毕业设计（论文）-一类微分方程建模探讨.pdf

CHANGSHACHANGSHA UNIVERSITYUNIVERSITY OFOF SCIENCESCIENCE 3rd edition (January 1, 1976)(英文翻译原文) 同组设计者 无 注：1. 此任务书由指导教师填写。如不够填写，可另加页。 2. 此任务书最迟必须在毕业设计（论文）开始前一周下达给学生。 3. 此任务书可从教务处网页表格下载区下载 二、毕业设计（论文）工作进度计划表二、毕业设计（论文）工作进度计划表 序序 号号 毕毕 业业 设设 计（论计（论 文）工文）工 作作 任任 务务 工工 作作 进进 度度 日日 程程 安安 排排 周周 次次 1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414151516161717181819192020 1搜集资料一 2英文翻译一一 3撰写毕业论文一一一一一一一一一 4中期检查一 5毕业论文修改一 6毕业论文答辩一 7毕业论文资料整理一 8 9 10 注：1. 此表由指导教师填写； 2. 此表每个学生人手一份，作为毕业设计（论文）检查工作进度之依据； 3. 进度安排请用“一”在相应位置画出。 三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表三、学生完成毕业设计（论文）阶段任务情况检查表 时间第一阶段第二阶段第三阶段 内容组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况 检 查 记 录 教师 签字 签字日期签字日期签字日期 注：1. 此表应由指导教师认真填写。阶段分布由各学院自行决定。 2. “组织纪律”一档应按长沙理工大学学生学籍管理实施办法精神，根据学生具体执行情况，如实填写。 3. “完成任务情况”一档应按学生是否按进度保质保量完成任务的情况填写。包括优点，存在的问题与建议 4. 对违纪和不能按时完成任务者，指导教师可根据情节轻重对该生提出忠告并督促其完成。 四、学生毕业设计（论文）装袋要求：四、学生毕业设计（论文）装袋要求： 1. 毕业设计 （论文） 按以下排列顺序印刷与装订成一本 （撰写规范见教务处网页） 。 (1) 封面(2) 扉 页 (3) 毕业设计（论文）任务书(4) 中文摘要 (5) 英文摘要(6) 目录 (7) 正文(8) 参考文献 (9) 致谢(10) 附录（公式的推演、图表、程序等） (11) 附件 1：开题报告（文献综述）(12) 附件 2：译文及原文影印件 2. 需单独装订的图纸（设计类）按顺序装订成一本。 3. 修改稿（经、管、文法类专业）按顺序装订成一本。 4.毕业设计(论文)成绩评定书一份。 5论文电子文档由各学院收集保存。 学生送交全部文件日期 学生（签名） 指导教师验收（签名） 一类微分方程建模探讨 一类微分方程建模探讨 摘要 在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统， 有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系函数表达式， 但却容易找到这 些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式， 这时往往采用微分关系式来描 述该系统即建立微分方程模型。 本文深入探究了一类常微分方程在数学建模中的应用，阐述了常微分方程的 发展和数学建模， 并结合二者的特点与相关常微分方程在数学建模的例子，总结 了用数学模型微分方程去解决一些实际问题的思路，研究了相关问题的一些特 征。 随着生产实践和科学技术的发展， 微分方程也越来越多与其它学科密切相连， 并成了处理某些实际问题很好的数学模型。 关键词：Verhulst 模型；微分方程；变化率 一类微分方程建模探讨 DISCUSSION OF THE ONE CLASS DIFFERENTIAL EQUATION MODEL ABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACT In science and engineering, economy, medical, sports, biological and social and other subjects to many of the system, sometimes its very difficult to find the direct relationship between the relevant variables,which is called Function expression in mathematics, But its easy to find these variables and their small increments or changes in the relation , Then we often used to describe the system by differential equation,and establish a differential equation model. This paper explores in depth a class of ordinary differential equations in mathematical modeling, described the development of ordinary differential equations and mathematical modeling,Wehave also summarize some ideas to resolve some practical problems by the mathematical model of differential equation and some specific properties of the problems, which combined with the characteristics of the two ordinary differential equations and related examples in the mathematical modeling. With the developments of productive practice and scientific technology, the relationship between differential equation and other subjects has been closer and closer, and differential equation has become a very nice mathematical model to deal with some practical problems. KeyKeyKeyKey words:words:words:words:Verhulst model; Differential equations; Rate of change 一类微分方程建模探讨 目录 第一章 引言1 第二章 微分方程的几个基本概念2 第三章 建立微分方程模型的方法及若干准则 3.1 数学模型 4 3.2 微分方程模型 6 第四章 Verhulst模型的计算及应用 4.1 Verhulst 模型9 4.2 微分方程模型的解 9 4.3 模型参数计算方法 10 4.4 在评价企业活力中的应用 15 第五章 结语17 参考文献 18 致谢 19 一类微分方程建模探讨 第 1 页 共 19 页 第一章 引言 当今在各种杂志， 期刊等各种载体上提到比较多的两个词就是数学模型与数 学建模。 数学模型是用数学符号(或数学语言)对一实际问题或实际系统发生现象 的(近似的)描述。 而数学建模则是获得该数学模型、求解该模型并得到结论以及 验证结论是否正确、合理的全过程。简单地讲，数学建模就是利用数学工具解决 实际问题的全过程，它特别体现了“用数学”的精神 1-4。 人们在探求自然界客观发展规律的过程中经常会遇到这样的问题： 如果一个 变量变化(增大或者缩小)， 另一个变量将会如何随之变化？即需求两个变量之间 的关系式， 直接求出两个变量间的关系往往非常困难，但是却能够比较容易建立 关于未知变量的导数、未知变量以及自变量的等式，即建立微分方程。常微分方 程涉及应用领域从物理、力学领域渗透到了生物、化学、社会学、气象、管理工 程技术等领域。 因此微分方程成为解决实际问题重要的数学工具之一。无论是什 么样的建模书籍， 常微分方程都成为极为重要的内容。常微分方程解决实际问题 的时候主要涉及两方面的内容： 一是哪些问题可以抽象概括为一个常微分方程模 型， 并建立起相应的模型， 二是对模型分析求解将其结果回到现实世界给以解释。 这两方面内容就是建模专家叶其孝教授等多次提到要培养学习者用数学工具解 决实际问题的能力，就是注意培养其双向翻译能力。本文以著名的 Verhulst 模型 为为例， 重点阐述建模的主要过程，并给出了应用微分模型评价企业活力的应用 实例 4-6。 一类微分方程建模探讨 第 2 页 共 19 页 第二章 微分方程的几个基本概念 定义 2.1含有未知函数的导数(或偏导数)的方程，称为微分方程。当未知 函数是一元函数时， 称为常微分方程；当未知函数是多元函数时， 称为偏微分 方程。 微分方程有时也简称方程。 例如， 方程02, 032,sin, )( )( )4(“2 =+=+=+=xyyyyxyxy y x xd yd 等都是常微分 方程。而方程 y u x u z u y u x u = = + + 4, 0 2 2 2 2 2 2 2 2 等都是偏微分方程。 定义 2.2微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程 的阶。例如，方程)()(, xqyxpy y x dx dy =+=都是一阶微分方程，方程 2“ 32xyyy=+都是二阶微分方程。 一般地，n阶微分方程的形式为 0),.,( )( = n yyyxF 其中F是 )(,., , n yyyx的已知函数，x为自变量，y为未知函数， 且方程中一 定含有)(ny。 定义 2.3设函数)(xy=在区间D上有连续的n阶导数， 并且对任意的 Dx，均有 0)(),.,(),(,( )( xxxxF n 则称函数)(xy=为微分方程在区间D上的解。 如可以验证函数 x ey 2 =是方程02 =+yy的解。 xyxycos,sin=都是方程02 “ =+yy的解。 定义 2.4若n阶微分方程的解中， 含有n个独立任意常数，则称其为方程 的通解； 若n阶微分方程的解中不含有任意常数，则称其为方程的特解。 一类微分方程建模探讨 第 3 页 共 19 页 例如 x cey 2 =是方程02 =+yy的通解。xcxcycossin 21 +=是方程02 “ =+yy的 通解 x ey 2 =是方程02 =+yy的特解。 通常将确定微分方程任意常数的条件称为初始条件n 阶微分方程确定任意常数 的附加条件为 1 ) 1( 1 0 000 ,., = = = nxx n xxxx yyyyyy。 其中 1100 ,., n yyyx是待定 的1+n个常数。 我们称这些条件为微分方程的初始条件。 微分方程满足初始条件的求解问题 称为初值问题。n阶微分方程的初值问题通常记作 = = 1 )1( 1 0 )1( 000 ,., ),.,( nx n xx nn yyyyyy yyyxfy 微分方程解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题的几何 意义，就是求微分方程的通过点),( 00 yx的那条积分曲线 5。 微分方程稳定性理论 有时候， 初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变大后，产生显著的差 异 ， 这时称系统是不稳定的；有时候，初始条件变化导致解的性态差异会随时 间变大后而消失， 这时称该系统是稳定的。 在实际问题中， 初始状态不能精确地而只能近似地确定，所以稳定性问题的 研究对于用微分方程方法建立的模型具有十分重要的实际意义。 也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中，长远来看，最终发展结果 与精确的初始状态究竟如何， 两者之间没有多大关系，初始状态刻画得精确不精 确是无关紧要的。 微分方程稳定性理论可以使我们在很多情况下不求解方程便可直接得到微 分方程模型描绘的系统是稳定或不稳定的结论。 一类微分方程建模探讨 第 4 页 共 19 页 第三章建立微分方程模型的方法及若干准则 3.1 数学模型 3.1.1 数学模型的含义 数学模型可以描述为对于现实世界的一个特定的对象，为了一个特定的目 的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具， 得 到的一个数学结构。具体说来，数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其 他数学符号建立起来的特征及其关系。 数学模型有两个特点：其一，它是一种纯关系结构，是经过数学抽象扬弃了 一切与关系无本质联系的属性的系统；其二，这种结构是用数学概念和数学符号 来描述的。 特制问题和对象的多样性， 带来了数学模型的多样性。对一个较复杂的客体 对象抽象出来的数学模型，往往不是单一类型的，而是一种复合型的模型。 3.1.2 数学模型的建立过程 建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力，筛选、抛弃次 要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化。全过程一般分为表述、求解、 解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学 模型到现实对象的循环。可用流程图表示如下： 数学模型的解答 现实对象的信息 数学模型 表达 （归纳） 现实对象 验证 （检验） 解释 （实际解答） （演绎） 求解 数学模型的解答 表达根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题， 用 数学语言确切地表述出来。 这一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资 料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学 一类微分方程建模探讨 第 5 页 共 19 页 表达式去表现客观对象及其关系。如果现有的数学工具不够用时，可根据实际情 况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型。 求解选择适当的方法，求得数学模型的解答。 解释数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答。 验证检验解答的正确性。 3.1.3 数学建模方法 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程(见 数学建模过程流程图)。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和 方法， 通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种强有力 的数学手段。 常用的数学建模方法如下： (一) 机理分析法从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出数学模型的方 法。 1. 比例分析法 建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法。 2. 代数方法求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。 3. 逻辑方法是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等 领域的实际问题，在决策论，对策论等学科中得到广泛应用。 4. 常微分方程解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化 率”的表达式。 5. 偏微分方程解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。 (二) 数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法。 1. 回归分析法用于对函数( )f x的一组观测值( ,()(1,2,) ii xf xin=， 确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。 2. 时序分析法处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。 (三)仿真和其他方法 1. 计算机仿真(模拟)实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。 离散系统仿真有一组状态变量。 连续系统仿真有解析表达式或系统结构图。 一类微分方程建模探讨 第 6 页 共 19 页 2. 因子试验法在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修 改，求得所需的模型结构。 3. 人工现实法基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标， 并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统。 3.2 微分方程模型 当描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程， 分析它的变化规 律时， 亦即问题中含有瞬时变化率因素时，通常可以通过建立微分方程模型来解 决。 微分方程是用机理分析方法研究此类问题的重要工具。一般数学模型建立的 要求和步骤对它同样适用，而“变化率”的假设与推导是建立方程模型的关键。 3.2.1 哪些问题可能涉及微分方程 在实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如“速率” ， “增长”(在生 物学以及人口问题研究中)， “衰变”(在放射性问题中)、 “扩散速率”(化学反应 中)以及“边际的”(经济学中)等。 “改变” ， “变化” ， “增长” ， “减少”等关键词 提示我们注意什么量在变化， 往往会用上导数， 那么在一定程度上来刻画该问题。 3.2.2 建立微分方程模型常用的方法 1、运用已知的科学定律(或规律) 比如物理上经典力学中牛顿第二定律、万有引力定律，热力学中牛顿冷却定 律， 电学中回路电压定律等等都可能建立与变化率有关的等式。还有化学上比如 放射性物质衰变规律，溶液稀释规律，能量守恒等，对某些实际问题直接列出微 分方程。 2、利用平衡与增长式 许多现象在数量上常常表现出不变的特性， 如封闭区域内的能量、 货币量等。 利用这一特性，可以这一特性，可以分析和建立有关变量间的互相关系。简单的 讲是：变化=输入-输出。 3、微元分析法 自然界中有许多现象满足的规律是通过变量的微元之间的关系来表达的。 对 于这类问题我们不能直接列出自变量和未知函数及变化率之间的关系式， 而是通 一类微分方程建模探讨 第 7 页 共 19 页 过微元分析法，利用已知的规律建立微分方程来表示。 4、模拟近似法 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相 当复杂，因而需要大量的实际资料或试验数据，提出各种假设。在一定的假设与 简化， 并要把模型的理论或计算结果与实际情况进行对照检验，以修改模型使之 更准确地描述实际问题并进而达到预报预测的目的。 3.2.3 建立微分方程模型的若干准则 这些准则实际上也是描述了一阶微分方程模型的建模步骤。 因为问题最终是 为了微分方程的一条解曲线， 所以如果你知道了曲线上每一点的导数以及它的起 始点，那么你就能构造出这条解曲线。 1.翻译，也称转化。这一步要完成的是把实际问题中出现的表示“导数”的常用 词(如“速率” 、 “衰变” 、 “边际”等)找出来，并用数学语言简化出来，我们所要 研究的模型的微分方程就近在咫尺了。 2.建立瞬时表达式， 微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式，这是 数学问题的核心，因此，找到了表示“导数”的关键词后，这一步要根据自变量 有微小改变t时因变量的增量y ，建立起t时段上的增量表达式，令0t， 即可得到dtdy/的表达式，从而构造出微分方程。 3.配备物理单位。在建模中应注意每一项采用同样的物理单位。 4.叙述给定的条件。 这些条件独立于微分方程而成立，是关于系统在某一特定时 刻或边界上的信息。 在解出方程后， 利用它们来确定有关的常数(如比例系数等)， 为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起写 出。 5.写出清楚框架， 在着手研究一个问题时，一个好的方式就是写出你所知道的有 关这个问题的每一件事，用框框、黑点或其他符号标出关键语句或主要步骤， 这 些步骤的全体叫做框架。比如在一个典型问题中，当依次得到下面这些结果时， 关键步骤就完成了： 把用语言叙述的情况概念化为文字方程； 陈述出所涉及的原则或物理定律； 微分方程； 一类微分方程建模探讨 第 8 页 共 19 页 给定的各种条件，包括初始条件或其他条件； 微分方程的解； 求出常数的解； 问题的答案。 框架已建立，在问题中每一步的目的就是为了完成框架中下一步要做的事 1-3。 一类微分方程建模探讨 第 9 页 共 19 页 第四章Verhulst 模型的计算及应用 4.1 Verhulst 模型 著名的荷兰生物数学家 Verhulst 的生物模型的微分方程为 )()( )( 2 tbxtax dt tdx +=(4-1) 常用于生物繁殖、人口预测、市场预测和能源预测等方面 7。其解为 )( 11 1 1 )()( )( )( ttb ebtaxtax tbx tx + =(4-2) 在灰色理论中，给出了利用客观数据来确定(4-1)式、(4-2)式中的参数ba, 的最小 二乘法 8，这种方法是一种将(4-1)式离散化的方法，存在方法上的误差。我们将 讨论更一般的微分方程模型 ctbxtax dt tdx +=)()( )( 2 (4-3) 的解法、模型参数的计算方法和在研究矿业经济发展中的应用。 4.2 微分方程模型的解 定理定理 1 1 1 1记)( 11 txx=如果方程 0 2 =+cba(4-4) 有实根，则微分方程(4-3)的解为 =+ + + + + + = + 02 , )(1 02 , )()( )(2( )( 11 1 )(2( 11 1 1 ba ttxa x ba ebxaxa xba tx ttba (4-5) 证明：令+= )( 1 )( ty tx，则利用(4-4)式，(4-3)式可化 ayba dt tdy +=)2( )( 一类微分方程建模探讨 第 10 页 共 19 页 解此微分方程得 =+ + + + + = + 02),()( 02 , 2 ) 2 )( )( 11 )(2( 1 1 battaty ba ba a e ba a ty ty ttba 由此即得(4-5)式，证毕。 值得指出的是，若方程(4-4)有两个不同的根 1 )02(+ba和 2 ，记(4-5)式 为),(tx，则容易验证，),(),( 21 txtx=，)2(2 21 baba+=+。 4.3 模型参数的计算方法 以下仅对三种情形讨论模型(4-3)式或(4-5)式中参数的计算， 其它情形可类似 讨论。 (1)0,0ab=的情形 当0,0ab=时，由(4-4)式有/c b= 。于是(4-5)式可写成 1 () 1 ( )() b t t cc x txe bb =+(4-6) 由此可得差分方程 (1)( )(1) bb c x te x te b +=+ 因此，一种确定(4-6)式中参数 ,b c的计算方法是先求解 (1)1(2) (2)1(3) . (1)1() xx xux v x Nx N = (4-7) 然后，如果0u，则令 , 1 n v bL u cb u = (4-8) 只要数据 ( )x k(1,2,.,)kN=可表示成形如(4-6)式的指数函数，则由(4-7)式 和(4-8)式求得的 ,b c是模型(4-6)的准确解。与(1,1)GM的离散化计算方法相比， 按(4-7)式和(4-8)式的计算方法，具有不存在方法上的误差的优点。 下面估计由(4-7)式算得的u的大小。 一类微分方程建模探讨 第 11 页 共 19 页 定理定理 2 2 2 2 方程组 1 1 2 2 1 1 .1. 1 N N zy yz yz = 关于的最小二乘解为 1 2 1 ()() () ijij j i N ij j i N yyzz yy = (4-9) 证明：按最小二乘解的求法有 1 2 11 1 11 NN N iii iii i NN ii ii yy z y yzN = = = = 由此得 111 22 11 ()() () NNN iiii iii NN ii ii Ny zyz Nyy = = = 由于 11111 ()()() NNNNN iiiiiiij iiiij Ny zyzNy zyz = = 111111 ()()()() NNNNNN iijijijiji ijijij y zzyyzzy zz = = 所以 111111 1 ()()()()()() 2 NNNNN iiiiijijijij iiiijj i N Ny zyzyyzzyyzz = ，并且，对常数 12 ，则令 , 1 n v bL u ab u = = (4-12) 只要数据 ( )x k(1,2,.,)kN=可表示成形如(4-10)式的函数，则由(4-11)式和 (4-12)式求得的 ,a b是模型(4-10)的准确解。与灰色理论中关于 Verhulst 模型的离 散化计算方法相比，按(4-11)式和(4-12)式计算的方法，具有不存在方法上的误差 的优点，并且，直接由定理 3 可得。 定理定理 4 4 4 4 设 k x为单调数列，则对(4-11)式计算的u，有0u，并且，对常数 12 ，则取 1 p和 2 p，满足 1212 ,1ppu p p+= 。然后令 1 2 1 2 2 2211 221 1 12 (1) (1)(2) 11 () 22 1 n AL p p v B pu pVV Byy p pppuu x BB = = + = = + (4-18) 1 2 2 aAB bAa cab = = = (4-19) 只要数据 ( )x k(1,2,.,)kN=具有(4-13)式的形式，则由(4-17)式、(4-18)式、 (4-19)式求得的参数是模型(4-13)的准确解。并且，利用定理 2 可得 定理定理 5 5 5 5 设 k y为单调数列， 1 1 kk k kk yy w yy + = ，则当 1 1 2 kk ww+时，对(4-17) 式计算的u，有2u。 一类微分方程建模探讨 第 15 页 共 19 页 4.4 在评价企业活力中的应用 企业活力是指可以促进企业发展，实现新陈代谢的各种因素，它主要是来自 企业的获利能力、竞争表现、创新、管理与协调能力。企业活力很难用定量的财 务指标来衡量，企业活力的评价，是一件较复杂的工作。销售利润( )P作为企业 活力的直接目标，是一个静态值，不能反映活力的动态特性，因而不宜作为企业 活力的衡量指标。销售利润的变化速度(/)dP dt反映了企业发展的动态特性，因 此可作为活力指标。 应用变化速度对铜矿的活力进行评价时，我们考虑了销售收 入和销售成本的变化速度两个因素。统计数据如表 4-1 所示。 表表 4-14-14-14-1某大型铜矿的收入和成本数据某大型铜矿的收入和成本数据单位： 5 10 万元 年份198519861987198819891990 销售收入 () I x 0.113710.169100.214560.253940.335280.39504 销售成本 () c x 0.084790.130990.167550.198860.261440.33618 按照模型(4-10)，由(4-11)式和(4-12)式对销售收入有 2 1.163333( )0.527873( ) I II dx x tx t dt = + 1 0.527873() 0.060024 ( ) 0.1322830.395590 I t t x t e = + 对销售成本有 2 0.1493883( )0.553363( ) c cc dx x tx t dt = + 1 0.553363() 0.046920 ( ) 0.1266660.426697 c t t x t e = + 计算结果列于表 4-2 一类微分方程建模探讨 第 16 页 共 19 页 表表 4-24-24-24-2 模拟数值结果模拟数值结果 年份198519861987198819891990 II xx 0.000000.00493-0.00782-0.027240.002130.02113 I x 0.044980.056000.059710.059030.046210.02699 CC xx 0.000000.00487-0.00769-0.02694-0.009280.03049 C x 0.036180.046850.050780.050970.042560.01720 IC xx 0.008800.009150.008930.008060.003650.00979 从表 4-2 中的 I x、 C x、 IC xx可知该企业的收入、成本、利润的增长速度。 按照这种计算方法，可对多个企业进行评价。 一类微分方程建模探讨 第 17 页 共 19 页 第五章结语 文章对常微分方程在数学建模中的应用作了简单的探究， 并对数学建模与常 微分方程的特点作了一些有益的分析。 用微分方程建立数学模型来解决实际问题 主要可以归为：(1)分析问题合理假设建立模型并根据某时刻状态提出定解条件。 (2)求解模型分析结果并回到实际中解释现象或者预测未来。 从建模过程来看，建立一种数学模型，就是数学理论更好地指导实际生活的 过程。当然，纯粹以运用数学理论为目的的建模并不是建模的目的，真正的建模 目的是为了将不容易解决的生活实际中的难题用数学来解决。 常微分方程在数学 建模中的应用和常微分方程的出现，将生产生活实际与数学理论巧妙地结合起 来，给人们提供一种新的思维和解决问题的方式，把人们的理论从知识型向能力 型转变。正因为常微分方程的这种意义，才使得它的应用会越来越广泛。 一类微分方程建模探讨 第 18 页 共 19 页 参考文献 1萧树铁数学实验M北京:高等教育出版社，1999 2徐全智,杨晋浩数学建模M北京:高等教育出版社，2003 3姜启源，谢金星数学模型(第三版)M北京:高等教育出版社，2003 4周义仓，靳帧，秦军林常微分方程及其应用 M北京:科学出版社，2003 5王高雄等常微分方程(第三版)M北京:高等教育出版社，2006 6李国斌微分方程解实际问题的探讨J高等教育研究，2007(24):62-74 7郑聚龙，灰色预测与决策M华中理工大学出版社，1986 8郑聚龙，灰色控制系统M华中理工大学出版社，1985 一类微分方程建模探讨 第 19 页 共 19 页 致谢 从论文选题到搜集资料，从写稿到反复修改，期间经历了喜悦、聒噪、痛苦 和彷徨，在写作论文的过程中心情是如此复杂。如今，伴随着这篇毕业论文的最 终成稿，复杂的心情烟消云散，自己甚至还有一点成就感。那种感觉就宛如在一 场盛大的颁奖晚会上， 我在晚会现场看着其他人一个接着一个上台领奖，自己却 始终未能被念到名字，经过了很长的时间后，终于有位嘉宾高喊我的大名，这时 我忘记了先前漫长的无聊的等待时间，欣喜万分地走向舞台，然后迫不及待地开 始抒发自己的心情，发表自己的感想。这篇毕业论文的就是我的舞台，以下的言 语便是有点成就感后在舞台上发表的发自肺腑的诚挚谢意与感想： 我要感谢，非常感谢我的导师黄礼平教授及王桦老师。特别是王桦老师， 她 为人随和热情，治学严谨细心。在闲聊中她总是能像知心朋友一样鼓励你，在论 文的写作和措辞等方面她也总会以 “专业标准” 严格要求你， 从选题、 定题开始， 一直到最后论文的反复修改、 润色，王老师始终认真负责地给予我深刻而细致地 指导，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励。正是王老师的无私帮助与热 忱鼓励，我的毕业论文才能够得以顺利完成，谢谢王老师。 我要感谢，非常感谢彭福堂学长。正在撰写硕士研究生毕业论文的他，在百 忙之中抽出时间帮助我搜集文献资料，帮助我理清论文写作思路，对我的论文提 出了诸多宝贵的意见和建议。对学长的帮助表示真挚的感谢。 我要感谢，非常感谢班上的同学们。正是由于你们的帮助和支持，我才能克 服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成。特别感谢彭健福同学，他对本 课题做了不少工作，给予我不少的帮助。 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完 成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的 谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们! 毕业设计毕业设计( ( ( (论文论文) ) ) )开题报告开题报告 题目题目：一类微分方程建模探讨一类微分方程建模探讨 课课 题题 类类 别：别： 设计设计 论文论文 学学 生生 姓姓 名：名：彭钢锋彭钢锋 学学号：号：200664090214200664090214200664090214200664090214 班班级：级：数学数学 06-0206-0206-0206-02 班班 专业（全称专业（全称） ：数学与应用数学数学与应用数学 指指 导导 教教 师：师：黄礼平、王桦黄礼平、王桦 2010201020102010 年年 4 4 4 4 月月 一、本课题设计（研究）的目的： 培养学生科学的思维方式，综合运用所学理论、知识和技能分析和解决实际问题的 能力，是学生毕业前全面素质教育的重要实践训练。 二、设计（研究）现状和发展趋势（文献综述） ： 微分方程涉及应用领域从物理、力学领域渗透到了生物、化学、社会学、气象、 管 理工程技术等领域。因此微分方程成为解决实际问题重要的数学工具之一。无论是什么 样的建模书籍，常微分方程都成为极为重要的内容。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发 展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等， 都 对常微分方程的发展产生了深刻的影响， 当前计算机的发展更是为常微分方程的应 用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得 到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方 程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。 这些都使数学家更加深信微分方程在 认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候， 利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的 基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有 生命力的数学分支。 三、设计（研究）的重点与难点，拟采用的途径（研究手段） ： 著名的荷兰生物数学家 Verhulst 的生物模型的微分方程为 )()( )( 2 tbxtax dt tdx += 常用于生物繁殖、人口预测、市场预测和能源预测等方面.其解为 )( 11 1 1 )()( )( )( ttb ebtaxtax tbx tx + = 在灰色理论中，给出了利用客观数据来确定参数ba, 的最小二乘法，这种方法是一种将 (1)式离散化的方法，存在方法上的误差.我们将讨论更一般的微分方程模型 ctbxtax dt tdx +=)()( )( 2 的解法、模型参数的计算方法和在研究矿业经济发展中的应用. 本文以著名的 Verhulst 模型为为例，重点阐述建模的主要过程，并给出了应用微分 模型评价企业活力的应用实例。着重介绍微分方程建模的方法以及若干准则。 四、设计（研究）进度计划： 第 5 周第 6 周收集有关论文方面的资料，开题报告，英文翻译 第 7 周第 15 周撰写毕业论文 第 11 周毕业论文中期检查 第 16 周毕业论文修改 第 17 周毕业论文答辩，毕业论文资料整理 五、参考文献： 1萧树铁数学实验M北京:高等教育出版社，1999 2徐全智,杨晋浩数学建模M北京:高等教育出版社，2003 3姜启源，谢金星数学模型(第三版)M北京:高等教育出版社，2003 4周义仓，靳帧，秦军林常微分方程及其应用 M北京:科学出版社，2003 5王高雄等常微分方程(第三版)M北京:高等教育出版社，2006 6李国斌微分方程解实际问题的探讨J高等教育研究，2007(24):62-74 7郑聚龙，灰色预测与决策M华中理工大学出版社，1986 8郑聚龙，灰色控制系统M华中理工大学出版社，1985 指导教师意见 签名： 月日 教研室（学术小组）意见 教研室主任（学术小组长） （签章） ： 月日 一类微分方程建模探讨 第五章第五章微分法微分法 本章除最后一节外，我们集中注意于定义在闭区间或开区间上的实函数， 这不是为了方便， 而是因为当我们从实函数转到向量值函数的时候，本质的差别 就出现了，定义在 k R上的函数的微分法，以后在第九章讨论 实函数的导数实函数的导数 5.15.1 定义定义设f是定义在 , a b上的实值函数，对于任意的 , xa b,作（差） 商 （1）