数学建模考试试题及答案.pdf

数学建模及应用数学建模及应用试题试题汇总汇总 1 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功能的计算器 你也会出于好奇心想用扔下一 块石头听回声的方法来估计山崖的高度 假定你能准确地测定时间 你又怎样来推算山 崖的高度呢 请你分析一下这一问题 2 建立理想单摆运动满足的微分方程 并得出理想单摆运动的周期公式 3 一根长度为 l 的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上 一端的温度恒为 T1 另一端温 度恒为 T2 T1 T2 为常数 T1 T2 金属杆横截面积为 A 截面的边界长度为 B 它 完全暴露在空气中 空气温度为 T3 T3 T2 T3 为常数 导热系数为 试求金属杆 上的温度分布 T x 设金属杆的导热率为 4 甲乙两队进行一场抢答竞赛 竞赛规则规定 开始时每队各记 2 分 抢答题开始后 如 甲取胜则甲 加 1 分而乙减 1 分 反之则乙加 1 分甲减 1 分 每题必需决出胜负 规 则还规定 当其中一方的得分达 到 4 分时 竞赛结束 现希望知道 1 甲队获胜的概率有多大 2 竞赛从开始到结束 平均转移的次数为多少 3 甲获得 1 2 3 分的平均次数是多少 5 由于指派问题的特殊性 又存在着由匈牙利数学家提出的更为简便的解法 匈牙利算 法 当系数矩阵为下式 求解指派问题 16151922 17211918 24221817 17192216 C 6 在遥远的地方有一位酋长 他想把三个女儿嫁出去 假定三个女儿为 A B C 三位求 婚者为 X Y Z 每位求婚者对 A B C 愿出的财礼数视其对她们的喜欢程度而定 741 281027 2653 z y x CBA 问酋长应如何嫁女 才能获得最多的财礼 从总体上讲 他的女婿最喜欢他的女儿 7 某工程按正常速度施工时 若无坏天气影响可确保在 30 天内按期完工 但根据天气预 报 15 天后天气肯定变坏 有 40 的可能会出现阴雨天气而不影响工期 在 50 的可能 会遇到小风暴而使工期推迟 15 天 另有 10 的可能会遇到大风暴而使工期推迟 20 天 对于可能出现的情况 考虑两种方案 提前紧急加班 在 15 天内完成工程 实施此方案需增加开支 18000 元 先按正常速度施工 15 天后根据实际出现的天气状况再作决策 如遇到阴雨天气 则维持正常速度 不必支付额外费用 如遇到小风暴 有两个备选方案 i 维持正常速度施工 支付工程延期损失费 20000 元 ii 采取应急措施 实施此应急措施有三种可能结果 有 50 可能减少误工期 1 天 支付应急费用和延期损失费共 24000 元 有 30 可能减少误工期 2 天 支付应急费用和 延期损失费共 18000 元 有 20 可能减少误工期 3 天 支付应急费用和延期损失费共 12000 元 如遇大风暴 也有两个方案可供选择 i 维持正常速度施工 支付工程延期损失费 50000 元 ii 采取应急措施 实施此应急措施也有三种可能结果 有 70 可能减少误工期 2 天 支付应急费及误工费共 54000 元 有 20 可能减少误工期 3 天 支付应急费及误工 费共 46000 元 有 10 可能减少误工期 4 天 支付应急费和误工费共 38000 元 根据上述情况 试作出最佳决策使支付的额外费用最少 8 设剧院有 1280 个座位 分为 32 排 每排 40 座 现欲从中找出某人 求以下信息的信 息量 i 某人在第十排 ii 某人在第 15 座 iii 某人在第十排第 15 座 数学建模及应用试题汇总答案数学建模及应用试题汇总答案 1 解 假定空气阻力不计 可以直接利用自由落体运动的公式 设 t 4 秒 求得 h 78 5 米 除了地球引力之外 对石块下落影响最大的就是空气阻力 为了使结果进一步的精 确 考虑空气阻力的作用 建立第二个模型 根据流体力学知识 设空气阻力正比于石 块下落的速度 阻力系数 K 为常数 因而 由牛顿第二定律可得 dv FmmgKv dt 并令 k K m 得 kt g vce k 若石块的初始速度为 v 0 0 得 c g k 故石块的下落速度为 kt gg ve kk 再积分一次 得到山崖的高度 2 kt gg htec kk 代入初始条 件 h 0 0 得到计算山崖高度的公式 222 1 ktkt ggggg htete kkkkkk 若设 k 0 05 并仍设 t 4 秒 则可求得 h 73 6 米 进一步深入考虑 听到回声再按跑表 计算得到的时间中包含了反应时间 设平均反应 时间为 0 1 秒 假如仍设 t 4 秒 扣除反应时间后应为 3 9 秒 代入式 求得 h 69 9 米 2 解 0 0 0 0 0 g l 解得 t 0cos t 其中 g l 当 4 T t 时 t 0 有 42 g T l 得2 g T l 3 解 dt时间内通过距离 O 点 x 处截面的热量为 AT x dt dt时间内通过距离 O 点 x dx 处截面的热量为 AT xdx dt 由泰勒公式 AT xdx dtAT xTx dx dt 金属杆的微元 x x dx 在 dt 内由获得热量为 ATx dxdt 同时 微元向空气散发出的热量为 3 Bdx T xT dt 系统处于热平衡状态 故有 3 ATx dxdtBdx T xT dt 所以金属杆各处温度 T x 满足的微分方程 3 B TxTT A 4 解 设甲胜一题的概率 为 p 0 p 1 p 与两队的实力有关 甲队得分有 5 种可能 即 0 1 2 3 4 我们分别记为状态 S0 S1 S2 S3 S4 其 中 S0 和 S4 是吸收状态 a1 a2 和 a3 是非吸收状态 过程以 S2 作为初始状态 根据 甲队赢得 1 分的概率为 p 建立转移矩阵 5 解 将第一行元素减去此行中的最小元素 15 同样 第二行元素减去 17 第三行元素 减去 17 最后一行的元素减去 16 得 1 1047 0421 7510 1360 B 再将第 3 列元素各减去 1 得 2 1037 0411 7500 1350 B 以 B2 为系数矩阵的指派问题有最优指派 1234 2134 6 解 指派问题可以看成是两分图赋权匹配问题的实例 用三个点表示酋长的三个女儿 将它们放在一边 再用三个点表示求婚者 将它们放在 另一边 在有可能结婚的两人之间画一条边 并在边上写上求婚者对这种结婚愿付出的 财礼数 得到图 上图是一个特殊的图 它的顶点可以分成两个子集 只有分属不同子 集的点才可能有边相连 但也可以无边 这样的图称为两分图 容易看出 酋长要解的问题是在两分图中找出一个具有最大权 和的匹配 由于两分图最大权匹配问题等价于指派问题 所以它是一个 P 问题 使用贪婪法求解 则有 C 嫁 y 28 头 去除 C y 及相 应边 一夫一妻 再将 B 嫁 x 5 头 去除 B x 及相应边 最后 A 只能嫁 Z 1 头 共得财礼 34 头牛 事实上 酋长的 女儿只有六种嫁法 3 比较所有方案 发现 C 嫁 x A 嫁 y B 嫁 z 最好 y 几乎差不多同样喜欢 C 和 A 而 z 则明显喜欢 C 而不太喜欢 A 可得财礼 57 头牛 7 解 由于未来的天气状态未知 但各种天气状况出现的概率已知 本例是一个风险型决 策问题 所谓的额外费用应理解为期望值 根据题意 作决策树如图 在决策树上由右向左计算各机会节点处的期望值 并将结果标在节点旁 遇到决策点则 比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣 并且用双线划去淘汰掉的方案分枝 在决策点旁标上最佳方案的效益期望值 计算步骤如下 1 在机会节点 E F 处计算它们的效益期望值 E E 0 5 24000 0 3 18000 0 2 12000 19800 E F 0 7 54000 0 2 46000 0 1 38000 50800 2 在第一级决策点 C D 处进行比较 在 C 点处划去正常速度分枝 在 D 处划去应 急分枝 3 计算第二级机会节点 B 处的效益期望值 E B 0 4 0 0 5 19800 0 1 50000 14900 并将 14900 标在 B 点旁 在第二级决策点 A 处进行方案比较 划去提前紧急加班 将 14900 标在 A 点旁 结论 最佳决策为前 15 天按正常速度施工 15 天后按实际出现的天气状况再作决定 如出现阴雨天气 仍维持正常速度施工 如出现小风暴 则采取应急措施 如出现大风 暴 也按正常速度施工 整个方案总损失的