JR高级微观经济学理论课后习题答案.pdf

1 高微一 Ch1 习题参考答案（1067） . 高微一 Ch1 习题参考答案（1067） . 证明：如图：图中实线部分是一条无差异曲线，它由一个粗实线的“线性部分”和曲实 线的凸向原点部分组成，整条曲线所表示的偏好集满足公理 1、2、3、。 （）证明满足公理 在曲线上任取两点 X1 与 X2 ，它们是无差异集上两个不同点，皆与 X0 无差异，显然 会有 X1?X2，Xt 是这两点的凸组合，且它位于 X0 的东北方向，所以 Xt?X2。得证。 （）证明破坏了公理 在“线性部分”任选取两点 X1 和 X3，其凸组给为 Xp，与 X1 和 X3 位于同一条直线，所 以 Xp?X3,并不能得出 XpX3 的结论。故而破坏了公理。 1.111.11 如果? ? 是连续的，那么，定理 1.1 证明中定义的 A 与 B 集是的闭子集。 参考公理 3。 1.121.12 设 , 1 (xu 2 ,x)与 , 1 (x ) 2 x)是效用函数。 （ a ） 证 明 ： 如 果 , 1 (xu 2 ,x) 与 , 1 (x ) 2 x) 均 为 r 次 齐 次 的 ， 那么 ， , 1 (xs 2 x） , 1 (xu 2 ,x)+ , 1 (x ) 2 x)也为 r 次齐次的。 （ b ） 证 明 ： 如 果 , 1 (xu 2 ,x) 与 , 1 (x ) 2 x) 是 拟 凹 的 ， 那 么 ， x xm , 1 ( 2 x） min , 1 (xu 2 ,x), , 1 (x ) 2 x)也是拟凹的。 证明： （a） , 1 (xu 2 ,x)与 , 1 (x ) 2 x) 是 r 次齐次的。 x1 x2 X2 X1 Xt X0 Xp X3 O 2 r k , 1 (xu 2 ,x)= 1 (kxu， 2 kx） ， r k 1 (xv， 2 x）= 1 (kxv， 2 kx） 1 (kxs， 2 kx） 1 (kxu， 2 kx）+ 1 (kxv， 2 kx） = r k , 1 (xu 2 ,x)+ r k 1 (xv， 2 x） = r k , 1 (xs 2 x） 得证。 （b） 1.13 1.13 （a）对于两异点 ()() 111222 1212 , xx xxx x =，总有 1212 1122 , xxxx 或，则必有 1221 xxxx ? ? 或，但绝无 1221 xxxx ? ? 和同时成立，故其无差异曲线退化为单个点。 （b）不能，因为偏好本身就不连续。 例如，()() 1 11 1,111,111 22 mmm mN m xxx =+ ? ? 1 故，而 ， 2 1.14 1.14 证明：设 u（ ）可表示? ? 。则()() 121212 ,uu x xxxxx ? ? （1）()() 1212 ,X uuR x xxx 。故总有()()()() 1221 uuuu xxxx 或 那么， 1221xxxx ? ? 或成立，完备性得证 3 （2） 123 ,X x x x ，并且假定 1223 , xx xx ? ? 所以，由题意知()()()() 1223 ,uuuu xxxx 成立。 那么，()() 1313 uu xxxx ? ? 。传递性得证 （3）设 ( ) 0 1 , m m m xyXyxm xxx = =? ? 且并且当时 下面证( ) 0 x x ( ) () ( ) () ( ) 1 lim mm m m m mxuu xuu x xxx = ， 即， () ( ) 0 (lim) m m uuu x xx = 所以， 0 x x ? ? 。则( ) 0 x x ，即( )x是闭集。连续性得证。 1.15 1.15 证明： （1）当 000 , n yBxpx R+ =时，显然是紧凸集 当0y 时，设 12 ,B x x ，则有 1 2 , y py px x 令 12 (1) t tt xxx =+ 则， 1212 (1)(1)(1) t P tttpt ptyt yy px xxxx =+=+= 所以，, t BB x 故 是凸集 （2）设 0 lim, mmm m Bpy xxxx =且则 由于px是连续函数，则lim m m py x ，即 0 py x 。所以，B 是闭集。 由于0,0(1) i pin p ?则 令 12 max,.,0 n yyy R p pp = 则(), ,.,.xBR RRxB ? ? 有即 是有界集。 综上，由 n B R+ ，并且为有界闭集，所以可得 B 是 n R+上的紧集。 1.16 1.16 证明：由 1.15 题证明可知，预算集 B 为凸紧集。 4 由 Weierstrass 定理（即定理 A1.10） ： 该定理保证在非空凸紧集 B 上的连续实值效用函数 u(x)存在极值。 根据假设 1.2， 效 用函数 u(x)为严格拟凹，且严格递减，因此，该函数存在极大值。 假设极大值不唯一，即：存在 x 1,x2,x nB，对于所有 xB，xi （i=1,2,n）均为最 优选择， 由题， B=xxR n + ， pxy， 由于偏好关系严格单调， n 个极大值 x 1,x2,x n 必 满足等式预算条件，即：px 1=y ; px2=y ; px n =y; 则：x 1= x2= x n =x*=y/p 也就是说，x*B,且对于所有 xB, x*x 亦即：x 为唯一极大值，且满足 y=px*的条件。 1.17 1.17 若偏好关系是严格凸的 假设存在 ),(uphx，),(uphx， xx ，且uxuxu)( )( 取（0，1） ，令)1 (xxx+= 则)1 ( )1 (pxpxpxxpxxppx=+=+= 又偏好关系是严格凸的，所以 xx ；) ()(xuxu ，这与),(uphx相矛盾 故),(uph是单值，即唯一解。 若偏好关系是凸的 设),(uphx，),(uphx 则pxpx=，uxu)(，uxu) ( 取（0，1） ，令)1 (xxx+= 则同上)1 ( )1 (pxpxpxxpxxppx=+=+= 偏好关系是凸的 uuuxuxuxxuxu=+=)1 () ()1 ()( )1 ()( 即),(uphx 亦即),(uph是凸集，不必是唯一解。 118118 解：根据要求，( )u x是严格拟凹的，因此两物品的 12 MRS递减，无差异曲线凸向原点，这 时，x和y具有一定的替代关系。 但当x和y趋于完全替代时， 无差异曲线和预算线无切点， 而只能得到角解。 5 当无差异曲线的斜率大于预算约束线的斜率时， 即 * 11 * 22 ()/ ()/ u xxp u xxp ， 即 1 12 2 p MRS p 时，如图所示，消费者问题的解 * x位于横轴上，这时， * 1 0 x并且 * 2 0 x=，它表示此时的 最优解是一个边角解，此时消费者将全部收入都购买 1 x，并由此达到最大的效用水平。 1.191.19 定理 1.2：效用函数对正单调变换的不变性 证明： 已知 ? ? 是 n R+上得一个偏好关系，)(xu是一个代表此偏好关系的效用函数。 在 n R+中 取两点 21,x x，令 1 x? ? 2 x，)()( 21 xuxu。又Rf:在u所确定的值集上是严 格递增的，)()(),()( 21 xufxvxufxuf=， )()()( 21 xvxvxv也代表偏 好关系? ? 。 1.201.20 假 定 偏 好 可 以 由 Cobb-Douglas 效 用 函 数 1 1112 ( ,)u x xA xx =表 示 ， 其 中 010A， 有 12 xx? ? 且 21 xx? ? （若 21 xx? ? ，则 12 ()()u xu x矛盾） ，因此可推出? ? 是严格单调的。 充分性：如果 21 xx，则由? ? 是严格单调的可得 12 xx? ? ，从而 12 ()()u xu x；如果 12 xx?， 则由? ? 的严格单调可知 12 xx? ? ， 但 21 xx? ? ， 故 12 ()()u xu x， 但 12 ()()u xu x， 知 12 ()()u xu x，故( )u 是严格单调的。得证。 (2)必要性： 121212 ,.(1).,0,1 t x xX xxxt xt x t =+? ? 设 由 12 xx? ? 知， 12 ()()u xu x，再由( )u 是拟凹的， 122 ()min (), ()() t u xu xu xu x= 故 2t xx? ? 。 充分性： 1212 ,.(1).,0,1 t x xX xt xt x t=+ 由“? ? ”的完备性， 1221 ,xxxx? ? 两者中必有一个成立。 不失一般性，设 12 xx? ? ，得 2 ()() t u xu x，又由于? ? 的凸性， 可得出 212 ()()min (), () t u xu xu xu x=。所以( )u 是拟凹的。得证。 （3） 8 必要性： 121212 ,.(1),(0,1) t xxxxxt xt x t=+? ? ，因为( )u 是严格拟凹的，故 122 ()min (), ()() t u xu xu xu x=，故 2t xx?。 充分性： 12 xx，下证 12 ()min (), (),(0,1) t u xu xu xt 12 xx，令 12 xx? ? ，则 2212 ()()min (), () tt xxu xu xu xu x=?。得证。 1.251.25 一个具有凸的、单调偏好的消费者非负数量的 1 x和 2 x。 （a）如果 1 2 1212 ( ,)u x xx x =代表其偏好，那么，对参数值的取值有什么限制？ 请解释。 （b）给定那些约束，计算马歇尔需求函数。 （a） 9 （b）To calculate the Marshallian demand functions ( X1* , X2*) we use the Lagrange Multiplier: L = X1.X2 (1/2) - + ( 1.X1 2.X2) First Order Condition (F.O.C) L/X1 = .X1 (1). X 2 (1/2) - 1 = 0 (3) L/X2 = (1/2 - ).X1. X2 -1/2 - 2 = 0 (4) Y P1.X1 P2.X2 = 0 (5) 10 Dividing (3) by (4) we obtain, .X2 / (1/2 - ).X1 = P1 / P2 X2 = (1/2 - )/ . 1/ 2 . X1 (6) Substituting (6) into (5), we obtain, X1 * = 2 / 1 X2 * = (1 - 2) / 2 1.26 1.26 12 1 ( ,)(,0) y x x p = five different cases: x1 x2 u0 u1 11 12 1.291.29 (1) 记 0020 1212 (,)(,)(, )F yvp pRv p pyv + = 任取 00 12 (,)(,)p pF yv，设在 0 12 (,)0,p py?的条件下，( , )xp y 解决了上述效用极大 化的问题。 对于 0 12 (, )v p pyv=，两边关于 12 ,p p全微分 12 12 ( , )( , ) 0 pp v p yv p y dd pp += 2 1 111 22 2 0 p p vv d vppyx Roy vv dvpx py = = 去除约束条件两边，故得到 (tp, ty)=max u(x),p xy= (p, y)受约束于。因此，可 以得到性质 2 与( )u x是否严格递增没有关系。 15 性 质 3 的 命 题 会 发 生 改 变 。 在 性 质 3 的 证 明 中 ， 当u(x)严 格 递 增 时 ， ( , )max ( ) p xy n x R v p yu x + =受约束于-(P.1) 对于(P.1)式的拉格朗日函数是：( , )( )(p x)L xu xy=+(P.2)。现在，对于 (p,y)0，令x( , )x p y =为(P.1)的解。依附加的假设x0 ，因此，可应用拉格朗日 定理得出存在一个R，使得如下式子成立的结论： * (,)()* 0,1,., ii L xux ixx pin = 由于根据u(x)是严格递增的，可以得到 i p与 * ()/ i u xx是正的，故 * 0。依据包络 定理，定理 A2.21，即最大值函数( , )v p y关于 y 的偏导数等于拉格朗日函数关于 y 的偏导 数，即它在 * (,)x处取值， * (,)(,) 0 vp yL x yy = ， 因此，( , )v p y关于0y是递增的， 由于v是 连续的， 因此， 它关于0y是严格递增的。 但是当取消( )u x严格递增的条件时， * ()/ i u xx 的符号可能为正，也可能为负，因此的符号也不确定，故不能判断( , )v p y关于0y是 递增还是递减的。 性质 4 的命题会发生变化。与性质 3 的证明类似，对于(P.1)式的拉格朗日函数是： ( , )( )(p x)L xu xy=+(P.2)。现在，对于(p,y)0，令x( , )x p y =为(P.1) 的解。依附加的假设x0 ，因此，可应用拉格朗日定理得出存在一个R，使得如下 式子成立的结论： * (,)()* 0,1,., ii L xux ixx pin = 由于根据u(x)是严格递增的，可以得到 i p与 * ()/ i u xx是正的，故 * 0。依据包络 定理，定理 A2.21，即最大值函数( , )v p y关于 p 的偏导数等于拉格朗日函数关于 p 的偏导 数，即它在 * (,)x处取值， * ( , )(,)*v p yL x pp x = ，因此，当取消( )u x严格递增的条件时， * ()/ i u xx的 符号可能为正，也可能为负，因此的符号也不确定，故不能判断( , )v p y关于 p 是否为递 16 减的。 性质 5 的命题不会变化。设 12t BBB与是价格与收入分别为 11 (,)py、 22 (,)py与 (,) tt py时的可利用预算集。这里 12 (1) t ptpt p+与 12 (1) t yyt y+。那么： 111 Bx pxy= 222 Bx pxy= ttt Bx pxy= 我们假设消费者在 t B上获得的效用水平将不会大于在 12 BB和两种效用水平中最大的 一个。即( , )v p y关于( , )p y是拟凸的。现在假设这些情况不存在。那么，我们可发现存在 (0,1)t及一些 t xB，使得 1 xB与 2 xB。如果 1 xB与 2 xB，则： 11 pxy并 且 22 pxy，由于(0,1)t，我们能给第一个不等式乘 t，给第二个不等式乘(1) t，并 保护这些不等式以便获得： 11 tpxty和 22 (1)(1)t pxt y，将它们相加，我们得到 1212 (1)(1)tpt pxtyt y+ 或者 tt pxy 最后一个不等式表明 t xB，这同我们先前的假设相矛盾。因此，我们得到：如果 * ( , )/(,)112* ( , )/ ( , ) ( )( , )/( , ) i v p ypL xoo iiiiv p yyp xx xx Rv p y u x p v p ypxx p yx + = ? ? ，那么，对于所有0,1t， 12 xBxB或。依照我们先前的讨论，我们能得到，( , )v p y 关于( , )p y是拟凸的。从证明过程中可以看到，性质 5 命题与( )u x严格递增的条件没有关 系，因此当取消( )u x严格递增的要求时，性质 5 不会发生改变。 性质 6 不会发生改变。罗伊等式说明：消费者对物品 I 的马歇尔需求只是间接效用函 数关于 i p的偏导数与其关于 y 的偏导数的比率只不过改变了符号。我们可以设 x( , )x p y =是(P.1)的严格为正的解，此时必存在满足(P.3)的。应用包络定理去估算 ( , )/ i v p yp，从而给出： * ( , )(,)*v p yL x pp x = ，因此可变换为： (,) / (,) / (,) i vp yp iivp yy xxp y = ，因此可以得到性质 6 的得出 与( )u x是否严格递增没有关系，因此该命题不会发生变化。 下面用两物品情形说明我的论断。在原公理 4 下，如果 1o xx，那么 1o xx? ? 。若不要 17 求，则说当 1o xx，有 1o xx? ? 存在。考虑两种物品的极端条件，在 2 R+中对所有组合的偏 好是一致的，则此时无论 y 与 p 如何变化，( , )v p y总是不变的。 1.32 1.32 设( , )v x y是一些行为者的间接效用函数。表明，需求行为对( , )v x y的任意的、正单 调转换不变。计算这种间接效用的任何转换本身可当作行为者的间接效用函数。 证明：根据定理 1.2，效用函数对正单调转换具有不变性，即对于每个 x，当且仅当 ( )( ( )v xf u x=，在由 u 所确定的值集上是严格递增的，那么，( )v x也代表偏好关系? ? 。 设( , ) ( , )v x yf u x y=，那么因为效用函数( , )u x y是单调、严格拟凹的，所以存在反函数， 即 1 ( , ) ( , )u x yfv x y =，即可视 1 ( , ) fv x y 为( , )v x y的转换， 设( , ) ( , )w x yf u x y=，则，( , )w x y为效用函数( , )u x y的正单调转换，也可以表示偏好 关系，则 1 ( , ) ( , )( , )w x yffv x yv x y =，可得间接转化本身可当作行为者的间接效用 函数。 1.33 1.33 参考课上讲的反证法。 1.341.34 由证明性质 5 完成定理 1.7 的证明。 证明：因为 ( , )( , ) h e p up xp u=，则 ( , )( , ) h e tp utp x tp u= 考虑 Hicks 需求( , ) h x tp u为满足效用 u 条件下支出函数最小化问题的解。而 12 ,p p是 同比例（t）变动的，所以预算线束的斜率未变，为 12 /pp，根据图 1.15，可得 ( , ) h x tp u=( , ) h xp u，所以( , )( , )( , )( , ) hh e tp utp x tp ut p xp ut e p u= = 。 1.35 1.35 （ a ） 0 ( ,)max( ) n x R v p p xU x + =， 受 约 束 于 0 p xp x， 因 此 0 x也 在 可 行 集 内 0000 max( )()(,) n x R U xU xv ppx + = 即 0000 ( ,)(,)v p p xv ppx （b）因为0p?， 0000 ( ,)(,)v p p xv ppx，所以( )f p在 0 pp=处最小化。 （c）其梯度值必定为 0。 （d）( )f p在 0 pp=处梯度值为 0，即 18 000000 0 0 00 00 00 (,)(,) 0 () (,)/ (,),1, (,)/ i i v ppxv ppx x pp x v pyp x pyin v pyy += = = ii i i ?罗伊等式： 1.36 1.36 完成下列步骤，提供对谢泼得引理的另一种证明。 （a） 利用e的定义， 证明： 如果 0 0p?， 并且 000 (,) h xxp u=， 那么， 对于所有的 0 0p?， 00 ( ,)e p up x，并且当 0 pp=时，该不等式以等式成立。 （b）得出这样的结论，即在 0 pp=时， 0 ( )( , )f pe p up x=在 n + ?上实现了最小化。 （c）假设在 0 p处f是可微的，在 0 p处，其梯度取什么值？ （d）设( , )e p u关于p是可微的，利用（a）至（c）部分证明谢泼德引理。 证明： （a）根据e的定义，有( , )min n x R e p up x + =，约束条件为( )u xu，如果( , ) h xp u为 该问题的解，那么在价格为p时获得效用u的最小支出为( , )( , ) h e p up xp u=。 由题目条件可知，如果 0 0p?，并且 000 (,) h xxp u=，因为 0 x为效用为 0 u时可得到 最小支出，所以有 00 ( ,)e p up x。当 0 pp=时， 0000 (,)e p upx=。得证。 （b）由（a）的结论可知，当 0 pp=时， 0000 (,)e p upx=，所以 00000 ()(,)0f pe p upx= 因此在 n + ?上实现了最小化。 （c）因为f在 0 p处可微，其梯度为 000 0 00 ()(,)f pe p u x pp = （d）由（a） 、 （b） 、 （c）可知，因为( , )e p u关于p是可微的，所以有 ( , ) ( , ) h e p u xp u p = ， 即谢泼德引理得证。 1.37 1.37 证明： 支出函数： r/1 r 2 r 1 )(u)u, p( e pp+ =，()1/(r 当 u 取最小值， 即 u=0 时， 显然有 e (p，0) =0。 对定义域上任意一点 ( 00 u,p)，由于 19 )u, p( elim )u ,(pu)(p, 00 =)u,p( e)pp(u)pp(ulim 00 r/1r 20 r 100 r/1r 2 r 1 )u ,(pu)(p, 00 =+=+ 因此 e (p，u)在定义域上连续。 = u upe),( 0)pp( r/1r 2 r 1 + 因此，0p，e(p，u)严格递增且关于 u 无上界。 = r u upe pi 1),( ( 1r/1 21 ) +p p rr p r i r 1 = u ( 1r/1 21 ) +p p rr p r i 1 , 0 (i=1，2)。 因此 e(p，u) 关于 p 是递增的。 对于任一正数, )up,( e)pp(u)p()p(),( e r/1r 2 r 1 r/1r 2 r 1 =+=+= uup 因此 e (p，u) 关于 p 是一次齐次的。 设 pp 21, 为任意两个正价格向量，t0，1，且.)1 ( 21 ppp tt t += 且设x i 最小化了价格为p i 时获得效用 u 的支出( i=1，2 )，x 最小化了价格为p t 时 获得 u 的支出。这样，对于任何其他可获得效用 u 的消费束 x，由支出函数的定义，必有： ., 2 2 21 1 1 xx p x pp x p 同理有： ., 2 2 21 1 1 x p x p x p x p 由此： t.)1 (, 2 2 21 1 1 )1 ( x p x pt x p x p tt t.)1 ( 21 2 2 1 1 )1 ( x p x p x p x pt x p t tt =+ 即有： te(.1 , 0),(),()1 (), 21 +tueuetu ppp t 由： = pi upe),( u ( 1 r 1 21 ) +p p rr p r i 1 ，(i=1，2) 刚好是与该效用函数对应的希克斯需求函数。 1.381.38 在? ? 是完备、 传递、 连续、 严格递增、 严格凸的情形下， 证明：( , )( , ( , ) h xp ux p e p u= 证明：记 h x ( , ) h xp u解决了在价格 p 下，达到效用 u 的最小支出问题，令( , )ye p u=， 下面证明 h x还解决了在, p y约束下效用极大化问题。 依以上假设有() h u xu=， h ypx=， 且有( , )v p yu， 倘若( , )() h v p yuu x=， 根据( , )v p y关于 y 连续， 且严格递增，0 ， 20 使得( ,)v p yu，这说明，只要y的钱就足以达到效用水平 u，这与( , )ye p u=相 矛盾，故只有( , )v p yu=，因此 h x解决了 p,y 约束下消费者效用最大化的问题，而? ? 是严 格 凸 的 ， 即 u 是 严 格 拟 凹 的 ， 解 决 效 用 最 大 化 问 题 的 解 只 有 一 个 ， 那 么 ( , )( , ( , ) h xp ux p e p u=。 1.39 1.39 利用罗伊等式与定理 A2.6 给出另一个证明，即 xi（p，y）的关于价格与收入是零次 齐次的。 证明：要证(), i xp y关于价格与收入是零次齐次的，即要证明()(), ii xtp tyxp y= 由罗伊等式：() () () ,/ , ,/ i i vpyp xpy vpyy = 则：() () () ,/ , ,/ i i vtp typ xtp ty vtp tyy = 由定理 A2.6 有： ( )( ) 1 1 k f txf x t xx = （其中( )f x为 k 次齐次） 又根据定理 1.6 知，(),v p y是 0 次齐次的，故有： ()() 1 , ii vtp tyvpy t pp = ()() 1 ,vtptyvpy t yy = 所以：() () () ,/ , ,/ i i vtp typ xtp ty vtp tyy = () () 1 1 ,/ ,/ i tvtp typ tvtp tyy () () ,/ ,/ i vpyp vpyy (), i xpy 证毕。 140 140 参考定理 1.7 和定理 A2.6 1.41 1.41 根据定理 1.9 可得关系式( , )( , ( , ) h ii xp ux p e p u=，对该式的两边求关于 i p的微分得： 21 * ( , )( ,)( , ) ( , ) h iii i ii x p yxp ux p y x p y ppy = i,j=1,2,n 根据定理 1.12： * ( ,) 0 h i i xp u p i=1,2n 命题 1： “一种正常品其自身价格的下降将会引致其需求量的增加” 证明：若商品是正常品，则： ( , ) 0 i x p y y 由可得： ( , ) 0 i i x p y p 由及( , )0 i x p y可得 ( , ) 0 i x p y y ，即该商品的消费量随收入的增加而下降，从而 该商品为低档品，得证。 命题 3：如果价格下降导致需求量增加则该商品为正常品 证明：已知 ( , ) 0 i x p y y 进而 ( ,)( , ),1,2,3x tp tyx p y in=? 由定理 A2.7， 0 ii xx py py += 即 1 0 ii j j j xx py py = += 两边再同除以 i x有 1 0 j ii j jii p xx y pxy x = += 即 1 0,1,2,3 n iji j in = += ? 23 高微一高微一 Ch1 习题参考答案习题参考答案(46-67) 1.46 1.46 证明： （1） 由于( )ui是线性齐次效用函数，则()( )0u t xt u xt= 00 ( ,)min. .( )e p up xstu xu= 当 0 0u 时， 0 000 0 0 00 1 ( ,)min(). .()1 min. .( )1 1 ( ,)( ,1) ( ,)( ,1) x xx e p upstu uuu p xstu x e p ue p u e p uu e p = = = =即 当 0 0u =时， 0 ( ,)00( ,1)e p ue p=， 综上，( , )( ,1)e p uu e p= （2） ( ) ( , )max ( ). . 1 ( , )max( ). .1 ( , )max( ). .1 ( , )max ( ). .1 ( , )( ,1) ( , ) ( ,1) x x x x v p yu xstp xy x v p yyu xstp yy xx v p yyustp yy v p yyu xstpx v p yy v p v p y v p y = = = = = = 改写为： 即： 即： 即偏导数只与p有关，与y无关。 1.47 24 ( , )( ) ( ) ( , ( , )( ( , ) ( ) ( , )( , )1 ( )10 ( ) ( ) ( ( , ) ( , )( )( , ) ( )( ( , )0 ( ) i iii e p uk u g p e p v p yk v p y g py dkv p yv p y g p dk duyy g p du g P k v p y dkv p yg Pv p y g pk v p y dk du g p du p ppp = = = = += 根据罗伊等式： ( ) ( , )( ( , ) i i g p p yk v p y x p = 得： ( , ) ( , )( ) ( , ) ( ( , ) i i i p y dkv p yg p yduy dkv p yy duyk v p y x p = = 将 ( , )1 ( ) dkv p y duyg p = 代入，得1 i 1.48 （a）根据古诺加总公式： = = n i jiji niss 1 , 1,? 1111212 sss=+ 经计算得：2 21 = （b）成立，因为与价格无关。 1.49 证明：1）根据罗伊恒等式知 yypv pypv ypx = / ),( / ),( ),( ，而 ),(.)()(.)/ ),( ypxGPAGpypv= ； = =yyG yy Gyypv(.) 1 (.)(/ ),( 1 故， 1 ),(),( (.) ),(.)( ),( = = yp y yp pyypx y yypx yyG ypxG ypx 0(.)(.) GG是正得单调函数，因此由于 其收入弹性为： = = 11 1 / . ),( . ),( ypy y yp y ypx y y ypx x 命题得证。 25 2）由于 G(.)是正的单调函数，因此 具有相同的偏好关系，与) 1 )(),( 1 + yy PAypv 令 00 ,()( ( ) 11 ()( )( , )( , )( , )0 ( , )(ln()ln( ) 0) ppp ppp pp pp yy yy xppp pA pA P A pA pxy dxy dxy d y xy ddypp =+ = = 的价格由 变为且则消费者效用的变动可表示为： 由于 此结果说明消费者效用(满足预算约束的最大化效用)随着消费品的价格升高而减小。 1.50 1.50 考虑效用函数 2 1 2 2 1 121 )()(),(xxxxu+= （a）计算需求函数 ),( 21 yppxi （b）计算斯卢茨基方程中的替代项 （c）将 21 xx与化分成总的补偿或替代项 解： （c）0 )( 2 ),( 2 21 1 + = pp y upxh 是替代的 21,x x 26 1.51 1.51 证明： ( , ) ( , ) i i x p yy yx p y ， 有 ( , )1 ( , ) i i x p y yyx p yy 对不等式 ( , )1 ( , ) i i x p y yyx p y 两边求由 0 y到y的积分， 左边为 0 0 0 0 ln(lnln)ln y y y y y dyyyy yy = 右边为 0 00 ( , )( , )1 ln( , )ln ( , )( ,) y y ii i y y ii x p yx p y yx p y yx p yx p y = 0 0 ( , ) lnln ( ,) i i