（应用数学专业论文）一类二阶hamilton系统及半线性椭圆方程解的存在性与多重性.pdf

一类二阶h a m i l t o n 系统及半线性椭圆方程 解的存在性与多重性 学科专业t 应用数学 指导教师t 唐春雷教授 研究方向：非线性分析 研究生：万里平( $ 2 0 0 3 5 5 9 ) 摘要 考虑二阶h a m i l t o n 系统 ( 日s 1 ) 2 议约+ m 2 u 2 u ( ) = v f 。，“。”a ，b tei o , t “( o ) 一( t ) = 吐( o ) 一a ( t ) = 0 其中t 0 ，u = 2 ”t ，m 是一非负整数，f ：【o ，卵x r - r 满足条件： ( a ) f ( t ，z ) 对每个z 冗关于t 是可测的，对a e o ，t 7 关于。是连续可微的， 且存在c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，t ；r + ) 使得 i f ( t ，。) l + i v f ( t ，z ) isa ( 1 2 1 ) b ( t ) 对任意z 凡和a et 【o ，卸成立 考虑系统( h s , ) 当m = 0 时的情况，即系统 ( h s 2 ) j 娃( 力2 9 f ( 。，“( 。) ) 8 2 f 。，t j 【( o ) 一u ( t ) = i ( o ) 吐( t ) = 0 其中t o ，f ：【o ，t l x r n r 满足( a ) 条件 本文利用临界点理论中的极小作用原理及局部环绕定理，应用约化方法得到了以 上二阶非自治哈密尔顿系统解的存在性与多重性，主要结果如下 定理1 设f ： o t 】r 寸r 满足条件( a ) ，且满足下面的条件： ( o ) 一v f ( t ，| ) 是p ( t ) - 单调的；其中p l 1 ( o ，t ；r + ) ，即有： ( 一v f ( t ，z ) 一( 一v f ( t ，) ) ，z y ) p ( t ) ( 1 。一y 1 2 ) 基金项且国家自然科学基金资助项目( 1 0 4 7 1 1 1 3 ) ；教育部高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划 项目 对任意耳r “以及a _ et j o ，t ) 都成立； ( b ) 存在，9 l 1 ( o ，t ；r + ) ，其中f o t f ( t ) d t 0 和某一整数l m 使得 f ( t ，王) 一f ( t ，0 ) si 1m 2 u 2 i z l 2 一；f 2 2 i z l 2 对任意5 以及a e t 【o ，卅成立； 则系统( 日毋) 在珥，中至少存在一非零解 定理3 设f ： 0 ) t 】r _ + r 满足条件( a ) ，定理1 中的条件( 。) ，( 6 ) ，以及： ( c ) 存在常数6 0 和某一整数f m 使得 ；t d , 2 t , d 2 2 - ；( f + 1 ) 2 t m 2 21 即，z ) 一即，o ) ! ；m 2 坪一；凡2 2 对任意吲6 以及a et 【0 ，t l 成立5 则系统( h s t ) 在日 中至少存在两个非零解 定理4 设f ：( o ，t ix r ”_ 十r 满足条件) ，且存在函数7 l 1 ( o ，t ；r ) ，其中 0 爿7 ( t ) d t 1 ) 是有界区域，：孬xr _ r 是一个 c a r a t h d o d o r y 函数，即，( z ，t ) 对任意r 关于z 是可测的；对于e z n ，( z ，t ) 关于t 是连续的此外， ( z ) l 2 ( q ) 设k 佧= 1 ，2 ) 是特征值问题 f 一“= 入“，a e z n ， 【u = o ma q ； 的第k 个不同特征值，且e ( k ) ( 女= l ，2 ，) 是相应的特征值h 所对应的特征空间 定理6 设存在常数g 0 以及实函1 l i ( q ) ，对任意t r ，a h e z n ，使得，满 足条件 i ，( z ，t ) l c l t l 2 - 1 - i - 7 ( z ) ，( 1 ) 这里当n 3 时，2 + j2 n ( n 一2 ) i 当n = 1 或者n = 2 时，2 + 为 1 ，+ ) 中任何 个数； 此外对几乎处处的z n ，有 i m s u p 三! 笔堕s 。( z ) a l ， ( 2 ) c j - + 。 其中后一不等式的严格不等式在某个正测集e n 上成立，这里f ( z ，) = 譬，( z ，s ) d s 设h l 2 ( n ) 满足 ( z ) 妒( z ) d z = 0( 3 ) 其中，妒是特征值a 1 所对应的就范特征函数。对任意。q ，妒( z ) 0 则问题( b p ) 在硎( n ) 上至少有一个解存在 定理7 设 h = 0 存在一个常数岛 0 以及常数p ：当n 3 时2 h ，对任意s ，t r ，5 使得，满足条件 坐盟二些盟。；( 6 ) s t 以及对几乎处处的z n ，有 l i r a s u p i l ! 霉掣。( z ) 茎k + i i ( 7 ) 呐+ 。丁! o s “ 【r j 其中后一不等式的严格不等式在某个正测集ecq 上成立若h = 0 ，则问题( e p ) 在 翻( q ) 中至少有一个解 定理9 设，满足条件( 4 ) 若条件( 6 ) ( 7 ) 成立，且存在一个整数m k + 1 以及 j 0 使得 。2 兰2 f ( z ，) a m + l i t l 2 ( 8 ) 对任意s6 1 a e zeq 成立若h = 0 ，则问题( e p ) 在明( q ) 中至少有两个非零解 定理1 0 设，满足条件( 4 ) ；存在常数n 0 使得 a 。一1l t l 2 2 f ( x ，t ) 墨 。l t l 2 对任意t 6 ，a ez l l 成立且h = 0 ，则问题( e p ) 在础( n ) 中至少有两个非零解 关键词：变分法；哈密尔顿系统；周期解；局部环绕；d i r i c h l e t 边值；共振问题； 约化方法 4 e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s f o rs o m es e c o n d o r d e rh a m i l t o n i a n s y s t e m sa n ds e m i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s l m a j o r ： a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ： n o l i n e a ra n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o lc h u n l e it a n g a u t h o r ：l i p i n gw a n ( s 2 0 0 3 5 5 9 ) a b s t r a c t c o n s i d e rt h en o n a l l t o n 0 i n o u ss e c o n d - - o r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s ( 硒) 一) + m 2 舻“d = v f ( 屯“幻) a - e k 【0 ，t i u ( o ) 一u ( t ) = 6 ( 0 ) 一心( t ) = 0 w h e r et 0 ，“j = 2 n i t ，丌1i san o n n e g a t i v ei n t e g e ra n df ： 0 ，t x r ”- + rs a t i s f i e st h e f o l l o w i n ga s s u m p t i o n ： ( a ) f ( t ，z ) i sm e a s u r a b l ei ntf o re a c h2 7 r a n dc o n t i n u o u s l yd i l f e r e n t i a b 1 ei nzf o r a e t 【0 ，t 】，a n d t h e r ee x i s ta g ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，t ；r + ) s u c h t h a t f c t ，z ) 1 + i v f ( t ，z ) n ( ) b ( t ) f o ra l l 善r a n da e t 【0 ，t w h e nm = o ，c o n s i d e rf o l l o w i n gn o n - a u t o n o m o u ss e c o n d o r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s ( h s 2 ) 讧( ) = v f ( ，“( ) ) 8 怠咿】 l “( o ) 一n ( t ) = 心( o ) 一t i ( t ) = 0 w h e r et 0 ，f ：【0 ，明x r v _ rs a t i s f i e sc o n d i t i o n s ( ) i nt h i sp a p e r ，t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t so fs o l u t i o n sa r eo b t a i n e db yt h e r e d u c t i o nm e t h o df o rn o n a u t o n o m o u ss e c o n do r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，u s i n gt h el e a s t a c t i o np r i n c i p l e ，l o c a ll i n k i n gi nc r i t i c a lp o i n tt h e o r y t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g t h e o r e i s 1 s u p p o r t e db yn a t i o n a _ 1n a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n 0 1 0 4 7 1 1 1 3 ) a n db yt h et e a c h i n g a n dr e s e a r c ha w a r dp r o g r a mf o ro u t s t a n d i n gy o u n gt e a c h e r si nh i g h e re d u c a t i o ni n s t i t u t i o n so f m o e p r c 5 t h e o r e m1a s s u m et h a tf ： o ，t 】r v 矗s a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) 7i ft h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sh o l d ： ( n ) t h e r ee x i s t saf u n c t i o np l 1 ( o ，t ；r + ) s u c ht h a t v f ( t ，) i sp 0 ) 一m o 竹。帆e ， t h a t i s ， ( 一v f ( t ，。) 一( 一v f ( t ，g ) ) ，z v ) p ( t ) ( i 。一1 2 ) f o ra l l 工，y r a n da e t 【o ，t 】； ( b ) t h e r ee x i s t s ，g l i ( 0 ，t ；r + ) w i t hf f ( t ) d t 0a n da ni n t e g e r2 m s u c ht h a t 耶，z ) 一耶，o ) s ；m 2 邛i 1 , 2 w 2 h 2 f b ra l l 6a n da e t 【0 ，卅； t h e nt h es y s t e m ( h s z ) h a sa tl e a s tan o i i z e r os o l u t i o ni n 珥 t h e o r e m3a s s u m et h a tf ： o ，t 】r - rs a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) ，c o n d i t i o n s ( ) ，( i i ) a n dt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ： ( c ) 7 t h e r ee x i s t s6 0a n d a n i n t e g e r f ms u c h t h a t ；m 2 w 2 1 2 1 2 一；( z + 1 ) 2 w 2 2 即一一即，o ) ；m 2 u 2 h 21 2 1 2 2 i z l 2 f b ra l l 6a n da e 【0 ，卅； t h e nt h es y s t e m ( h s i ) h a sa tl e a s tt w on o n z e r os o l u t i o n si n 珥 t h e o r e m4a s s u m et h a tf ：f o ，t 】r 。_ rs a t i s f i e sa s s u m p t i o n ( a ) ，a n dt h a tt h e r e e x i s t7 l 1 ( o ，t ；r ) ，a n d0 岳7 ( t ) d t 1 ) i sab o u n d e dd o m a i n ，：豆xr _ + ri sac a r a t h d o d o r yf u n c t i o n ， t h a ti s ，( z ，t ) i sm e a s u r a b l ei nzf o re v e r yt ra n dc o n t i n u o u si utf o ra e z n ，a n d h ( x ) l 2 ( n ) l e tk ( k = 1 ，2 ，) b et h ek - t hd i s t i n c te i g e n v a l u eo ft h ee i g e n w m u ep r o b l e m u = a u i nq u = 00 1 20 n a n de ( a k ) ( k = l ，2 ，) b et h ee i g e n s p a c ec o r r e s p o n d i n gt ok t h e o r e m6a s s u m et h a tt h e r ee x i s tac o n s t a n tc 0a n dar e a lf u n c t i o n7 l 1 ( n ) s u c ht h a t l ，( z ，圳g i r l 2 。1 + 1 ( ) ( i ) f o ra l lt r ，a e z n ，w h e r e2 三2 n ( 一2 ) ；i f n 3a n d2 m a yb er e p l a c e db ya n y n u m b e ri n 1 ，+ 。) i f n = lo rn = 2 ，a n dt h a t 印s u p 兰掣口( 。) a 1 ( 2 ) o t l _ + + o o 。 f b ra e z n a n dt h es e c o n di n c q u a l i t y ss t r i c ti n e q u a l i t yh o l do nas e to fp o s i t i v em e a s u r e ecn a s s u m et h a th l 2 ( q ) s a t i s f i e st h a t ( ) 妒( z ) d z = 0( 3 ) w h e r e 妒i st h en o r m a l i z e de i g e n f u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt oa 1 ，妒( z ) 0f o ra l lz n t h e n t h ep r o b l e m ( e p ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o n si n 日8 ( q ) t h e o r e m7a s s u m et h a tt h e r ee x i s t 岛 0a n d2 k ，s u c h t h a t ，( z ，s ) 一( x ，t ) s t f o ra l ls ，t r ，8 ta n da e z n ，a n da s s u m e t h a t o ( 6 ) l i m s u p 掣 0s u c h t h a t a 。忏2 f ( z ，) 兰a m + l 蚓2( 8 ) f o ra l ll t l 墨巧a n da - e z n s u p p o s et h a th ：0 ，t h e nt h ep r o b l e mf e p ) h a sa tl e a s tt w o n o n z e r os o l u t i o n si n 砩f q ) t h e o r e m1 0a s s u m et h a t ，s a t i s f i e s ( 4 ) ，h = 0a n dt h e r ee x i s t sa no 0 ，u = 2 ”t ，m 是一非负整数，f ： o ，t 1 x r _ r 满足条件： ( a ) f ( t ，z ) 对每个。r 关于是可测的，对a e 【0 ，t 】关于z 是连续可微的， 且存在n g ( r + ，冗+ ) ，b l 1 ( 0 ，r ；r + ) 使得 l f ( t ，z ) i + l v f ( t ，z ) i 兰o ( 1 2 1 ) 6 ( t ) 对所有z r 和a e o ，卅成立 早在1 8 9 2 年，p o i n c a r d ( 2 ) 就开始用变分法研究二阶h a m i l t o n 系统，他考虑了 n = 1 且f 自治( 即f 与t 无关) 的情况1 9 1 5 年，l i c h t e n s t e i n ( 3 ) 考虑了n = 2 且 f 非自治( 即f 与t 有关) 的情况 后来越来越多的人利用变分法对二阶h a m i l t o n 系统进行了研究，同时也给出了很 多可解性条件譬如强制性条件( 【4 】一【h i ) ，偶位势条件( 1 2 1 ) ，次线性条件( 【1 3 】) ，超二 次条件( a 4 】一【1 6 ) ，次二次条件( 1 7 】) ，凸及次凸位势条件( 9 一【1 1 】) ，周期条件( f 4 ) 等 等受文献( 【1 9 卜【2 1 】， 2 3 】) 的启发，本文的主要内容之一就是在某些可行性条件下利 用约化的方法研究了二阶h a m i l t o n 系统解的存在性与多重性 用变分法研究二阶h a m i l t o n 系统就是将求方程( h s i ) 的解的同题转化为求一个 在h 汕e r t 空间珥中连续可微且弱下半连续的泛函 妒( u ) = ；z ri d ( t ) j 2 d t 一；m 2 u 2 o rj u ( t ) 1 2 d t + z r ( f ( c ，u ( t ) ) 一f ( t ，。) ) d t 在磷上的临界点的问题( 【4 ) 其中 衅= u ： o ，t 1 _ + r ”l u 绝对连续，t ( o ) = u ( 丁) 且i l 2 ( o ，t ；r ) ) 具有范数 f f “f l = ( z 7j u 。) i 2 出+ 0 7i 。) f 2 d c ) 5 特别地，若妒( “) 在珥上达到极小值，则( h s i ) 有解 此外，我们对任意u ，口日士有 ( 妒7 ( u ) ，”) = z 丁( i ( 吼。( 啪d f s 0 7 ( m 2 舻u ( 氓”( f ) ) 出+ z t ( v f ( t ，u ( 啪，”( 啪出 成立 当系统( h s 】) 中m ：0 时，即系统 ( 日岛) 烨= v f ( ，“( 。) ) 8 。6 悯 l u ( o ) 一u 口) = a ( o ) 一u ( t ) = 0 其中t 0 ，f ： 0 t x r - r 满足( a ) 条件 相应的能量泛函变为 妒( u ) = i z 7 i i ( d 1 2 d t + z r ( f o ，u ( t ) ) 一f ( t ，。) ) d t ， l i t j , b ，我们对任意u ， 珥有 ( ( u ) ，”) = s o t ( t ) ，。( t ) ) d t + 0 7 ( v f ( t ，“。) ) ，”( t ) ) 出 考虑d i r i c h l e t 椭圆边值问题 c e p ， 。- - a ：u 。= 。f a ( x n , ；u ) + ( z ) a e z n 这里ncr ( 1 ) 是有界区域，：孬xr _ + r 是一个c a r a t h d o d o r y 函数 即，( z ，t ) 对任意t r 关于z 是可测的；对于a ez q ，( z ，t ) 关于t 是连续的 h ( x ) 工2 ( n ) 对d i r i c h l e t 椭圆边值问题的( 非平凡) 解的存在性研究可见文献【2 0 1 1 2 q 2 7 】一f 6 2 】 其中，文献【2 7 】 2 8 】考虑了正解的存在性，文献1 2 0 2 1 5 8 1 等对多解作了研究其方法 大致有，m 。r 8 e 理论及临界群理论 2 9 l 【3 0 1 ，l e r a y s c h a u d e r 度理论 3 1 1 ，指标理论【3 2 】以 及些抽象的多解定理【2 0 】【2 1 】f 58 1 文献 3 3 则考虑了正解，负解的存在性 二、预备知识 为了后文证明的需要，我们简单的给出相关的定理 定义1 设日= ( h ，( ，) ) 是t t i l b e r t 空问，著存在常数p r + ，使得映射m ：h - h 对任意u ，u h 都有 ( i 6 ) 一m ( ) ，“一 ) p l i t 一口1 1 2 成立，我们说映射m 是弘单调的 引理1 【鞠设，g 1 ( x y z ，r ) ，若存在一个常数p 0 使得 ( i ) d 1 ，( ，y ，z ) ：x x 对任意( y ，z ) y z 是胪单调的； ( i i ) 一d 2 f ( x ，= ) ：y _ y 对任意( z ，z ) x z 是p 一单调的； 则存在一个映射 ( 。( ) ，v ( ) ) c ( z ，x y ) 使得( z ( 2 ) ，”( z ) ) 对任意z z ，( ，2 ) 有唯一的鞍点此外，映射g ：z _ 十r ，z h ，( z ( z ) ，g ( z ) ，z ) 是连续可微的，它的导数定义为d ( z ) = d 3 f ( x ( z ) ，( z ) ，。) ( v z z ) 引理2 【绚设x 是一个具有直和分解 x = x l o 托 的b a n a c h 空间，其中d i m 托 0 使得对任意“x 1 ，i 如， 妒( u ) o ； 以及对任意 x 2 ，j 茎南 妒( u ) 0 成立 若妒是下方有界的，且i n f x 妒 0 和某一整数f m 使得 f ( t , x ) 一f ( t ，o ) ；? t l 2 w 2 1 2 1 2 ；1 2 u 2 1 2 1 2 对任意hs6 以及几乎处处的e o ，t 】成立 则系统( 日s 1 ) 在磷中至少存在一非零解 证明t 由定理1 的证明，我们知妒在w 中有一个极小值点u o 下面仅需要证明 t o o o 5 令肌= 似( i + k 2 u 2 u ) ，w 2 = 百吾i 丽再i 网，于是w = o 同样，我们由p a m e v a l 等式得到下面的两个不等式z i l 曲1 + o l l ：2 曼f 2c 工j 2 1 1 , u 1 + 训l b v t u l w 1 ， y ； ( 3 ) j l 西2 l j i ，( f 十1 ) 2 u 2j j t 啦1 1 2 l ， v w 2 ( 4 ) 根据条件( c ) ，函数口的连续性以及不等式( 3 ) 有 妒( ”，) ：妒( w l + 0 ( t 0 1 ) ) ；z 1i t b + d ( ”- ) 1 2 d t - 1 2 7 w 2z 11 w l + 0 ( ”t ) 1 2 d t 。 对任意 l w 1 且怖l | | 6 l 成立， 若i n f 。e 妒( ) m 使得 ；m 2 0 ) 2 h 2 一；( f + 1 ) 2 w 2 蚓2 耶，z ) 一邢0 ) ；m 2 洞坪一；儿2 h 2 对任意6 以及几乎处处的【0 ，即成立； 则系统( h s 。) 在珥中至少存在两个非零解 证明t 由定理2 的证明，根据条件( c ) ，函数口的连续性以及不等式( 3 ) ( 4 ) 有 帅) 刊m - 州训) ；0 1 枷训同t 一；掰a w t + 0 ( 训阳茎。 对任意 l w 1 且l l i 6 l 成立，以及 妒( 忱) 妒( t c ，2 ) ；i l 曲2 0 2 ：一；u + 1 ) 2 u 2 i i t 啦o i 。0 对任意t i j 2 h ，2 且l i 姚l | 如成立 由于i p 在珥，中是弱下半连续的，因而函数妒也在珥中是弱下半连续的根据 我们在定理1 中证明的妒具有强制性，以及妒的弱下半连续性，我们得知妒满足( p s ) 条件且有下界 若i n k 6 w t f ，) = 0 ，则任意满足1 1 w | l 6 1 的t ，w 都是妒的极小值点，于是知 妒有无穷多个极值点 不然，若i n f 。w 母( ”) 0 ，由引理2 知咖至少有两个非零的极值点，证毕 6 注1 文献，f 删研究了摩统( h s l ) 在m 不恒为零时解的存在性，但我们的结 果不同于他们，这里我们考虑了解的多重性以及非零解的存在性问题 日前，约化的方法广泛地应用在非线性分析中，如椭圃方程中的纽曼问题( 见文献f j9 】) ，半线性椭圆方程( 见文献 删f 2 州删) 文献【矧考虑了这里的定理 1 以及定理3 在m 三0 的情况显然定理1 以及定理3 是文献 矧中定理2 2 的 一个补充与推广定理2 是个新的结果 定理4 设f ：n t lxr _ + r 满足条件( 圳，且存在函数1 l 1 ( o ，正兄) ，其中 0 譬7 ( t 冲 1 2 t ，使得： ( v f ( t ，z ) 一v f ( t ，v ) ，z y ) 一7 0 ) l z u 1 2 对任意z ，yer “以及几乎处处的t 0 ，t 成立 若当- + + o o 时岳f ( t ，z ) d t 寸一。，则系统( h s 2 ) 在h 中至少存在一个 解 证明：令x = 辫：= t 珥：口u ( t ) 班= o ) ，y = z = r v 则珥= xo z 定义一个泛函： 币1 ( u ) = 。i n x f 妒( u 十u ) v ”z 对任意一个固定的 z 以及任意“l ，u 2 x ，我们有 f i v f ( t ，u l + ) - v f ( t ，u 2 + ”) ，u l