21P NP NNP NN 3 设顾客到达某商店是泊松事件 平均每小时以 30 人的速度到达 求下列事 件的概率 相继到达的两顾客的时间间隔为大于 2 分钟 小于 2 分钟 在 1 分钟 到 3 分钟之间 答 1 证明 1 stst sst s st ttt n k k t ss kn k n k nkn k t n k kn k k n P Nk NnP Nk NnkP Nk P Nnk P Nk Nn P NnP NnP Nn tss ee knkstsn knk ttt e n nsts nss ktknktt 2 1111 012 111 2222 2012 111 2 0 1 2 225 P NP NNN eee eeee 1212 1 224 11 1 31 3 1 12224 P NNP NN P NP Neee 111 11 11 2 111 2 11 2 12 21 11 121011 3 11101 P NNP N P NN P NP N P NP NP Ne P NP Ne 3 解法一 顾客到达事件间隔服从参数为 的指数分布 30 03030 0 xx ZZ ftexftex 303011 11 3030 230 301 0 6030 xx P Zedxeee 11 303011 3030 00 230 30111 6030 xx P Zedxeee 113113 3030 20202222 11 6060 1330 301 606030 xx PZedxeeeee 解法二 30 30 0 5 60 平均每小时有人到达 人 分钟 根据齐次 Poisson 过程的到达时间间隔 1 2 n Xn 是独立同分布于均值 为 1 的指数分布的 故可有 相继到达的顾客的时间间隔大于 2 分钟的概率为 1 2 t n P Xee 相继到达的顾客的时间间隔小于 2 分钟的概率为 1 211 t n P Xee 相继到达的顾客的时间间隔在 1 分钟到 3 分钟之间的概率为 1 50 50 51 5 133111 nnn PXP XP Xeeee 2 0 t N t 是强度为 的泊松过程 1 对0s 计算 tt s E N N 2 对任意0st 有 1 st P NN 3 对任意0 0st 有 lim0 ts ts P NN 4 令 0 1 T t M TN dt T 试求 E M TVar M T及 答 1 由 P47 Poisson 过程自相关函数结果知 22 min tt s E N Nt tst tstt ts 2 0 001 k t s sttst s k ts P NNP NNP Ne k 3 0 0 tst s P NNP N 对 M 为非负整数 使得M 00 k MM t s t st s kk ts P NP Nke k M为一个有限数 而当ts 时 ts 为一个无穷小量 0 lim0 k M t s ts k ts e k 0 0limlim0 k M t s t s tsts k ts P Ne k 由夹逼准则知 此极限为 0 4 000 111 2 TTT tt T E M TEN dtE Ndttdt TTT 2 22 0000 11 TTTT tsts E MTEN dtN dsEN N dsdt TT 不妨设ts 则 22 22 0000 22 22 2 0 11 11 224 TTTT ts T E MTE N N dsdttts dsdt TT TT TtT t dt T 2 2 2 T Var M TE MTE M T 3 设 12 0 0N ttNtt 与是两个相互独立的泊松过程 且强度分别为 12 和 证明 1 12 0N tNtt 是强度为 12 的泊松过程 2 12 0N tNtt 不是泊松过程 证明 1 解法一 12 12 12 12 1212 1122 12 12 0 12 12 0 0 ik i k t st s i kk t sik i k t sik i ii X tNtNttst P X tX skP NtNtNsNsk P NtNsNtNsk tsts P NtsNtskee iki tstsek e ikikiki 设当时 1212 0 12 12 k k k k t st s tsts ee kk 12 0N tNtt 是强度为 12 的泊松过程 解法二 对于 1 Nt和 2 Nt 可以分别求出它们的特征函数为 12 12 11 iuiu t et e NN ueue 由于 1 Nt和 2 Nt相互独立 对于 12 N tNt 故其特征函数为 12 12 12 12 1 iu t e iu N tNtiuN tiuNt NN uE eE eE ee 由特征函数的唯一性知 其为强度是 12 的 Poisson 过程 2 解法一 1212 12 1221 12 0 12 01 12 2 0 111 1 01 0 0 1 i tttt Y tNtNtt P Y tP NtNtP NtNt P Nti P Nti P NtP Nt tt eet ee 设则 12 0N tNtt 不是泊松过程 解法二 依照上述步骤求得 12 N tNt 的特征函数为 12 12 121212 11 iuiu iuiu t et e iu N tNtiuN tiuNttetet E eE eE eeee 故不为 Poisson 过程 4 计算前三个事件到来的时刻 123 S S S的联合密度 答 123 112233112233 3 0 111222333 3 0 lim lim h h f s s s P Ssh Ssh SshP Ss Ss Ss h P sSsh sSsh sSsh h 其中 11112222333 3221 1 3 111222333 0 3 0 1 0 1 0 1 ss shsh ssshsh ss sh sshsshs hhh sh P sSsh sSsh sSsh P NNNNNN eheeheehe hee 故原式变为 3 3 3 3 123 3 0 lim sh s h hee f s s se h 其中 123 0sss 5 一部 500 页的书总计有 150 个印刷错误 试用泊松过程近似求出连续 4 页无 错误的概率 答 150 0 3 500 个 页 41 2 44 00 tt P NNP Nee 6 令 01 i N ttin 为独立同强度 的泊松过程 记T为在全部n个过 程中至少发生了一件事的时刻 求T的概率分布 答 1P TtP Tt 由于T为n个过程中至少发生一件事情的时刻 故当Tt 即在 0 t时刻内 没有事件发生 1 1 0 0 0 10 n n n ttn k k tn P TtP NtNt P Ntee P Ttet 7 假设汽车按强度为 的泊松过程进入一条单向行驶的无限长的高速公路 进 入的第i辆车以速度 i V行驶 假定诸 i V是独立的正随机变量 有共同分布F 试 计算在时刻t位于区间 a b内的汽车数的均值 假定一辆车超过另一辆车时 不 占用任何时间 答 设起始时间为s 则速度 ab ab VV tsts 那么分布函数分别为 ab FF tsts 均值 0 t ba ba E P bP at ppFFds tsts 8 一书亭用邮寄订阅销售杂志 订阅的顾客是强度为 6 的一个泊松过程 每位 顾客订阅 1 年 2 年 3 年的概率分布为 1 1 1 2 3 6 彼此如何订阅是相互独立的 每订阅一年 店主即获利 5 元 设 t Y是 0 t内店主从订阅中所获得的总收入 计 算 1 t E Y 即 0 t内的总的平均收入 2 t Var Y 答 解法一 N t为订阅杂志的顾客数 j Nt为订阅j年的顾客数 123 123 123 6 111 6 6 6 236 3 2 N tNtNtNtN tt NttNttNtt NttNttNtt Y t为店主总收入 123 51015Y tN tNtNt 1 123 510155 310 21550 t E YE N tE NtE Nttttt 2 123 2510022525 3100 2225500 t Var YD N tD NtD Nttttt 解法二 1 6 设 i 为每个顾客支付的费用 则总收入为 1 t N ti i Y 其为一个复合 Poisson 过程 由复合 Poisson 过程的期望公式可知 50 t E YtEt 2 由复合 Poisson 过程的方差公式知 2 var500 ti YtEt 9 试说明更新过程的一切概率性质均由其更新间距的分布函数所决定 答 更新过程中 n N tnSt 即时间t之前的更新次数大于等于n当且仅当第n次更新发生在时间t或t之 前 因此 1 1 nn P N tnP N tnP N tn P StP St 随机变量 t X独立 且具有相同分布F 由此推出 1 n nt t SX 与F的n次卷积 n F同分布 得到 1nn P N tnF tFt 1 更新过程的均值函数由F决定 t N由 12 XX为具有同分布F的更新 间距构成 0 t m tE Nt 2 更新过程 t N的概率分布由F决定 1tnn P NnF tFt 3 更新方程由F决定 0 t m tF tm tx dF x 因此更新过程的一切概率性质均由其更新间距的分布函数所决定 10 设 0 t N t 是一个更新过程 n X是其更新间距 1 1 n ni i SXn 再设 0 t E Nm tt t 为正实数 试求 0 n xX xE ex 答 由于更新过程 0 t N t 的更新函数为 0 tN E Nmtt t 及更新函数 N mt与更新间距的分布函数 F t相互唯一确定 因此 0 t N t 是 Poisson 过 程 且更新间距 n X相互独立同服从参数为 的指数分布 则 0 0 n xXxtt xE eetdtx x 11 设 1 n Xn 独立同分布 n X的概率密度函数为 0 x ex f x x 当 当 其中0 给定 求更新过程中的概率 t P Nk 答 设 12 n T TT是更新间距 则其概率密度函数均为 0 x ex f x x 当 当 由于 12nn TTT 因而 1 0 x ex fxf x x 当 当 又 21212 TTTT ftftftft ftx dx 故当2t 时 2 0ft 当2t 时 2 22 2 t xt xt fteedxete 即 2 22 2 2 0 2 t etet ft t 312332 TTTT ftftftftft ftx dx 当3t 时 3 0ft 当3t 时 3 2 2 223 3 1 23 2 t xt xt fteetxedxete 3 2 33 1 3 3 2 0 3 t etet ft t 一般地 有 11 1 0 k k kkt etketk kft tk 从而 1 0 1 1 0 0 k t k t kks k tk se ds tk fs ds tk kP NkPt tk tk 12 求 Poisson 过程中 总寿命 B tA tY t 的分布 答 若 0 t N t 是强度为 的齐次 Poisson 过程 0 1 1 0 1 t x P Y txF xtP Y tux dF s ext P A tx xt B t dxP A tx dxP Y tx dx 13 设 12 0 0 tt NtNt 和为两个独立普通更新过程 它们的更新间距分别 有密度fg和 若 0 t N t 是由这两过程叠加而得的过程 证明 t N为更新过程 的充要条件为 01 2 i t Nti 皆为齐次 Poisson 过程 证明 充分条件 更新过程的定义为设 0N tt 是一个计数过程 n x表示第1n 次事件和第n次事件的时间间隔 如果 12 x x为非负独立同分布的随机变量 序列 则为更新过程 由于 12 0 0 tt NtNt 和为两个独立泊松过程 则 01 2 i t Nti 也是泊松过程 由于泊松过程为非负独立同分布过程 所以 为更新过程 必要条件 已知 01 2 i t Nti 为更新过程 则 n N tnSt 因 为 01 2 i t Nti 是由这两过程叠加而得的过程 所以两过程都为 Poisson 过 程 因为更新间距固定 则为齐次 Poisson 过程 14 考虑一更新过程 如果 12 1 2 33 nn P XP X 计算 123 P NkP NkP Nk 答 1111 2122 3133 1 1112 3 1 2212 3 1 3312 3 kk kk kk P NkFFP NP N P NkFFP NP N P NkFFP NP N 15 设 0 t N t 是强度为 的齐次 Poisson 过程 0 0 n SS 表示第n个事件发生 的时刻 求 1 25 S S的联合概率密度函数 2 1 1 t E S N 3 kt E S Nnkn 4 k Skn 在 t Nn 下的条件概率密度函数 5 12 S S在1 t N 下的条件概率密度函数 6 12 0 tt P Sx NnP Sx Nnxt 其中 答 1 22552255 25 2 0 222555 2 0 lim lim h h P Ssh SshP Ss Ss f S S h P sSsh sSsh h 2222555 52 2 2225550 2 52 2 1 1 2 1 2 SSShSh SSSh SShS hh P sSsh sSshP NNNN SSh S eheehe 式代入 式得 5 2 5 25522 S f S SSSS e 2 11 1 1 1 1 1101 k t t t tt P Sk NP Sk kte P Sk Nkt P NP Ne 11 0 2 22 1 111 1 1111 21 t k tt t t t E S Nk P Sk Ndkkedk e t te e 3 由第二版书 P56 定理 4 4 注得 0 2 ktkt t S NnUtE S Nn 4 可以近似认为其在 0 t上服从均匀分布 具体求法 kt kt t P shSs Nn P shSs Nn P Nn 当h很小时 s Nk 则上式变为 1 1 1 1 1 kts kt t s hs h ss t t