（应用数学专业论文）一类年龄相关随机种群系统数值解的收敛性.pdf

宁夏人学坝j j 学位论文中文摘要 摘要 自从随机微分方程的基本理论诞生以来，对于各种复杂的有限维随机模型的研究伴着随机n 6 公式、随机过程、半鞅理论的成熟而日渐深入随机微分方程在经济、生物、生态以及其他学科 中得到了广泛的应用近年来，人们又应用随机微分方程理论讨论了年龄相关随机种群系统方程 解的存在性、惟一性和最优控制由于随机模型的复杂性，很难求得其方程的解析解，因此数值方 法显得尤为重要本文构造了一种数值方法，讨论了年龄相关随机种群系统方程数值解的收敛性， 并给出了数值算例 本论文的主要内容有以下几个方面： 1 第一章介绍了随机微分方程以及年龄相关的种群系统方程的研究现状 2 在系数，9 满足l i p s c h i t z 条件下，根据h s l d e r 不等式和g r o n w a l l 引理，讨论了在 o , x 】年龄 段内，年龄相关的种群系统方程总的种群数量数值解的收敛性，得剑了在 o , x 】年龄段内，总的种群 数量的数值解在均方意义下收敛剑其解析解通过数值算例，对所得结论进行了验证 3 把p o i s s o n 跳项嵌入到年龄相关的随机种群系统方程中去，根据p o i s s o n 过程的性质，利用 h s l d e r 不等式和g r o n w a l l 引理，在系数f ，g 满足l i p s c h i t z 条件下，证明了在 0 , x 】年龄段内，总的 种群数量数值解的收敛性，得到了在【0 ，z 】年龄段内，总的种群数量的数值解在均方意义下收敛剑 其解析解通过数值算例，对所得结论进行了验证 关键词：年龄相关随机种群系统；h s l d e r 不等式；数值解；p o i s s o n 跳；收敛性； 宁夏人学硕l j 学位论文英文摘要 a b s t r a c t s i n c et h eb a s i ct h e o r yo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s d e s ) h a sb e e np r o p o s e d ，a l lk i n d so f c o m p l i c a t e df i n i t ed i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cm o d e l s a r ec o n s t r u c t e db ys t o c h a s t i ci t 8f o r m u l a ，s t o c h a s t i cp r o - c e s sa n ds e m i m a r t i n g l e st h e o r yo f m a t u r i t y s d e sh a v e b e e nw i d e l ya p p l i e di ne c o n o m y , b i o l o g y , e c o l o g y a n do t h e rf i e l d s r e c e n t l y , t h et h e o r yo fs d e sh a s b e e na p p l i e dt os t u d yt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n do p t i - m a lc o n t r o lf o rt h es o l u t i o no f t h es t o c h a s t i ca g e - d e p e n d e n tp o p u l a t i o ne q u a t i o n d u et ot h ec o m p l e x i t yo f t h es t o c h a s t i cm o d e l s ，t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o nc a nr a r e l yb eo b t a i n e df o rs d e s ，w h i c hn u m e r i c a lw a y sw e r e u s e f u l i nt h i sp a p e r , t h en u m e r i c a lm e t h o di sc o n s t r u c t e da n dt h ec o n v e r g e n c eo fn u m e r i c a ls o l u t i o n sa r e d i s c u s s e df o rt h es t o c h a s t i ca g e - d e p e n d e n tp o p u l a t i o ne q u a t i o n t h em a i nc o n t e n t so f t h i sp a p e ra r eo u t l i n e da sf o l l o w s b r i e f h i s t o r yo f s t o c h a s t i ca g e - d e p e n d e n tp o p - u l a t i o ne q u a t i o n ，t h en u m e r i c a ls c h e m e sa n dc o n v e r g e n c eo fs d e sa l ei n t r o d u c e di nt h ef i r s tc h a p t e r t h e p r e p a r e dk o n w l e d g ei sd e s c r i b e di nt h es e c o n dc h a p t e r i nt h et h i r dc h a p t e r , u n d e rt h ec o e f f i c i e n t so ffa n d gs a t i s f y i n gc o n s i s t e n tl i p s c h i t zc o n d i t i o n s ，f o r w a r dd i f f e r e n c em e t h o da n dg r o n w a l ll e m m aa r ea p p l i e d t od i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo fn u m e r i c a ls o l u t i o n st ot h es t o c h a s t i ca g e - d e p e n d e n tp o p u l a t i o ne q u a t i o n i t i sd e m o n s t r a t e dt h a tn u m e r i c a ls o l u t i o n sc o n v e r g et ot h ea n a l y t i c a ls o l u t i o ni nm e a ns q u a r e ，a n dt h ea n o m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e ni nt h el a s tp a r to ft h i sc h a p t e r i nt h ef o u r t hc h a p t e r , f i r s t l y , ap o i s s o nt e r mi si n - c o r p o r a t e di n t ot h es t o c h a s t i ca g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o ne q u a t i o n t h e nb yv i r t u eo fp o i s s o np r o p e r t y , i t 6 f o r m u l a ，e x t e n d e dg r o n w a l l t y p el e m m aa n dh f l d e ri n e q u a l i t y , i ti sp r o v e dt h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n s c o n v e r g e n c et ot h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no ft h es t o c h a s t i ca g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o ne q u a t i o nw i t hp o i s s o n j u m p si nt h em e a ns q u a r ew h i c hi sb a s e do nt h ec o n s i s t e n tl i p s c h i t zc o n d i t i o n s k e yw o r d s ： s t o c h a s t i c a g e d e p e n d e n tp o p u l a t i o ne q u a t i o n ；h f i l d e ri n e q u a l i t y ；n u m e r i c a ls o l u t i o n ；p o i s s o nj u m p s ；c o n v e r g e n c e h 一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：时间：沙p 年6 月日 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名：。黼 时间：2 硼7 年6 月z 日 时间：力少年月2 日 宁夏人学硕l j 学位论文第一章，j l 言 1 1 随机微分方程概述 第一章引言 随机微分方程的研究是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速发展起来的1 8 2 7 年，英国生物学家布朗( b r o w n ) 首先注意到浸入液体中的胶体微粒或质点的永不停歇的不规则运 动，这就是著名的布朗( b r o w n ) 运动b r o w n 运动的起冈是粒子受到周围液体分子不平衡的碰撞， 由于分子极微小，冈此粒子每秒钟所受到的碰撞次数很多，达到1 0 2 1 次，碰撞又极为不规则，故而 微粒的精确路径不能详细得到，但能进行统计描述，可以认为粒子因受到很多微小的随机力的作用 而作随机运动 1 9 0 5 年e i n s t e i n 首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显著的发 展这方面的物理工作在s m o l u c h o w s k i ，f o k k e r , p l a n e k ，b u r g e r , f u r t ho r n s t e i n ，u b l e n b e c k 等人的努 力下迅速发展起来了，但数学方面却由丁精确描述太困难而进展缓慢例如1 9 0 8 年，l a n g e v i n 【l 】 在研究b r o w n 运动时就得到形如 巾 m 蚩= 一触+ y ( t ) ( 1 1 ) 的微分方程，其中z 表示液体微粒在某一方向的运动速度，一p z 表示介质对微粒的影响，即为摩 擦力作用项，y ( t ) 表示介质中分子运动对微粒的碰撞构成的随机作用力这种形式的方程称为 l a n g e v i n 方程在具体的物理问题的研究中，虽然经常遇到l a n g e v i n 方程，然而对它缺乏确切而又 严格的数学描述 直剑1 9 1 8 年才由美国数学家维纳( w e i n e r ) 对这一现象在理论上作山了精确的数学描述并进 一步研究了布朗运动轨道的性质，提出了在布朗运动空间上定义测度与积分这些i ：作使对布朗 运动及其泛函的研究得剑迅速而深入的发展，并逐渐渗透剑概率论及数学分析的各个领域中，使之 成为现代概率论的重要部分 1 9 4 2 年k i t 6 引入随机微分方程，它的一般形式为 ! d x ( ) = 舭( 州d t + 9 ( x ( 州d 形( 。) ，。( o t 1 ( 1 2 ) ix ( o ) = ) c o ， 其中f ：r + xr ”_ r ”为漂移系数，9 ：r + xr ”一r 似”为扩散系数w ( t ) 是有独立增量的m 维标准w i e n e r 过程，弱是一随机变量( 1 1 ) 仅是一种形式写法，麻将其理解为等价的随机积分方 程 r f x ( t ) = + ，( x ( t ) ，s ) d s + 9 ( x ( s ) ，s ) d w ( s ) ( 1 3 ) _ ，0 与常微分方程的本质区别在丁随机积分菇g ( x ( s ) ，s ) d w ( s ) ，它不能理解为普通的l e b e s g u e s t i e l t j e s 积分，原冈在丁对几乎所有的u ，维纳过程的轨迹w ( t ，u ) ( 【o ，卵) 是不可微的且在t 的 任意小区间内没有有界变差历史上对随机积分的定义有多种，但在理论和应用上广为接受的只 宁夏人学顾f ：学位论文第一章弓l 言 有i t b 积分和s t r a t o n o v i c h 积分，分别记为名9 ( x ( s ) ，5 ) d w ( s ) 和名夕( x ( s ) ，s ) dd 彤( s ) ，二者的关 系是 知碱s ) o 州s ) = tg ( 獬s m ( s ) + 搿塞拙 ( 1 4 ) 二十世纪四十年代n 6 和i g i h m a n 分别独立研究了随机微分方程的基本理论，在电子工程学 的控制问题、生物学的人口动力问题等实际需要的推动下，随机微分方程的基本理论得到不断完 善和发展i t 6 方程是目前随机微分方程研究的一个重要的方面，因为它的解过程是m a r k o v 过程， 因此它对随机过程理论和控制理论的应用都具有重大的意义通常一般文献中的随机微分方程是 指i 仍型方程 1 2 随机微分方程的数值解及其收敛性 近二十年来，随机微分方程数值计算不仅作为数学中随机分析、微分方程和值分析的交叉研 究方向得到高度重视和发展，而且取得了一定的成果 1 1 3 】，求解随机微分方程的数值解法最早的 是1 9 5 5 年m a r u y a m a 【2 】构建的e u l e r ( 3 z 称e u l e r - m a r u y a m a ) 强收敛格式，其主要是将区间【0 ，t 】分 成n 等份，分点为t k ，即0 = t o t l 0 是仅依赖于液体性质的常数由b r a w n 运动的数学模型产生以下定义： 定义1 1 若一个随机过程 ( t ) ，t o 满足： ( i ) w ( o ) = o ； ( i i ) w ( t ) 是独立增量过程，即对任意0 t o t t t 。，随机变量w ( t k ) 一w ( t k 1 ) ( 1 k n ) 相互独立； ( i i i ) 若0 8 t ，则w ( t ) 一w ( s ) 一n ( p ( t s ) ，o r 2 ( t s ) ) ； 则称 ( t ) ，t 0 ) 为b r a w n 运动，也称为w i e n e r 过程常数p 称为偏移系数，o r 2 称为过程 的强度 若肛= 0 ，o r 2 = 1 ，则称 y ( ) ，t o ) 为标准b r o w n 运动今后我们只考虑标准b r o w n 运 动，并把它简称为b r a w n 运动 定义1 2 若一个随机过程( ( s ，) ) ( 。，t ) 。【o ，。，l i o ，。】，对vz ，z j e o ，8 】和y ，y k e 0 ，s 】，j = 0 ，m ，k = 0 ，竹以及0 = z o z l x m = s 7 和0 = y o y l y m = 8 满足： ( i ) w ( z ，0 ) = w ( o ，y ) = 0m 。； ( i i ) i v ( x j + 1 ，y k + 1 ) 一w ( z j + 1 ，y k ) 一w ( x j ，讥+ 1 ) + w ( z j ，y k ) 住互不相交的矩形区域 【x j ，巧+ l 】f y k ，y k + l 】是相互独立的； ( i i i ) w ( z j + 1 ，y k + 1 ) 一w ( x j + 1 ，y k ) 一w ( ，弧+ 1 ) + w ( x j ，y k ) 在互不相交的矩形区域 h ，+ 1 1 b 七，y k + 1 1 上服从均值为零，方差为( x j + l 一) x ( y k + l y k ) 的高斯分布； 则称( 叫( s ，t ) ) ( 。，t ) 。【o ，。，】【o ，。】是二维的b r o w n 运动 定义1 3 在b ，纠上定义的随机过程，( ) 称为阶梯函数，如果存在陋，绷的划分口= t o t 1 t 。= p ，使得 y ( t ) = ( t d ，如果t i t t i + l ，0 i n 1 定义1 4 设 加( ) ，t 0 ，是标准b r a w n 运动，( t ) 为在l l t o r ，纠中的阶梯函数，则称随机变 一5 一 宁夏人学顾i ：学位论文 第二章顶笛知识 量 e 办撇) = 黔州蛾卜喇j 为f ( t ) 关于b r o w n 运动w ( t ) 的随机积分，又称为i t 5 积分 定义1 5 设随机过程 z ( ) ，t o ，对所有0 t o l ，g 1 ，百1 + ；1 = 1 如果，( z ) e l p ( e ，肛) ，9 ( z ) e l p ( e ，p ) ，那么，( z ) ，9 ( z ) f 驴( e ，肛) ，并 i i g l l i l f l l p i l g l l 。 其中m l p = ( f ei i ( t ) l p 毗) 暑，i m i 。= ( 丘i g ( t ) 1 9 咖) j 这里当p = 2 时，上式就是c a u c h y 不等式： ( 五，( z ) 9 ( z ) 如) 2 ( 上，2 ( z ) d x ) ( e9 2 ( z ) 出) 引理1 8 ( 控制收敛定理( d o m i n a t e dc o n v e r g e n c et h e o r e m ) ) 6 一 宁夏大学硕i ：学位论文第二章预备知识 设f l , f 2 ，是测度空间( q ，p ) 上的可积函数列并且儿乎处处收敛到函数，如果存在 一个( q ，p ) 上非负可积函数c ( x ) 使得对所有的j = 1 ，2 ，都成立i f j ( x ) l g ( x ) ，那么 l ， ) l g ( z ) 并且 ， ! i m f j ( x ) d ( d x ) = ，( z ) p ( 如) j 一删，q，q 引理1 9 ( d o o b 不等式) 设p ( 1 ，。o ) ，m = ( m t ) t o 是鞅，且有 则 s u p l im t l i l ， 。o t 0 朋o 。= 胁n 朋t a e ， t o o 且 i i s 伽u p l m , i i i l p 南l i 忆，寺i i ：舅圳肌 这里怯j i l 一= ( e 蚓p ) 刍 引理1 1 0 设，：i o ，t 】_ r 为其上的可积函数，其中t = 陬，t 2 j ，那么有 二 t l ( 。望2 ( 如一引) ”( 二州厂( s ) 删d z = 石酽二，t 1 ( i 望2 ( t t 一训) 卅1 ，( z ) 出l ( 。黔叫。广l 八s m s ) d 一南i 驰吖o r + 1 ，( 司出 其中t = ( t l ，t 2 ) e 【0 ，刀，z = ( ：e l ，x 2 ) e 【0 ，t 】( 见参考文献【4 6 1 ) 一7 一 宁夏人学硕i ：学位论文第三三章一类年龄相关随机种i f f 系统方程数值解的收敛性 第三章一类年龄相关随机种群系统方程数值解的收敛性 3 1 引言 目前，随机种群系统引起了许多学者的关注我们讨论如下系统模型 f 鲁+ 爱：一弘( t ，口) p + ，( t ，p ) + 9 ( t ，p ) 躲， p ( o ，n ) = p o ( a ) ， 【v ( t ，o ) = 后附a ) p ( t ，a ) d a ， q ( 0 ，t ) ( 0 ，a ) o 【0 ，刎 ( 3 1 ) t 【0 ，t 1 在上述随机种群系统模型中，t f 0 ，卅表示时间，a 【0 ，a l 表示年龄，p ( t ，a ) 表示时刻t 年龄为口 的种群密度；p ( t ，o ) 表示时刻t 年龄为n 的种群生育率；p ( t ，o ) 是时刻t 年龄为a 的种群死亡率； 用带随机项的g ( t ，p ) 锉( 其中彬是b r o w n 运动) 函数表示外界对系统的扰动( 如人口迁移、 地震等突发性灾害所造成的死亡) p o ( o ) 0 表示时刻t = 0 时的种群密度 目前，有关年龄相关种群系统的研究很多，然而，把随机外界对系统的扰动考虑到模型中去的 研究成果却不多，例如，张启敏在文献【3 4 - 3 5 】中研究了年龄相关随机种群系统解的存在性、惟 一性和指数稳定性李荣华 3 6 】讨论了年龄相关随机时滞种群系统方程解的指数稳定性对于数 值解的讨论，张启敏分别在文献【3 7 】和【3 8 】中对不带扩散和带扩散的两类年龄相关随机种群系统 方程的数值分析进行了研究 本文讨论在 0 , x 】年龄段内，年龄相关随机种群系统总的种群数量数值解的收敛性，所涉及的 b r o w n 运动是关于t 和a 的二元函数，与文献【3 4 1 一【4 4 】中的b r o w n 运动仅是t 的一元函数不同， 冈此，本文所得的结论和采用的方法是文献【3 4 】- 【4 4 】的扩展 3 2 预备 令v = h 1 ( o ，a ) 三 妒i 妒l 2 ( 【o ，a i ，蒜l 2 ( 【o ，a 】) ，其中拦是广义意义下的偏导数) y 是s o b o l e v 空间h = l 2 ( 【0 ，州) 使得，yq h 三h 7qy 7 y 7 是y 的对偶空间我们分别用 0 | i ，i l 乖米表示空间y 、日、y 中的范数；川( ，) 表示y 和y 7 间的对偶积，以及川( ，) 表示h 中的内积从m 剑日的有界线性算子空间记为，be l ( m ，n ) ，我们用i i b i l 2 表示其 h i l b e r t s c h m i d t 范数，即i i s l l l = t r ( b w b t ) ( q ，厂，p ) 是带滤波的完备的概率空间 z ( 3 ，z ) r 车) 满足通常条件：即，而包含所有 零测度集，对v ( y ，z ) f ( 可，z ) r 王) 是由 w ( 8 ，t ) ：8 y ，t z ) 生成的o r 代数族，它是单 调增且右连续的c = c ( 【o ，t i ；日) 是所有从【0 ，t 】剑日的连续函数所形成的空间，其范数为 i i 妒f l c = s u pl 妒l ( s ) 以及l 移= l p ( 【o ，丁】；v ) 和ll 备= l p ( 0 ，t 】；日) o 0 ，f ( t ，。) ：瑶_ 日是一族非线性算子，l 关于t 是可测的9 ( 。，) ：备_ ( m ，日) 是一族1 e 线性算子，l 关于t 是可测的 定义令( t ，t ) 【o ，s ，】x1 0 ，s 1 s = o = ，x n = t ) 是一个关于p ：卅堂划 分，其中t _ 五十1 一五i = 0 ，n 一1 当n - + ，时l l s l l = r r t a 2 ： 一0 s 72 o 2 碥，y ：t ，) 是一个关于t o , t 7 1 划分，其中j 7 = 巧+ l 一巧j = 0 ，n 一1 - 当一+ o o 时，l i s l l7 = m a x s i _ 0 方程( 3 2 ) 的离散化迭代形式为 p ( + 1 ，以) t = p ( 协，甄) t b ( 协，而+ 1 ) 一p n ( 协，z f ) ) ； 一弘( y j , x i ) p n ( 珊，以) z x i ；- 4 - f ( y j ，p ( 始，) ) ；+ a ( f l j ，p 川( 协，瓤) ) 咄f ，n ) + 妻，( 珊，( 聊，z i ) ) ( 厶弛) 2 ， i , j = o 州1 一，n 一1 ( 3 3 ) 满足初值条件p n ( 0 ，口) ：p ( o ，口) ，犯1 其中p ( 3 ，z ) p ( y ，z ) 的逼近，两者在节点处相等，布朗 运动增量为j iu = w ( u j + 1 ，x i + 1 ) 一t l ，( 协+ l ，戤) 一w ( y a ，x i + i ) + w ( 协，z t ) 系统( 3 2 ) 在( 0 ，秒) ( 0 ，z ) 区域的积分形式为 肌( t 州p ( t 如d t + 0 2p ( 0 ，n ) 如一肌掣揪 r 尉如出+ f 胁厕， ( 3 4 ) 在进行证明之前我们给出多( t ，n ) 的定义 f ( 抽) = l ( 协，z i ) ， p n ( u n ，x 4 ， p ( 协，z ) ， p n ( 可，z ) ， ( y ，z ) i y j ，协+ 1 ) xi x i ，z i + 1 ) y = y n ，z p i ，x i + i ) 秒【y j ，协+ 1 ) ，z = z j v y5y n - z5x n 我们可如上定义皿( ，口) 其中，i = 0 ，1 ，一1 我们假定，对v j ，i = o ，1 ，n 一1 ，t = t = ，；=t | n = a | 我们给出方程( 3 4 ) 的逼近形式，如- 卜所示 当( 可，z ) y a , y j + t ) x i , x i + i ) ，i ，j = 0 ，1 ，一1 时，有 z z 多( 可，。) d a = z 掣z 2 ( 一豇( ，n ) ) 痧( t ，口) d n d 一z 珈f o 庐n a ( n t , a ) d a d t + 序( o n ) d n + rf 1 巾袱，n ) ) d 口知哳 + ，k + 1 - z t + 1，i j 引kl z t i j 盼 司+ 1 删，仉口1 ) d n d t 7( 3 5 d t ) d a d t ) 。m ，( t ，口) ) d n ( 3 ) 本文住以。i - $ t 牛下证明了随机年龄结构种群系统总的种群数量的数值解岳p ( 秒，n ) d 口收敛 9 i i + od 口 耖p r 厶 脚 宁夏人学硕l ：学位论文第三章一类年龄相关随机种群系统方程数值解的收敛件 到其解析解譬p ( v ，a ) d a ( i ) f ( t ，0 ) = 0 ，9 ( t ，0 ) = 0 ( i i ) ( l i p s c h i t z 条件) 存在常数k 0 ，使得，对v ( t ，a ) 【0 ，t 7 】x 【0 ，明都有 ，( t ，p ( t ，n ) ) 1 2 k 2 ( 1 + i p ( t ，n ) 1 2 )9 ( t ，p ( t ，n ) ) 1 2 k 2 ( 1 + i p ( t ，n ) 1 2 ) ( 3 6 ) ( 洌) 对v ( t ，a ) 【0 ，t 7 】x 【0 ，卅p ( t ，a ) ，a ( t ，a ) 是虿( q 的边界) 上的连续函数，并且 3 3 主要结果 0 p o p ( ，a ) 石 o o，0 p ( t ，a ) p 0 ，使得 ，z 2 s u pe i ( 可，a ) d a l c ， v ( 掣，x ) e o ，t 7 lx o ，t 】 i o 证明：不失一般性，我们假设( y ，z ) 【y j ，y j + i ) xf x i ，x i + 1 ) 那么，有 z z 兆。，如= f o y jf 掣砒 + j ( 助o “口( t ，n ) 痧( t ，n ) d n d t + f o y j o “坤，肌，。) ) d a d t + o 鲫f o x ! g ( t ，肌，n ) ) 。， + r 。r l j k j x t + 序灿 ，f 。8 ；。1 + 1 ，( f 7 ，痧( ，。) ) d 。7 d t 7 ) ( f n d 根据h s l d e r 不等式、偏导算子的有界性( 其上界为7 ) 和p ( o ，a ) k o ，得 ( 可，。) 。【。s ，u t p ，1 【。，卅e i t 厂o z 痧( 可，。) d 1 2 6 k o 2 ( t t 7 ) z z - e i 础如汗捌t 上6 0 ，使得 k - + 飓z vo * e 。) 1 2 d n d t k + 政0r 扯【躅【0 御e i f o 霉v ( 舭) d n l 2 以 由g r o n w a l l 不等式得，得到c ：k 1 e 露弘，使得 ，z 2 s u pe l 庐( y ，a ) d a i k l e k 3 t = c ， v ( 掣，z ) f 【o ，t 7 l 【o ， j o 以上定理说明在 0 , x 】年龄段内，系统总的种群数量的近似计算是有界的 - 卜面我们将讨论后p ( 可，a ) d a 在均方的意义卜是强有界的 定理2 在假设条件( i ) ( i i ) 和( 谢) - 卜，存_ 仨一个与n 无关的常数岛，使得 产z s u pe l p n ( ，a ) d a l 2 c o ， v ( y ，z ) e i o ，t 7 】f 0 ，t j j o 证明：令( y ，z ) 1 0 ，t 7 】【0 ，刁 z 哥p ( 耖，。) d n = z 耖z z ( 一豇( ，。) ) 庐( t ，口) d d 一z ”z z 掣蛐+ o o 邢托训捌t 口 ( 3 8 ) z ：1z j 1c z ：! 引+ 1 ，c t ，c 厶口”如7 ，d n 疵 + z 可z z 9 ( t ，西( t ，n ) ) d u c t ，。，+ z 。声( 。，n ) d 口 一l 1 一 脚 宁夏人学顾l 学位论文第三章一类年龄相关随机种群系统方程数值解的收敛住 + 甜1 = 0 jj r x t 。眦”l j 一1 + k = o ，( 7 ，声( 六n ) ) d 0 7 d t 7 ) d a d t ( ( 2 邢7 ，砒，n ) 舭诎 + e ( c 霉巾7 删脚 由于( y ，z ) b ，耽+ 1 ) xk ，x i + i ) 1 0 ，r 1 【0 ，t l ，所以 z ：1z i 件1c z ：却+ 1 ，c 六痧c t ，n ，d 。彬，d n 出 薹薹( l 岫f x x i i 1 ( ，x l + lm 7 n 舢幽即d n 出 + f = 0e ，( 肛件1 m 7 枷删) d 0 出 + 卧j - - ir y 川“州删冲砒 + e ( c 。m 7 训删如以 根据h 6 1 d e r 不等式和偏导算子的有界性( 其上界为k 0 7 ) ，得 s u p ( 掣，) e 【o ，t 7 1 【0 ，t 】 令 z 。2 ，2 ( t t 7 ) z v x epn a ) d n l 9 1 , ：o 帆问1 2 d a d t ( ， 詹( t t ，) 9n ) 1 2 ，0，0 + 9 _ 2 ( t t “妒脚北酬2 捌t + 9 k 2 ( t 丁7 ) z 可z 。( 1 + e 眵( ，n ) 1 2 ) 如d + 9 k 2 z ”小删龇删2 ) d a d t + 9 凇2 + 9 k 2 ( - 熹( r ，) 4 + 去( 丁r ) 3 o 掣e 悔( t ，。) 1 2 d a d t ) s 9 a ，2 ( t t ，) 2 + 9 k 2 t t + 百9 k 2 ( t t 7 ) 4 - 1 - 9 凰2 t 2 + g k 2 ( t t ) + 9 i 忍( t t ”9 k 2