毕业设计（论文）-某曲面的几何性质研究.pdf

毕业设计 论文 任务书毕业设计 论文 任务书毕业设计 论文 任务书毕业设计 论文 任务书 数学与计算科学 学院 数学与应用数学专业数学 06 02 班 题目某曲面的几何性质研究 任务起止日期 2010 年 4 月 5 日 2010 年 6 月 25 日 学 生 姓 名姚道鹰学 号200664090220 指 导 教 师万勇 教研室主任2009 年 12 月 25 日审查 院长2009 年 12 月 29 日批准 一 一 毕业设计 论文 任务 毕业设计 论文 任务 课题内容 1 讨论曲面 cos cos ln x y yxr 的第一基本形式和第二基本形式 2 讨论该曲面的高斯曲率 平均曲率 可展性和极小性 3 讨论该曲面上的渐进曲线 共轭曲线和曲率线 课题任务要求 1 根据毕业论文任务书完成开题报告 2 给出该曲面的第一基本形式和第二基本形式的结论及其推导过程 3 给出该曲面的高斯曲率 平均曲率的表现形式和可展性 极小性的结论及其推导过程 4 给出该曲面上的渐进曲线 共轭曲线和曲率线的方程及其推导过程 5 研究要系统 完整 科学 严谨 6 按时完成毕业论文 7 论文及相关材料符合 长沙理工大学毕业论文管理条例 和 数计学院毕业论文工作条 例 课题完成后应提交的资料 或图表 设计图纸 1 规范的毕业设计 论文 一本 撰写规范见教务处网页 2 任务书一份 3 开题报告 含文献综述 一份 4 译文 5000 字 及原文影印件各一份 5 论文电子文档 由学院收集保存 主要参考文献与外文翻译文件 由指导教师选定 1 苏步青等 微分几何 M 第一版 北京 高等教育出版社 1985 1 168 2 梅向明等 微分几何 M 第三版 北京 高等教育出版社 2002 1 157 3 陈省身等 微分几何讲义 M 第二版 北京 北京大学出版社 2001 363 369 4 吴大任 微分几何讲义 M 第一版 北京 高等教育出版社 1982 1 189 5 方德植 微分几何基础 M 第一版 北京 科学出版社 1984 46 52 6 Walter Rudin Principles of Mathematical Analysis M Third Edition America McGraw Hill 2004 1 342 7 S K JainA Gunawardena Linear Algebra An Interactive Approach M First Edition Thoms On Brooks Cole 1999 1 263 同组设计者 无 注 1 此任务书由指导教师填写 如不够填写 可另加页 2 此任务书最迟必须在毕业设计 论文 开始前一周下达给学生 3 此任务书可从教务处网页表格下载区下载 二 毕业设计 论文 工作进度计划表二 毕业设计 论文 工作进度计划表 序序 号号 毕毕 业业 设设 计 论计 论 文 工文 工 作作 任任 务务 工工 作作 进进 度度 日日 程程 安安 排排 周周 次次 1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101111121213131414151516161717181819192020 1搜集资料一 2开题报告一一 3英文翻译一一 4撰写毕业论文一一一一一一一 5中期检查一 6毕业论文修改一 7毕业论文答辩一 8毕业论文资料整理一 9 10 注 1 此表由指导教师填写 2 此表每个学生人手一份 作为毕业设计 论文 检查工作进度之依据 3 进度安排请用 一 在相应位置画出 三 学生完成毕业设计 论文 阶段任务情况检查表三 学生完成毕业设计 论文 阶段任务情况检查表 时间第一阶段第二阶段第三阶段 内容组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况组织纪律完成任务情况 检 查 记 录 教师 签字 签字日期签字日期签字日期 注 1 此表应由指导教师认真填写 阶段分布由各学院自行决定 2 组织纪律 一档应按 长沙理工大学学生学籍管理实施办法 精神 根据学生具体执行情况 如实填写 3 完成任务情况 一档应按学生是否按进度保质保量完成任务的情况填写 包括优点 存在的问题与建议 4 对违纪和不能按时完成任务者 指导教师可根据情节轻重对该生提出忠告并督促其完成 四 学生毕业设计 论文 装袋要求 四 学生毕业设计 论文 装袋要求 1 毕业设计 论文 按以下排列顺序印刷与装订成一本 撰写规范见教务处网页 1 封面 2 扉 页 3 毕业设计 论文 任务书 4 中文摘要 5 英文摘要 6 目录 7 正文 8 参考文献 9 致谢 10 附录 公式的推演 图表 程序等 11 附件 1 开题报告 文献综述 12 附件 2 译文及原文影印件 2 需单独装订的图纸 设计类 按顺序装订成一本 3 修改稿 经 管 文法类专业 按顺序装订成一本 4 毕业设计 论文 成绩评定书 一份 5 论文电子文档 由各学院收集保存 学生送交全部文件日期 学生 签名 指导教师验收 签名 某曲面几何性质研究 第 1页 共 17 页 某曲面的几何性质研究 摘要 平面上不自交的闭曲线称为若尔当曲线 若尔当曲线分平面为两部分 并且每一部分 都以此曲线为边界 它们中间一个是有限的 另一个是无限的 其中有限的区域称为初 等区域 换言之 初等区域是若尔当曲线的内部 例如 正方形或矩形的内部 圆或椭圆 的内部等都是初等区域 如果平面上初等区域到三维欧氏空间内建立的对应是一一的 双 方连续的在上映射 则我们把三维欧氏空间中的象称为简单曲面 我们在下面的内容中讨 论某一个曲面的基本性质 例如它的第一第二基本形式 以及它的高斯曲率 平均曲率 可展性和极小性 还有讨论在该区面上的渐进曲线 共轭曲线和曲率线 关键词 曲面 基本形式 曲率 曲线 某曲面几何性质研究 第 2页 共 17 页 ABSTRACTABSTRACTABSTRACTABSTRACT The plane into the closed curve called Jordan curve Plane is divided into two parts by Jordan curve and every partfor boundary by this curve one of them are limited and another is infinite the limited area known as the primary area In other words the primary is within the Jordan curve For example the internal square or rectangular and the internal circular or oval are the primary area If the primary regions plane to three dimensional Euclidean space is established within the corresponding 11 and both parties in the map continuous then we have the three dimensional Euclidean space as simple as the surface In the following sections we discuss some basic properties of a surface such as its first and second fundamental form and its Gaussian curvature mean curvature developability and minimality Also we will discuss the asymptotic curve conjugate curves and lines of curvature of the surface in the area Key words surfacefundamental formcurvaturecurve 某曲面几何性质研究 第 3页 共 17 页 目录 第一章第一章 绪论绪论 1 1 1微分几何产生的背景 1 1 2微分几何学的基本内容 2 1 3问题产生的背景 2 1 4研究内容 3 第二章第二章预备知识预备知识 4 2 1曲面的第一基本形式和第二基本形式 4 2 2曲面的高斯曲率 平均曲率 可展性和极小性 4 2 3曲面的渐近曲线 共轭曲线和曲率线 10 第三章第三章 相关推导过程及结果相关推导过程及结果 12 3 1第一基本形式及第二基本形式的推导过程 12 3 1 1 第一基本形式推导过程 12 3 1 2 第二基本形式推导过程 13 3 2曲面的高斯曲率 平均曲率 可展性及极小性的推导过程 17 3 2 1 高斯曲率及平均曲率的推导过程 17 3 2 2 曲面可展性问题的讨论 17 3 2 3 曲面极小性问题的讨论 18 3 3曲面的渐进曲线 共轭曲线及曲率线推导过程 18 3 1 渐进曲线的推导过程 18 3 2 共轭曲线的推导过程 18 3 3 曲率线的推导过程 19 总结 20 参考文献 21 致谢 22 某曲面几何性质研究 第 1页 共 22 页 绪论 1 1 微分几何产生的背景 微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或曲面在它一点邻域的性质 换句话 说 微分几何是研究一般的曲线和曲面在 小范围 上的性质的数学分支学科 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的 在这方面第一个做出贡献的是 瑞士数学家欧拉 1736 年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念 即以曲线弧长这 以几何量作为曲线上点的坐标 从而开始了曲线的内在几何的研究 十八世纪初 法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去 并于 1807 年出版了它的 分析在几何学上的应用 一书 这是微分几何最早的一本著作 在 这些研究中 可以看到力学 物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因 素 1827 年 高斯发表了 关于曲面的一般研究 的著作 这在微分几何的历史上有重 大的意义 它的理论奠定了现代形式曲面论的基础 微分几何发展经历了 150 年之后 高 斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容 建立了曲面的内在几何学 其主要 思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质 例如曲面上曲面的长度 两条 曲线的夹角 曲面上的一区域的面积 测地线 测地线曲率和总曲率等等 他的理论奠定 了近代形式曲面论的基础 1872 年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时 阐述了 埃尔朗根纲领 用变 换群对已有的几何学进行了分类 在 埃尔朗根纲领 发表后的半个世纪内 它成了几何 学的指导原理 推动了几何学的发展 导致了射影微分几何 仿射微分几何 共形微分 几何的建立 特别是射影微分几何起始于 1878 年阿尔方的学位论文 后来 1906 年起经以 威尔辛斯基为代表的美国学派所发展 1916 年起又经以富比尼为首的意大利学派所发 展 随后 由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立 微分几何在黎曼几何学 和广义相对论中的得到了广泛的应用 逐渐在数学中成为独具特色 应用广泛的独立学 科 某曲面几何性质研究 第 2页 共 22 页 1 2 微分几何学的基本内容 微分几何学以光滑曲线 曲面 作为研究对象 所以整个微分几何学是由曲线的弧线 长 曲线上一点的切线等概念展开的 既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性 质 则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等 就是微分几何中重要的讨 论内容 而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法 在曲面上有两条重要概念 就是曲面上的距离和角 比如 在曲面上由一点到另一点 的路径是无数的 但这两点间最短的路径只有一条 叫做从一点到另一点的测地线 在微 分几何里 要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线 还要讨论测地线 的性质等 另外 讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容 在微分几何中 为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质 常常用所谓 活动标形的方 法 对任意曲线的 小范围 性质的研究 还可以用拓扑变换把这条曲线 转化 成初等曲 线进行研究 在微分几何中 由于运用数学分析的理论 就可以在无限小的范围内略去高阶无穷 小 一些复杂的依赖关系可以变成线性的 不均匀的过程也可以变成均匀的 这些都是 微分几何特有的研究方法 近代由于对高维空间的微分几何和对曲线 曲面整体性质的研究 使微分几何学同 黎曼几何 拓扑学 变分学 李群代数等有了密切的关系 这些数学部门和微分几何互 相渗透 已成为现代数学的中心问题之一 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用 比如 在弹性薄壳结构方 面 在机械的齿轮啮合理论应用方面 都充分应用了微分几何学的理论 1 3 问题产生的背景 本文在讨论微分几何曲面相关性质的同时 运用所学到的相关知识解决一些实际的 问题 同时在解决的过程中学到更多的知识 了解曲面的一些基本性质 例如曲面中第一 基本形式和第二基本形式 以及它的高斯曲率 平均曲率 可展性和极小性 最后适当 了解空间曲面上的相关曲线 比如它的渐进曲线 共轭曲线和曲率线 用实际的例子将抽 象的空间曲面转化成具体的易懂的实例 曲面是一条动线 在给定的条件下 在空间连续 运动的轨迹 某曲面几何性质研究 第 3页 共 22 页 1 4 研究内容 首先我们要了解论文所要讨论的主题 就是讨论某曲面的几何性质 我们在讨论该曲面 性质的过程中应当学习并掌握相关的知识 所用到的是微分几何相关的知识 曲面是个 比较抽象的尤其是空间曲面 我们要探讨的是曲面在空间中的基本性质 比如说曲面的 第一基本形式和第二基本形式 以及它的高斯曲率 平均曲率 可展性和极小性 最后 适当了解空间全面上的相关曲线 比如它的渐进曲线 共轭曲线和曲率线 我们来给出该曲面的数学表达形式以及在后面讨论的相关内容课题内容 1 讨论曲面 cos cos ln x y yxr 的第一基本形式和第二基本形式 2 讨论该曲面的高斯曲率 平均曲率 可展性和极小性 3 讨论该曲面上的渐进曲线 共轭曲线和曲率线 在后面的讨论中我们会给出该区面的第一基本形式和第二基本形式 高斯曲率 平均曲 率 可展性 极小性以及该区面上的渐近曲线 共轭曲线和曲率线 并给出相关的推导 过程 并且了解曲面的相关知识 某曲面几何性质研究 第 4页 共 22 页 第二章 预备知识 2 1 曲面的第一基本形式和第二基本形式 定义 2 1 1 2 曲面 S vurr 的第一基本量定义为 vvvuuu rrGrrFrrE 第一基本形式定义为 2 2 2 GdvFdudvEduI 定义 2 1 2 2 对于 2 C 类曲面 S 的方程 vurr 第二基本量为 2 222 NdvMdudvLdurdn 第二基本形式定义为 nrNnrMnrL vvuvuu 2 2 曲面的高斯曲率和平均曲率 可展性和极小性 定义 2 2 1 2 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率 由于曲面 上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向 因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线 方向的法曲率 引理 2 2 1 2 在曲面 S vurr 上选曲率线网为曲纹坐标网 则 F M 0 这时对 于曲面的任意方向dvdud 它的法曲率公式就简化成 22 22 GdvEdu NdvLdu kn G N E L 2 1 k 0 du v k 0 dv u 某曲面几何性质研究 第 5页 共 22 页 引理 2 2 2 欧拉公式的表达式 2 2 2 1 sincoskkkn 引理 2 2 3 这个公式称为欧拉 Euler 公式 在脐点这个公式仍然正确 因为这时有 21 kk 而沿着任意方向的法曲率 21 kkkn 欧拉公式表示只要知道了主曲率 则任意方向 d 的法曲率就可以由 d 和 u 曲线的方向之间的夹角 来确定 引理 2 2 4 2 法曲率的计算公式 0 GkNFkM FkMEkL NN NN 即 0 2 222 MLNkNEMFLNkFEG NN 引理 2 2 5 2 曲面上一点 非脐点 的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的 最大值与最小值 下面我们来介绍在曲面论的许多问题中起重要作用的两种曲率 定义 2 2 2 2 设 21 k k为曲面上一点的两个主曲率 则他们得乘积 21k k成为曲面在这 一点的高斯曲率 通常以K表示 它们得平均数 2 1 21 kk 成为曲面在这一点的平均曲率 通常以 H 表示 由方程 2 45 利用二次方程得根与系数的关系 便得 高斯曲率 2 2 21 FEG MLN kkK 平均曲率 2 2 2 1 2 21 FEG NEMFLG kkH 定义 2 2 3 2 由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面 定义 2 2 4 2 直纹面上去一条直线 C 它的参数方程是 uaa 曲线 C 和所有直母线相交 即过曲线 C 的每一点 0 uu 有一直母线 曲线 C 称为直纹面的导线 定义 2 2 5 2 设 ub是过导线 C 上 ua点的直母线上的单位向量 导线 C 上 ua 点到直母线上任一点 vuP的距离为 v 则向径OP可以表示成 某曲面几何性质研究 第 6页 共 22 页 uvbuar 这就是直纹面的参数表示 由上式可以看出直纹面的 v 曲线 u 常数 是直母线 u 曲线 v 常数 是和导线 C 平行的曲线 我们来计算直纹面上任意点 vuP的法向量 n 它平行于 vu rr 从上式容易算出 ubruvbuar vu 所以 babarr vu 我们现在来讨论当 P 点在曲面上沿一条直母线移动时 法向量 n 的变化情况 情形 1 bbba 即0 bba 这时当 P 点在一条直母线上移动时 参数 v 随着 P 点的变动而变化 因此法向量 n 或切平面 绕直母线而旋转 情形 2 bbba 即0 bba 这时当 P 点沿一条直母线移动时 虽然 v 变化了但是 vu rr 只改变长度 不改变方 向 也就是说 vu vu rr rr n 保持不变 这说明 P 点沿着直母线移动时 它的法向量 或切平面 不变 此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面 对于直纹面 uvbuar 有 ubrv 所以曲面在 P 点的沿方向 v r的法截线就是直 母线 这是一条直线 它的曲率为零根据梅尼埃定理 coskkn 因此 P 点在方向 v r上 的法曲率0 n k 根据以前的讨论 只有当 P 点是双曲点火抛物点是才可能出现0 n k的 情形 这说明了直纹面上高斯曲率0 K 下面我们将指出对于情形 1 有0 K 对于情形 2 有0 K 由直纹面的参数表示 uvbuar 到 0 vvuvuu rbrvbar 某曲面几何性质研究 第 7页 共 22 页 单位法向量为 2 FEG bvbba rr rr n vu vu 由此的第二类基本量为 2 FEG baavbabbbabbb nrL uu 2 FEG bab nrM uv 0 nrN vv 在计算高斯曲率 22 2 2 2 FEG bab FEG MLN K 因而对于情形 1 0 bba有高斯曲率0 K 对于情形 2 0 bba有0 K 我们已经知道对于法曲率 n k有 n k 又因为沿着直纹面的直母线有0 n k 所以有 0 因此直纹面的直母线一定是渐近线 先定义直纹面的腰曲线 定义 2 2 6 2 设l是过导线上点 ua的直母线 l是过导线上 ua的邻近点 uua 的直母线 做l和 l的公垂线 垂足分别为M和 M 公垂线的垂足 MM的垂 足M当0 u时沿着直母线趋近于极限位置 0 M 点 0 M称为直母线l上的腰点 定义 2 2 7 2 下面我们导出腰点的向径表达式 垂足M M所对应的向径为 bbvvaarrM vvbuarM 由以上两式得到 bbvbvarMM 又因为 MM是两直母线的公垂线 所以垂直于b和bb 因而垂直于b 这样有 0 bMM 某曲面几何性质研究 第 8页 共 22 页 把上式代入得 0 bbbvbbvba 这个式子除以 2 u 0 u b bb u v u b u b v u b u a 当0 u是 我们考虑 MM的极限位置 在这里我们假设0 ub 对于0 ub的情形 我们以后再讨论 注意当0 u时有 0 00 bb u b bbb u a 这时上式为 0 2 vbba 因而 2 b ba v 把它带入到 uvbuar 后得到腰点的向径表达式 2 ub ub ubua uar 定义 2 2 8 2 在上面的内容中 我们把直纹面 uvbuar 分为两种情形 1bbba 即0 bba 2bbba 即0 bba 对于第 2 情形的直纹面我们成为可展曲面 也就是说 可展曲面是沿着一条直母线由同 一个切面的直纹面 引理 2 2 6 2 每一个可展曲面或是柱面 或是锥面 或是一条曲线的切线曲面 定义 2 2 9 2 如果有一个曲面 S 它的每一点是 a S 族中一个曲面 a S的点 而且在 S与 a S的公共点它们有相同的切平面 反过来 对 a S族中每一个曲面 a S 在曲面S上 有一点 a P使 a S与S在 a P点有相同的切平面 则S称为单参数曲面族 a S的包络 某曲面几何性质研究 第 9页 共 22 页 引理 2 2 7 2 一个曲面为可展曲面的充分必要条件使此曲面为单参数平面族的包 络 引理 2 2 8 2 一个曲面为可展曲面的充分必要条件使它的高斯曲率恒等于零 引理 2 2 9 2 曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成 一可展曲面 引理 2 2 10 2 可展曲面可以与平面成等距对应 简称展为平面 定义 2 2 10 2 平均曲率0 2 1 21 kk的曲面称为极小曲面 它也可定义为张在已 知边界上面积最小的曲面 一个曲面为极小曲面的充分必要条件是 渐近曲线构成正交 网 引理 2 2 11 2 对于空间光滑闭曲线 C 的曲面 S 来说 如果 C 所包围的曲面 面积最小 则曲面 S 的平均曲率恒等于零 换言之 极小曲面的平均曲率为零 2 3 曲面上的渐进曲线 共轭曲线和曲率线 定义 2 3 1 2 渐进曲线 对于曲面 S 如果 P 点式曲面的双曲点 则它的杜邦指标线有一对渐进线 我们把沿 渐近线的方向dvdud 称为曲面在 P 点的渐进方向 由解析几何中的二次曲线的理论 可知 这两个渐进方向满足方程 02 2 00 2 0 dvNdudvMduL 为了避免混淆 我们在上式中用 000 NML分别表示 L M N 在 P 点的值由发去率的 公式 I II k 0 也可以得到渐进方向的等价定义 曲面上的一点 P 处使0 n k的方向称为曲 面在 P 点的渐进方向 曲面上的曲线 如果它上面每一点的切方向都是渐近线方向 则称为渐进曲线 渐进曲 线的微分方程是 02 22 NdvMdudvLdu 引理 2 3 1 2 如果去曲面上有直线 则它一定是曲面的渐近线 引理 2 3 2 2 曲面在渐进曲线上一点出的切平面一定是渐进曲线的密切平面 引理 2 3 3 2 曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 某曲面几何性质研究 第 10页 共 22 页 0 NL 定义 2 3 2 2 设曲面上 P 点处的两个方向为dvdud 和 vu 如果包含这 两个方向的直线是 P 点的杜邦指标线的共轭直径 则方向 d和 称为曲面的共轭方 向 我们已得到杜邦指标线的方程是 12 2 00 2 0 yNxyMxL 设共轭方向 d和 上的两直线方程分别为kxy 和xky 则由解析几何学可知k和 k应满足共轭条件 0 0 00 kkNkkML 但 u v x y k du dv x y k 因此方向 d和 共轭的充分条件必要条件是 0 000 vdvNudvvduMvduL 由于 vrurdvndunrnd vuvu 0 000 vdvNudvvduMuduL 因而方程 d和 共轭条件也可表示为 0 rnd 或 0 rdn 当 d时上式变成渐近方向的方程 因此渐近方向是自共轭方向 给出曲面上的两族曲线 如果过曲线上每一点 此两族曲线的两条曲线的切方向都是共 轭方向 则这两族曲线称为曲面上的共轭网 设共轭网的每一族曲线的方向分别为 d和 则这两个方向应满足 某曲面几何性质研究 第 11页 共 22 页 0 vNdvudvvduMuLdu 给出一族曲线的微分方程 0 BdvAdu 我们能够找到与它共轭的曲线的微分方程 这只需从上式消去 d 得到 0 vANBMuAMBL 特别地 取0 BdvAdu为坐标曲线0 dv 则它的共轭曲线族是 0 vMuL 要使这族曲线是 v曲线 0 u d 的充要条件是0 M 因而得到 引理 2 3 4 2 曲面的曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是 0 M 定义 2 3 3 2 曲面上的曲率线 曲面 vurr 上一曲线 如果它每一点的切方向都是主方向 则称为曲率线 它 的方程是 0 22 NML GFE dududvdv 这个方程确定了曲面上的两族曲率线 组成曲面上的曲率线网 引理 2 3 5 2 曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是0 MF 某曲面几何性质研究 第 12页 共 22 页 第三章相关推导过程及结果 3 1 第一基本形式以及第二基本形式的推导过程 定理 3 1 1 曲面的第一基本形式为 2222 22 tan1 tantan2 tan1 2 dyyyxdxx GdyFdxdyEdxI 证明 给出曲面 S vurr 上的曲线 C tvvtuu 或 tvturr 对于曲面 C 有 dt dv r dt du r dt dr vu 或者 dvrdurdr vu 若以 s 表示曲面上曲线的弧长 则 2222 222 2 dvrdudvrrdur dvrdurdrds vvuu vu 令 vvvuuu rrGrrFrrE 则有 2 2 22 GdvFdudvEduds 上式是关于微分 du dv 的一个二次形式 称为曲面 S 的第一基本形式 用 I 表示 某曲面几何性质研究 第 13页 共 22 页 2 2 2 GdvFdudvEduI 它的系数 vvvuuu rrGrrFrrE 称为曲面 S 的第一类基本量 则我们根据题目提供的信息可以得到 tan 1 0 tan 0 1 cos cos ln yr xr x y yxr y x 所以有 yrrG yxrrF xrrE yy yx xx 2 2 tan1 tantan tan1 则第一基本形式为 2222 22 tan1 tantan2 tan1 2 dyyyxdxx GdyFdxdyEdxI 这就是我们所要求的的该曲面的第一基本形式 故得证 定理 3 1 2 曲面的第二基本形式为 2 22 2 2 22 2 22 tantan1 sec tantan1 sec 2 dy yx y dx yx x NdyMdxdyLdx 证明 设 2 C类曲面 S 的方程为 vur 即 vur 有连续的二阶导函数 vvuvuu rrr 现在固定曲面 S 上的一点 vuP 并设 为曲面在 P 点的切平面 曲线 C svvsuu 或 svsurr 某曲面几何性质研究 第 14页 共 22 页 是 S 上过 P 点的一曲线 其中 s 是自然参数 设 P是曲线 C 上在 P 点邻近的一点 P 和 P的自然参数的值分别为 s 与ss 即 P 点的向径为 sr P点的向径为ss 利用 泰勒公式得 2 2 1 srsrsrssrPP 其中0lim 0 s 设 n 为曲面在 P 点的单位法向量 由 P做切平面 的垂线 垂足为 Q 则nQP 其中 为从平面 到曲面 S 的有向距离 由于 0 0 rnnQP 所以有 2 2 1 snrn nsrssr nPP nPPQP nQP 因此当0 rn时 无穷小量 的主要部分是 22 2 1 2 1 dsrnsrn 由于 vrurr vu vrurvrvururr vuvvuvvv 22 2 又因为 0 vu rnrn 所以 222 2dvrndudvrndurndsrn vvuvuu 引进符号 某曲面几何性质研究 第 15页 共 22 页 nrNnrMnrL vvuvuu 于是前式为 2 222 NdvMdudvLdurdn 它称为曲面的第二基本形式 它的系数 L M N 称为曲面的第二类基本量 上式表明第二基本形式近视的等于曲面与切平面的有向距离的两倍 因而它刻画了 曲面离开切平面的弯曲程度 即刻画了曲面在空间中的弯曲性 根据上述讨论 我们可以看出第二基本形式不一定是正定的 当曲面在给定点 n 的正侧弯曲时为正 想 n 的反侧弯曲时为负 现在把曲面的单位法向量 2 FEG rr rr rr n vu vu vu 代入上式中就有 2 FEG rrr nrL vuuu uu 2 FEG rrr nrM vuuv uv 2 FEG rrr nrN vuvv vv 由此得到 drdnrdn 2 第二类基本量可以用另外的形式来表示 由于 vu rr 在切平面上 所以 0 0 nrnr vu 将上两式微分后得到 0 0 0 0 vvvvvuuv uvvuuuuu nrnrnrnr nrnrnrnr 与上式比较 我们得到 uuuu nrnrL 某曲面几何性质研究 第 16页 共 22 页 uvvuuv nrnrnrM vvvv nrnrN 由定理 3 1 1 的推导过程我们可以到的以下数据 tan 1 0 tan 0 1 cos cos ln yr xr x y yxr y x 则有 yrrG yxrrF xrrE yy yx xx 2 2 tan1 tantan tan1 1 tan tan tantan1 1 tan10 tan01 tantan1 1 22 321 222 yx yx y x eee yxFEG rr n yx 又由于 sec 0 0 0 0 0 sec 0 0 2 2 yr r xr yy xy xx 因而得到 yx y nrN nrM yx x nrL yy xy xx 22 2 22 2 tantan1 sec 0 tantan1 sec 所以有 2 22 2 2 22 2 22 tantan1 sec tantan1 sec 2 dy yx y dx yx x NdyMdxdyLdx 这就是我们所要求得的该曲面的第二基本形式 某曲面几何性质研究 第 17页 共 22 页 故得证 3 2 曲面的高斯曲率 平均曲率 可展性和极小性 定理 3 2 1 曲面的高斯曲率为 222 22 2 2 21 tantan1 secsec yx yx FEG MLN kkK 曲面的平均曲率为 2 3 22 22 2 21 tantan1 secsec 2 2 2 1 yx yx FEG NEMFLG kkH 证明 我们有定义 2 2 4 可以知道他们的乘积 21k k成为曲面在这一点的高斯曲率 通常以 K 表示 它们得平均数 2 1 21 kk 成为曲面在这一点的平均曲率 通常以 H 表示 yrrG yxrrF xrrE yy yx xx 2 2 tan1 tantan tan1 yx y nrN nrM yx x nrL yy xy xx 22 2 22 2 tantan1 sec 0 tantan1 sec 所以有 222 22 2 2 21 tantan1 secsec yx yx FEG MLN kkK 2 3 22 22 2 21 tantan1 secsec 2 2 2 1 yx yx FEG NEMFLG kkH 我们由此得出了该曲面的高斯曲率和平均曲率 故得证 定理 3 2 2 该曲面不是不是可展曲面 同时也不是极小曲面 引理2 2 14以及前面的定理我们知道判断一个曲面是否是可展曲面可以根据该曲面的高 斯曲率是否为零 由定理 3 2 1 我们可知该曲面的高斯曲率 某曲面几何性质研究 第 18页 共 22 页 0 tantan1 secsec 222 22 2 2 21 yx yx FEG MLN kkK 所以该曲面不是可展曲面 3 2 3 同理由引理 2 2 17 我们知道曲面是否是极小曲面的条件就是该曲面的平均曲 率是否为零 我们同样有定理 3 2 1 可知 0 tantan1 secsec 2 2 2 1 2 3 22 22 2 21 yx yx FEG NEMFLG kkH 所以同样该曲面也不是极小曲面 故得证 3 3 曲面的渐进曲线 共轭曲线和曲率线 定理 3 3 1 曲面的渐近曲线的微分方程是 0 tantan1 sec tantan1 sec 2 22 2 2 22 2 dy yx y dx yx x 证明 我们由定义 2 3 1 可知渐近曲线的方程为 02 22 NdvMdudvLdu 代入定理 3 1 2 里面的计算结果我们可以得到曲面的第二类基本量为 yx y nrN nrM yx x nrL yy xy xx 22 2 22 2 tantan1 sec 0 tantan1 sec 所以我们得到该曲面的渐近曲线的微分方程为 0 tantan1 sec tantan1 sec 2 22 2 2 22 2 dy yx y dx yx x 故得证 定理 3 3 2 曲纹坐标网的方程式0 dudv 即0 du或0 dv 证明 由引理 2 3 6 我们知道曲面的曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是0 M 即 该曲面的共轭曲线就是该曲面的曲纹坐标网 曲纹坐标网的方程式0 dudv 即 某曲面几何性质研究 第 19页 共 22 页 0 du或0 dv 故得证 定理 3 3 3 曲面的曲率线方程为 0coscos 2222 xdyydx 证明 由定义 2 3 7 可知曲率线的方程为 0 22 NML GFE dxdxdydy 即 0 tantan1 sec 0 tantan1 sec tan1tantantan1 22 2 22 2 22 22 yx x yx x yyxx dxdxdydy 化简我们可得到 0coscos 2222 xdyydx 这就是我们所要求得的该曲面的曲率线方程 故得证 某曲面几何性质研究 第 20页 共 22 页 总结 本文主要是对某一个固定的曲面做相关的性质研究 就是研究该曲面一些基本的几何性 质 比如说该曲面的第一基本形式和第二基本形式 还有它的高斯曲率 平均曲率 用 相关知识判断它是否是可展曲面以及是否是极小曲面 最后再求出它的渐近曲线 共轭 曲线以及它的曲率线 在做曲面相关几何性质研究的同时我们对微分几何这一新兴的数 学学科有有了相对的了解 相信在以后碰到曲面几何性质研究的同时 能比较轻松的解 决相关问题 同时通过对此论文的编写培养了我们科学的思维方式 综合运用所学理论 知识和技能分析和解决实际问题的能力 是学生毕业前全面素质教育的重要实践训练 某曲面几何性质研究 第 21页 共 22 页 参考文献 1 苏步青等 微分几何 M 第一版 北京 高等教育出版社 1985 1 168 2 梅向明等 微分几何 M 第三版 北京 高等教育出版社 2002 1 157 3 陈省身等 微分几何讲义 M 第二版 北京 北京大学出版社 2001 363 369 4 吴大任 微分几何讲义 M 第一版 北京 高等教育出版社 1982 1 189 5 方德植 微分几何基础 M 第一版 北京 科学出版社 1984 46 52 6 丘成桐等 微分几何讲义 M 第二版 北京 高等教育出版社 2004 16 478 7 梁灿彬等 微分几何入门与广义相对论 第一版 北京 科学出版社 2006 1 157 8 梁科等 微分几何 第一版 北京 科学出版社 2008 1 374 9 奥普里 微分几何及其应用 第二版 北京 机械工业出版社 2006 1 352 10 WaiterRudinPrinciplesofMathematicalAnalysis M Third Edition America McGraw Hill 2004 1 342 11 S K JainA Gunawardena LinearAlgebra AnInteractiveApproach M First Edition Thoms On Brooks Cole 1999 1 263 12 BarreetO Neill ElementaryDifferentialGeometry M SecondEdition America Turing 2009 43 98 翻译文件 某曲面几何性质研究 第 22页 共 22 页 致谢 终于可以写我的毕业论文感谢词了 论文的完成标志着我大学四年生活的结束 虽 然撰写论文的期间遭遇了很多问题 起起伏伏 患得患失不过最后还是顺利完成了 算 是苦尽甘来吧 毕业论文是在我的导师万勇教授的亲切关怀和悉心指导下完成的 他严肃的科学态 度 严谨的治学精神 精益求精的工作作风 深深的感染和鼓励着我 无论是在理论学 习阶段 还是在论文的选题 资料查询 开题 研究和撰写的每一个环节 无不得到导 师细心的指导和帮助 在此向万勇教授致以最真诚的谢意和崇高的敬意 在此 我还要感谢在一起愉快的读过大学生活的各位同学 正是由于你们的帮助和 支持 我才能克服一个一个的困难和疑惑 直至本文的顺利完成 特别感谢崔春生和李 天文同学他们对本课题做了很多工作 给予我很大的帮助 在论文即将完成之际 我的心情无法平静 从开始进入课题到论文的顺利完成 有 多少可敬的师长 同学 朋友给了我无言的帮助 在这里请接受我诚挚的谢意 最后我 还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母 谢谢你们 毕业设计毕业设计 论文论文 开题报告开题报告 题目题目 某曲面的几何性质研究某曲面的几何性质研究 课课 题题 类类 别 别 设计设计 论文论文 学学 生生 姓姓 名 名 姚姚 道道 鹰鹰 学学号 号 200664090220200664090220 班班级 级 数学数学 06 0206 02 班班 专业 全称专业 全称 数学与应用数学数学与应用数学 指指 导导 教教 师 师 万万勇勇 20102010 年年 0404 月月 一 本课题设计 研究 的目的 学会求解曲面的第一基本形式和第二基本形式 了解第一基本形式和第二基本形式的 相关公式 学会运用相关公式的公式求解简单曲面的第一和第二基本公式 相应的了 解该曲面的高斯曲率 平均曲率 可展性和极小性的解法 并讨论该曲面上的渐近曲 线 共轭曲线和曲率线 并作相应的了解 二 设计 研究 现状和发展趋势 文献综述 十九世纪初 法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的 研究中去 并于 1807 年出版了他的 分析在几何学上的应用 一书 这是微分几何最早的一本著作 在这些研究中 可以看到力学 物理 学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素 1827 年 高斯发表了 关于曲面的一般研究 的著作 这在微分 几何的历史上有重大的意义 它的理论奠定了现代形式曲面论的基 础 微分几何发展经历了 150 年之后 高斯抓住了微分几何中最重要 的概念和带根本性的内容 建立了曲面的内在几何学 其主要思想是 强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质 例如曲面上曲面的 长度 两条曲线的夹角 曲面上的一区域的