（金融学专业论文）POT模型及其他传统VaR计算方法的比较与实证分析.pdf

内容摘要 风险度量是金融风险管理的基础，而风险价值( v a r ) 是当今金融风险测量 的主流方法，是应用最广泛的一种工具。传统的v a r 计算方法一般都要对金融 收益的分布类型进行假设，这就减低了模型的可信性。而以极值理论为理论基础 的p o t ( p e a k so v e rt h r e s h o l d ) 模型并不假设金融收益的整体服从某一分布，而 只是研究分布的尾部特征，这样就避免了模型风险。 极值理论是次序统计学的一个分支，主要处理严重背离分布均值的极端值。 传统上，极值理论被用来预测海啸、地震等自然灾害。从实践的观点看，研究金 融收益分布的尾部的重要意义在于能帮助我们估计极值的运动规律，一旦知道了 尾部特征，我们就可以应用风险测量的工具进一步分析可能的极值运动情况。极 值理论主要包括两类模型，其中一类就是近年来发展起来的p o t 模型。 本文系统阐述了极值理论及p o t 模型，并与计算v a r 的另外三种方法：历 史模拟法、蒙特卡洛模拟法和a r c h 类模型方法进行比较分析，以上证指数和 深成指数为例进行实证检验，进一步分析v a l t 的这四种方法的特点。最后得出 结论：四种方法各有特点，从实证结果看，历史模拟法、蒙特卡洛法及p o t 模 型法都比较保守，a r c h 模型能够比较好的模拟金融风险的波动性：除了p o t 模型的另外三种模型都具有比较大的模型风险。与历史模拟法相比较，极值理论 具有超越样本的预测能力。通过上证指数和深成指数的v a i l 计算结果比较发现 深市的风险高于沪市的。 关键词：风险价值( v 撩) p o t 广义帕雷托分布历史模拟法蒙特卡洛模 拟法a r c h 类模型 a b s t r a c t m s km e a s u r e m e n ti st h eb a s i so ff i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n t n o wv a l u ea tr i s k i s t h em a i n s t r e a mm e t h o do ff i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n ta n dat o o lw h i c hi s w i d e l yu s e d t r a d i t i o n a lv a rm e t h o d sw a n tt og i v eah y p o t h e s i so ff m a n c i a ir e t u r n d a t as u b j e c t e dt os o m ed i s t r i b u t i o n ，w h i c hc a nr e d u c et h er e l i a b i l i t yo ft h em o d e l h o w e v e r , t h em o d e lo fp o t w h i c hi sb a s e do nt h et h e o r yo fe x t r e m ev a l u e ，j u s t a n a l y s e st h et a i lo f d i s t r i b u t i o ni n s t e a do f t h eh y p o t h e s i s s oi tc a na v o i d r i s ko f m o d e l a n dc o m p m e rr i g h t l yt h ev a ro f e x t r e m ee v e n t 日1 et h e o r yo fe x t r e m ev a l u eo ! v t ) i sab r a n c ho fo r d e rs t a t i s t i c s w h i c hm a i n l y d i s p o s et h ee x t r e m ev a l u ed e v i a t i n gf r o mt h em e a d o u ta n da w a y e v tt r a d i t i o n a l l y c a l lb eu s e d 踮at o o lf o r e c a s t i n gn a t u r a ld i s a s t e r , s u c ha s ，t s u n a m i ，e a r t h q u a k ea n ds o o n o nt h ev i e wo fp r a c t i c e ，t h ei m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ea n a l y z i n gt h et a i lo ff i n a n c i a l r e t u r nd i s t r i b u t i o ni st h a ti ti sh e l p f u lf o ru st oe s t i m a t et h er u l eo fe x t r e m ev a l u e m o v e m e m o n c ew ek n o wt h et a i l sc h a r a c t e r , w ec a na p p l yt h et o o lo fr i s k m e a s u r e m e n tt oa n a l y z ep o s s i b l ee x t r e m ev a l u em o v e m e m t h et h e o r yo fe x t r e m e v a l u ei n c l u d e st w ok i n d so fm o d e l s ，o n eo fw h i c hi sp o tm o d e ld e v e l o p e dr e c e n t y e a r s - t h i sa r t i c l ep r e s e n t st h et h e o r yo fe x t r e m ev a l u ea n dp o tm o d e l ，a n dg i v e st h e e x a m p l eo fv a r w i t hi n d e xo fs h a n g h a is t o c km a r k e ta n ds h e n z h e ns t o c km a r k e tb y p o tm o d e l ，t h e nc o m p a r e st h ev a rr e s u l to fo t h e rt h r e ec o m p u t a t i o nm e t h o d s i n c l u d m gh i s t o f i c a ls i m u l a t i o n , m o m ec a r l os i m u l a t i o na n da r c hm o d e la n d a n a l y z e st h ec h a r a c t e r so ft h e s ef o u rc o m p u t a t i o nm e t h o d s 。f m 8 l l yi tc o n c l u d e st h a t t h r e ev a rm e t h o d s ，n a m e l yh i s t o r i c a ls i m u l a t i o n , m o n t ec a r l os i m u l a t i o na n dp o t m o d e l ，a r ec o n s e r v a t i v em o d e l s ，a r c hm o d e li sa b l et os i m u l a t et h ev o l a t i l i t yo f f i n a n c i a lr i s ka n de x c e p tp o tm o d e l ，t h eo t h e rt h r e em o d e l sh a sm o r em o d e lr i s k p o tm o d e lh a st h ea b i l 时o ff o r e c a s t i n gr i s ko u to fs a m p l ec o m p a r i n gt oh i s t o r i c a l s i m u l a t i o nm e t h o d t h em a r k e tr i s ko fs h e n z h e ni sh i g h e rt h a nt h a to fs h a n 曲a ib y c o m p a r i n gt h ec o m p u t i n gr e s t f l t so fv a rw i t hi n d e xo fs h a n g h a is t o c km a r k e ta n d s h e n z h e ns t o c km a r k e t k e yw o r d s ：v a l u ea tr i s k ( v a r ) h i s t o d c a ls i m u l a t i o n p o t g e n e r a l i z e dp a r e t od i s t r i b u t i o n m o n t ec a r l os i m u l a t i o r ta r c h m o d e l 一鱼= 兰垦堕堕篁蔓箜 第一章风险价值概述 第一节风险价值的产生与应用 2 0 世纪7 0 年代初布雷顿森林体系的崩溃使浮动汇率制在世界各国得到普遍 推行，各国汇率、利率等金融产品价格的变动更加频繁，也更加难以预料。2 0 世纪8 0 年代以来，随着信息技术迅猛发展，各国金融创新和自由化的浪潮更是 史无前例，金融证券市场的波动进一步加剧。与此同时，出于分散风险的需要， 金融衍生工具的产生得到了迅速发展。1 9 9 5 年，金融衍生工具的名义市场价值 达到7 0 万亿美元，而全球股票市场的市值仅为1 5 万亿美元。另一方面，当衍生 工具越来越多地被用于投机而菲保值的目的时，出于规避风险的需要而产生的金 融衍生工具本身也孕育着极大的风险。近年来，英国巴林银行的倒闭、日本大和 银行的巨额交易亏损等无不与金融衍生工具有关。于是，金融证券市场尤其是衍 生工具市场的市场风险日益凸现并受到人们的关注，如何有效地测定和控制这些 市场风险便成为金融证券机构、投资者和有关监管层所面临的亟待解决的问题。 所谓金融市场风险测量，就是测量由于市场因子的不利变化而导致的金融资 产( 证券组合) 价值损失的大小。在风险价值方法出现以前，金融市场风险测量 的主要方法包括名义交易量法、灵敏度方法、波动性方法。随着金融市场和金融 交易的规模、动态性和复杂性的增加，面对包含格式各样复杂金融衍生工具( 特 别是期权类非线性工具) 的组合证券，传统的风险测量方法已不再适用，因此迫 切需要一种既能处理非线性的期权又能全面测量复杂证券组合、提供总体风险的 市场风险测量方法。在这种情形下，一种用途广泛、可直接用于测定银行、信托、 证券机构和证券投资组合总体风险的技术风险价值方法诞生了。 风险价值r ( v a l u ea tr i s k ) ( 以下简称v a r ) 作为一个概念，最先起源 于2 0 世纪8 0 年代末交易商对金融资产风险测量的需要：作为一种市场风险测定 和管理的新工具，则是由j p 摩根最先提出的。v a r 指的是，在一定的置信度内 由于市场波动而导致整个资产组合在未来某个时期内可能出现的最大价值损失。 如果只考虑一天的波动情况，那么v a r 也就是每目风险收益d e a r ( d a i l ye a r i n g s a tr i s k ) 。其最大优点在于测量的综合性，可以将不同市场因子、不同市场的风 第一章风险价值檄述 险集成为一个数，较准确的测量由不同风险来源及其相互作用而产生的潜在损 失，较好适应了金融市场发展的动态性、复杂性和全球整合眭趋势。v a r 方法能 简单清晰地表示市场风险的大小，又有严谨系统的概率统计理论作依托，由于 v a r 的众多优点，近十年来，得到了国际金融界的广泛支持和认可，1 9 9 4 年国 际性研究机构3 0 人小组( g r o u p o f 3 0 ) 报告发表后，4 3 的衍生产品交易商声明他 们正在使用v a r 测量其市场风险，3 7 的交易商表示在1 9 9 5 年底前将要使用 v a r ；g 3 0 和国际掉期交易商协会( i s d a ) 等团体一致推荐，将v a r 方法作为市场 风险测量和控制的最佳方法。 目前，v a r 的应用已不仅仅局限于金融市场风险的测量方面，在信用风险、 流动性风险、现金流风险和操作风险方面也正在逐步得到应用。除了在风险测量 方面获得广泛应用外，v a r 在风险管理中也有非常广泛的甩途，如设定交易商市 场风险的限额、评价风险承担者的绩效以及估计承担风险的资本需求量。越来越 多的金融机构，如银行、证券机构、保险公司、信托公司、投资基金等纷纷采用 v a r 方法来测量、控制其市场风险，尤其在衍生工具投资领域，v a r 方法的应用 更加广泛。 第二节风险价值的概念和一般计算方法 一、v a r 的概念 v a r 的含义是“处于风险中的价值”，是指市场正常波动下，某一金融资产 或证券组合的最大可能损失。更为确切的是指，在一定的概率水平下( 置信度) 某一金融资产或证券组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。可表示为： p r o b ( a p 0 联系起来，即： 一= 掣魄 o ) 盯 在标准正态分布下，当给定一个置信水平如口= 5 ，则对应乙= 1 6 5 ，于是 就可以计算出相应的最小回报 r = 一z 。盯+ = 一1 , 6 5 0 + , u 假定参数和盯是一天的时间间隔上计算出来的，则时间间隔为址的相对 v a r 为 v a r r = p o ( r 一) = 一晶z 。o r f 因此，v a r 是分布的标准差与置信水平确定的乘子的乘积。 类似地，对于绝对v a r 有如下形式t v a r 月= 昂r = p o ( 一屯盯f + ，出) 这种方法可以推广到正态分布和其他的累积概率函数，其中所有的不确定性 都体现在盯上，其他的分布会得到不同韵z 。值。这种方法是基于对参数标准差 的估计，而不是从经验分布上确定百分位数，因此称这种方法为参数方法。 v a r 方法的核心在于描述金融时间序列的统计分布或概率密度函数。通常以 股票指数的对数收益率序列为描述对象。 第二章v a r 的几种传统计算方法 第二章y a r 的几种传统计算方法 从本质上说v a r 是统计方法，由于存在不同的假设，v a k 的计算方法已经 是非常广泛。其计算方法可以分为参数方法和非参数方法。它们的区别在于参数 方法需要通过资产收益率般从菜一分布来计算v a r 值。本文所研究钓应用极值 理论度量v a r 就是参数方法。首先介绍三种比较传统的v a r 计算方法。 第一节历史模拟法 一、历史模拟法基本概念 历史模拟方法( h i s t o r i c a ls i m u l a t i o nm e t h o d ) 是非参数方法，是完全佑值法中 最为简单易行的一种，它不需要资产收益率服从某一假设分布，而是假定资产收 益率服从一个静态的过程，从而概率密度函数不随时间变化或不发生太幅变化。 历史模拟法的核心在于根据市场因子的历史样本变化模拟证券组合的未来损益 分布，利用分位数给出一定置信度下的v a r 估计。这种方法对历史价格走势应 用三步骤模型技术如下： ( 1 ) 选择合适的历史收益率时间序y u r 。( t ) 】，t = t ，一r + 1 ，o ，一般用3 5 年。 ( 2 ) 假定未来的价格变化与过去的价格变化完全相似，即历史收益变化量在 未来都可能出现，根据第步的历史收益率模拟当前组合价值变动量。 ( 3 ) 将组合收益从最大到最小排序，得到损益分布，通过给定置信度下的分 位数求出v a r 值。如对于有1 0 0 0 个可能损益的情况，9 5 的置信度对应的分位 数为组合的第5 0 个最大损益值。 二、历史模拟法的优缺点 ( 一) 方法的优点： i 、如果能够及时完整地收集到历史数据，运用这个方法是相当简单的。 第二章v 狼的几神传统计算方法 2 、该方法计算的是投资组合的全部价值，而非价格发生微小变化的局部近 似。而且诧方法使用实际数据，所以可以引入非线性的因素( 如g a m m a , v e g a 风 险和相关性) 。由于它不需对定价模型和基本市场结构作特定的假设，所以它也 适用于非正态分布的情况，能够很好地解决“厚尾”问题。 ( 二) 方法的缺点： 1 、该方法假定过去能很好地代表将来，但对于极少出现的极端情况，历史 数据并不能很好地反映a 2 、为了提高该方法预测的准确性，计算时通常要采用较长的样本区间，并 对所有的历史数据给以相同的权重，这势必导致过多地强调了较早数据的作用， 而忽视了近期数据的作用。 第二节蒙特卡洛模拟法 蒙特卡洛( m o n t ec a r l o ) 模拟方法也称随机模拟方法，其基本思想是为了求解 科学、工程技术、和经济金融等方面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程， 使它的参数等于问题的解，然后通过对模型或过程的反复模拟，计算所求的参数 的统计特征。 在金融和证券市场的研究中，人们常用蒙特卡洛法通过近似地模拟风险因素 的统计分布来计算潜在的收益和相应的v a r 。它要求每个风险因素对应一个其未 来的可能分布，如正态分布、对数正态分布、t 分布等等，然后利用历史的数据 来确定这些分布的参数。利用这些分布和参数，随机产生成千上万种风险因素的 未来可能值( 或称为场景) ，在这一场景下再重新确定投资组合的价值。最后利 用这些随机产生的组合收益，构造出组合的经验分布，并确定在一定量信水平下 的v l r 值。 一、价格走势的随机模拟 蒙特卡洛模拟的基本做法是：重复模拟金融变量随机过程，涵盖其各种可能 出现的情形。通过这种模拟，就可以再现组合价值的整个分布。 模拟的第一步是选择一个随机过程，该模型产生的模拟价格走势应与市场真 6 第二章v 啦的几种传统计算方法 实表现相符，这是整个模拟过程最关键的一步。常用的随机模型是几何布朗尼运 动模型( g b m ) ，它也是许多期权定价理论的基础。该模型假设为： 资产价格前后变化之间相互独立； 价格的微小变化可以用下式度量 簪= ( p + 妻万2 ) s 。d + 吼墨出1 其中： s 是标的物( 如股票指数) 的价格； + 昙旷：是所谓漂移率，所以它是连续计算收益率的股指在单位时间内收益 的预期收益率，而即前面所述的连续计算收益率的股指在单位时间内收益的自 然对数的数学期望值； 盯是波动率，即连续计算收益率的股指在单位时间内收益的自然对数的标 准差： 如：g 石是称之为维纳过程( 即布朗运动) 的一种随机过程，s 满足标准正 态分布，数学期望值为0 ，方差为1 。 实际运用时，我们将模型这种极微小的时间片断出用它的离散形式出来近 似得 蝇= 墨。+ 妻矿2 池+ 四_ ) ( 2 1 ) 可以证明，由此产生均值e ( 篮f s 户晤+ 昙仃2 ) f 与方差、，( s ，s ) = 伊2 址 一样都与区间出成正比。 模拟随机变量s 的价格走势，步骤如下： 我t ( 1 口t 以从当前时刻的价格s ，出发，并由历史数据估计出相应的参数 “和o t ； 产生随机数序列占。( i = l ，2 ， ) ； 然后由递推公式墨+ = s ，+ a s , “= 墨+ s 蛐f + 。f ) 求出s t 。； 类似地，通过公式s m = s + s ( ，出+ 卯2 血) ，得到s m ，依此类推 参见：柬逢明：金融工程原理无套利均糖分析，清华大学出舨杜，2 0 0 3 年，第8 7 页 7 第二章魄r 的几种传统计算方法 直至目标时刻t ，这时，只+ 。= s ，。这就模拟出了随机变量s 的未来走势。 表2 1 模拟了漂移量为0 、波动性为1 0 的过程。其中，初始值为1 0 0 美元， 区间被分为1 0 0 份。因此，总的波动性为0 1 0 o o = o 0 1 。第三列是标准正 态分布变量的值，在没有漂移的情况下，下一列的增量为s 。x 0 0 1 ，最后一列是 由前一期的价值和增量计算得到的当前值。对这个过程重复1 0 0 次，得到终值 9 1 0 6 美元。 表2 - 1模拟价值变化的轨迹2 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 1 8 7 1 0 1 4 1 0 1 9 9 1 6 6 5 ( o 4 4 5 ) ( o 6 6 7 ) 0 0 0 1 9 9 0 0 1 6 6 5 ( 0 0 0 4 4 6 ) 0 0 6 6 8 ) 1 0 0 2 0 1 0 1 8 7 1 0 1 4 l 1 0 0 7 4 1 0 0 9 2 4 71 1 5 3 ( o 0 1 1 5 3 ) 9 1 0 6 二、随机数g 的创建 上述价格变化路径模拟中，非常重要的是如何产生随机数日，这些随机数来 自具有期望概率分布的变量。下面讨论随机数的产生过程。 l 、通常随机数的产生过程 包括两步： 第一步：产生 o ，1 】上的均匀分布，从这一均匀分布产生一个随机变量z 。 事实上产生的随机数是“伪随机数”，因为它们是根据确定性的算法给出的。具 体而言，给定一个初始值( 所谓的“种子”) ，由确定性算法产生序列数，如果这 2 注：此表中( ) 中的数据为负值。 第= 章v a r 的几种传统计算方法 些序列通过随机性检验( 特别是独立性检验) ，则可以认为产生的序列数为随机 数。由于所有的序列均由同一个“种子”产生，因此产生的序列数最终会出现重 复，存在周期现象。好的随机数发生器在1 0 亿次后才出现重复，而坏的随机数 发生器在几千次后就出现重复。周期太短会产生与实际随机序列不符的金融资产 的价格序列。 第二步：通过对累积概率密度函数求逆，把伪随机数x 转换为期望的分布。 对于正态分布，其概率分布函数n ( y ) 的值在0 1 之间。因此要产生正态随机变 量，只需计算) ，使其满足x = ( ) ，) 或y = “( x ) 即可。 2 、提靴带法( b o o t s t r a p 方法) 创建随机数 提靴带法的中心思想是通过收益率皿的经验分布来估计金融变量分布，并在 估计过程中假设每一观察值出现的可能性都相同。这种非参数随机方法是1 9 7 9 年由埃弗龙( e f r o n ) 首先提出的，他用此方法解决了如何利用观察值求出未知分 布的统计量的抽样分布河题。 使用提靴带法首先要从收益率 r 。 中取样，而且样本容量越大越好。例如， 若要产生1 0 0 个未来收益睾的随机数，但是有关每天的收益分布，我们又不想做 如何假设。这时，我们就可以这样做：从过去5 0 0 天收益率中次随机选取一个 收益率，并且将该收益率对应的天数记为t o o ) ，所选取的收益率记为矗州) ，重 复上述的随机取样过程1 0 0 次，就得到1 0 0 个随机数r 哪) ，r 。( 2 ) ，r 。q 。) 。 然后就可以求出感兴趣的随机变量的经验分布。 提靴带法突出的优点在于，首先，取样范围广，可以避免正态分布不能包括 较粗的尾部、突然的跳跃值和任何与正态分布不相符的地方。其次，提靴带法还 考虑了各种金融产品之间的相关性，虽然每次只随机选取一个收益率，但是它同 时涵盖了投资组合中各种金融品种( 如股票、债券、现金) 之间的收益关系。 三、基于蒙特卡洛的v a r 估计 ( 一) 估计步骤 当模拟出市场因子的价格变化路径后，就可以估计投资组合价值及其变化， 从而得出组合价值收益的分布，在某一置信水平下，很容易求出v a r 值。下面 9 第二章v a r 的几种传统计算方法 给出基于蒙特卡洛的v a r 估计步骤： 首先选择反应价格变化的随机模型，例如几何布朗运动( g b m ) ； 产生伪随机数序列s 。，g ：，s 。，利用随机过程计算模拟价格s 。， s f 2 ，s l + h ； 根据步骤中的模拟价格，计算时间为t 时的组台价值科； 重复步骤和n 次，得到一系列时间为t 时组合价值碍，砰，群， 据此就可以估计投资组合在t 时的分布，然后就可以求出在给定的置信水平口下 的v a r 值。 在确定随机模拟的重复次数n 时，需要权衡估计的精度和计算量。通常， 由随机模拟方法求得的估计量，都或多或少存在求解误差，这是由随机样本造成 的，是随机模拟方法本身无法避免的。只有当重复的次数增加时，估计量才能慢 慢向其真实值收敛，收敛的速度与重复次数的算数根成比例，所以，重复次 数越多，得出投资组合t 时的分布越光滑，估计的精度越高，计算量越大，耗时 也越多。在如今瞬息万变的市场环境中，复杂的金融品种不断涌现，因此速度可 能比精确度来得更重要。 ( 二) 蒙特卡洛方法的优缺点 1 、方法的优点： 蒙特卡洛法是衡量金融风险最全面的数值分析方法。它能处理其他方法所无 法处理的风险和问题，如非线性价格风险、波动性风险、粗尾分布、极端事件甚 至信用风险，它都能有效地处理。 2 、方法的缺点： ( 1 ) 蒙特卡洛法最大的不足就是计算量太大。如果投资组合中有i 0 0 0 种资 产，对每种资产的模拟路径为1 0 0 0 种，那么投资组合的价值就会有1 0 0 万个。 如此大的计算量，是以牺牲计算结果的及时性为代价的，所以该方法不适合需要 及时提供风险量度的场合。 ( 2 ) 蒙特卡洛法的另缺点是它存在模型风险。因为它依赖于基础风险因素 的随机模型及证券的定价模型，如果第一步中选取的随机模型与实际价格走势不 符，那么据此计算出的v a r 也不可信，所以随机模型的选取极其重要。 第二章v a r 的几种传统计算方法 第三节a r c h 类模型 为解决残差异方差问题，1 9 8 2 年e n g l e 在研究英国通货膨胀问题时，首先提 出了a r c h 模型( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t ym o d e l ，自回归条 件异方差模型) 。在n n n + ) 1 3 9 a u n 模型得到了不断的完善和改进，形成了 a r c h 模型族：b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 提出g a r c h 模型，l i l i e n ( 1 9 8 7 ) 提出a r c h - m e a n 模型，n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出e g a r c h 模型，b a i l l i e ( 1 9 9 6 ) 提出了f i g a r c h 模型， 等等。由于其在估计金融变量回报时的良好特性，即时变的方差和处理厚尾的能 力，近年来在经济金融领域获得广泛应用，在我国也有不少学者进行了此方面的 研究。 与传统时间序列和计量模型假定方差不变不同，a r c h 类模型则把方差看作 是前期误差( 偏离不变的无条件方差的大小) 的函数，也就是说条件方差是随时间 变化的。 按照e n g l e 的定义，所有离散的随机过程( t ：可以表示为如下的形式； 占f = z t 盯 ( 2 2 ) 刁i i d ，e ( ) = 0 ，v a r ( ) = 1 ( 2 3 ) 在a r c h 类模型中，标准o t 是时变的、正定的，并且是t - 1 时刻信息集的 可测函数。根据定义，日不相关且均值为0 ，但t 的条件方差等于才，而盯? 是 随时间变化的。在大部分应用中，s ，可通过反映回报均值变化的随机过程来表示， 例如 y ，) 过程，即 y ，= g ( t l ；6 ) 十占。 ( 2 4 ) 其中： 烈x 。；6 ) 为x 。；和参数向量6 的函数，x 。，表示f _ l 时刻的信息集。 根据公式( 2 2 ) 、( 2 3 ) ，可以用大量的模型来合理的表示口? ，其中一些有效的 时间序列模型得到了广泛的应用。下面简要介绍a r c h 类模型中最重要和应用 最广的几种模型形式。 第二苹v a r 的几种传统计算方法 一、a r c h 模型 a r c h 模型的定义： 若一个平稳随机变量x ，可以表示为p 阶自回归( a r ( p ) ) 形式，其随机误差 项的方差可用误差项平方的q 阶分布滞后模型描述， x f = p o + 届x f i + 芦2 z f 电+ 。+ 以x r f + s f 司= 国+ 叩乙 ( 2 。5 ) ( 2 6 ) 则称g ，服从g 阶的a r c h 过程，记作s ，a r c h ( q ) 。其中( 2 5 ) 式称作均值 方程，( 2 6 ) 式称作a r c h 方程。在e n g e l 的模型中，砰表示为扰动滞后 。 平方的线性函数，其中：o 0 ，q o 。其限制条件 o 、口， - - 0 保证了条件方 差口? 总为正，这被称为非负约束；为保证仃；是一个平稳过程，对口，i = l ，2 ，g 的另个约束是，0 q + 口2 + + 甜g ：口。 ( 2 7 ) ( 2 8 ) a r c h 模型通过对过去q 期非预期回报( ) 的平方的移动平均来捕获回报 序列的条件异方差性。对于金融数据，它能反映波动性变化的趋势，例如，如果 在今天之前的第m 期( m q ) ，无论市场向哪个方向作了大幅度的变动，都会使 得今天之前的条件方差增加，这意味着今天的市场更有可能进行大幅度的运动， 而这通常是难以预测的。 可是，a r c h ( q ) 模型在实际应用中为得到较好的拟合效果常需很大的阶数q ； 这不仅增大了待估参数的个数，还会引发诸如解释变量多重共线性等其它问题。 第二章v a r 的几种传统计算方法 二、g a r c h 模型 为解决a r c h 模型中所存在的上述问题，b o l l e r s l c c v 予1 9 8 6 年提出了广义 a r c h 模珏! d ( g e n e r a l i z e da r c h ) ，即g a r c h ( p ，q ) 模型： 仃，2 = 国+ 窆口；占三+ 艺属蠢， i - i i - 1 ( 2 9 ) 其中s 。称为a r c h 项，q 。称为g a r c h 项。( 2 9 ) 式应满足的条件是 m 0 ； 口。0 ，i = l ，2 ，q ； 属0 ，i = l ，2 ，p ； o ( 。a ，+ ：，屈) o 表示利好消息，占， 0 ，6 。使得正规化的最大值序列( m 。- b 。) a 。是依分布收敛的。 即对某个非退化的分布函数h ( x ) ，当n 斗。时有 p ( m 。一b n ) a 。x = f ”( a n x + 6 。) 日( 、 口 则称h ( x ) 为一个极大值分布，简称极值分布。同时称f 处于日( 砷的最大吸引场 中，记为f m d a ( h ) 。 第二节p o t 模型 p o t 模型是对样本中超过某一充分大的阈值的所有观测值进行建模，它被 认为是实际应用中最有用的模型之一。 一、广义帕雷托分布( g p d ) 广义帕雷托分布的分布函数含有两个参数： g 那= 1 ：饕：瓣第 其中， o ，当f o 时，石0 ；而当孝 o ，g 即是重新参数化 的普通帕雷托分布，是厚尾分布，其形状参数为口= 1 善；若善= o ，对应的是指数 分布；若4 o 时广义帕雷托分布是厚尾的，所以这种情形与风险测量是最相关的。 正态分布具有有限的各阶矩，而厚尾分布并不拥有完整的矩集合。善 o 时广义 帕雷托分布的所有大于等于l 孝的各阶矩都是无限的，即对| i 1 f ，e ( x ) 不是 有限的。例如善= 1 2 时，广义帕雷托分布是方差无限的分布；当f = 1 4 时，广义 帕雷托分布的四阶矩是无限的。 第三章极值理论及p o t 模型 用“表示一充分大的阈值，假设超过闽值“的样本个数为。，用x 1 ，”，x 机 表示超过阈值的样本观测值，设k = z ，一“，i = l ，2 ，。a 令x 。= s u p x r ；f ( x ) “) ，0 - 。如 果样本数据来自分布函数，点图就会近似为直线。从而可利用这种方法找到合 适的z ，值。 要正确估计亭、p 就要选取适当的阈值”。太高的阈值“会导致太少的超额 数，从而参数估计的方差会太大；而太小的阈值“则会产生有偏的估计量。实际 中。“的选取是根据广义帕雷托分布的超额均值函数e ) 的线性性质得到的。 若随机变量x 服从嚷口( x ) ，则其超额均值函数为 鼬瞵一群i x 炉筹 其中，f 0 时，x o ；孝 o 时，o 工一卢店。显然p ( “) 是“的线性 函数。 给定样本x 。，k 时，p ( “) 可以由样本超额均值函数估计： 悸；- u ) + e n ( “) = 型 即e ( u ) 为超过闽值”的超额数x ；一“之和除以超过阈值”的样本个数。 可以通过样本超额均值函数图形选取适当的阈值 。作散点图 ，e ( “) ) ) ( x i “ f ( d ) ，则反解式( 3 2 ) 能计算得到v a i l 的估计： v a r q 讲譬嘧( 1 g ) ) _ 。) 限s ， ( 五) 极值法的优点及缺陷： 极值理论的优势在于：第一、可以准确地描述分布尾部的分位数；第二、 具有解析的函数形式，计算简便。第三、它直接处理损失分布的尾部，且没有对 损失数据预先假设任何的分布，而是利用数据本身说话。 但利用极值法计基操作风险存在几个缺陷；第一、它有特定的应用范围， 只适用于描述尾部的分布，这是由极值理论的自身特点决定的：第二、参数不确 定性。即使有充足的、高质量的数据来处理以及有很好的模型，参数估计仍存在 9 第三章极值理论及p o t 模型 标准误差；第三、模型不确定性。利用极值法至少能处理很好的一类模型，但它 们在高阈值上才适用，从而不得不考虑阈值的设定问题；第四、应用极值理论需 要大量的历史数据，然而最后能用于估计尾部分布的数据却少得可怜，这造成了 大量得数据浪费，会丢失许多有用的信息。 第匹章实证检验 第四章实证检验 第一节数据来源及收益率分布正态性检验 一、样本数据的选取及数据来源 本文实例选取上证a 股指数和深证a 股指数日收盘价，样本数据选取1 9 9 6 年1 月2 曰至2 0 0 4 年6 月1 5 日共8 年半的2 0 3 5 个数据为基础数据，得出上证 a 股指数( 同样对深谭a 股指数) 的日自然对数收益率( r ，= 1 n ) 共2 0 3 4 d t - 1 个数据，然后以这些自然对数收益率为该研究总体的样本。本文选取的上证a 股指数和深证a 股指数日收盘价数据来源于同花顺网站。 二、自然对数收益率分布特征的正态性检验 金融风险通常通过价格的变化来测量风险。使用对数回报有很多优点：对 数回报的范围扩展到整个实数域；多期对数回报只是单期对数回报的和；由 于推导时间序列之和的性质比推导时间序列之积的性质要容易得多，所以，对数 回报的定义使回报的统计建模交得更为简单，并且在期权以及其他复杂衍生证券 定价时，连续复利也得到广泛应用，园此对数回报成为金融建模中的标准工具。 这里我们采用每日收盘价的自然对数收益率来表达股指价格的变化。 v a r 模型中，分析方法通常假定金融工具的回报服从正态分布，下面对1 5 2 4 个自然对数收益率( 1 9 9 6 0 i 0 2 - - 2 0 0 2 0 4 2 9 ) 的分布进行检验，看其是否满足正 态分布假设。 在本文第二章第二节中已经介绍过q q 图的使用，它可以最简单、最直观地 检验指数对数收盏分布是否服从正态分布，如果它服从正态分布，那么它们在 q q 图上应该是一条直线，而从图4 - - 2 和4 - - 5 可以看出图线是曲线而非直线， 由此推知各对数指数收益的分布不是正态分布。或许用q q 图来检验有些过于粗 糙，用偏度、峰度、j a r q u e b e t a 统计量( 以下简称j b 统计量) 也同样可以验证 我们的结论。众所周知，正态分布偏度为0 、峰度为3 ，从图4 一l 和图4 - - 4 的 第四章实证检验 结果可以看出各对数收益的偏度明显不为0 、峰度明显大于3 。 s e r i e s ：l n r s a m p l e11 5 2 4 0 b s e r v a t i o n s1 5 2 4 m e a n m e d i a n m a x j m u m m i n i m u m 洲d a v , s k e w n e s s k u r t o s i s 0 ，0 0 0 7 4 9 o 0 0 0 9 3 1 o 0 9 4 8 d g _ 0 1 0 4 4 6 8 0 0 1 8 9 7 2 - 0 ，2 8 4 8 4 9 8 4 9 9 2 9 c j a r q u e - b e r a 1 9 4 0 图4 - - l 上证指数1 9 9 6 0 i 0 2 2 0 0 2 0 4 2 9 的分布图 进一步考察偏度与峰度，发现上证指数和深成指数的偏度大于0 。偏度大子 0 ( 正偏) ，说明收益分布曲线右边拖着长长的尾巴，众数向左偏，也就是说收益 率低于平均收益率的天数要多于总天数的一半。两个指数的峰度都大于3 ，说明 它们的对数收益分布与正态分布相比是尖峰厚尾的，涨跌幅度较大和较小的天数 比正态分布所预言的要多。 图4 - - 2 上证指数对数收益率的正态分布检验q q 图 ，6e早a胃 第四章实证检验 图4 - - 3 上证指数对数收益率左尾正态分布检验q q 图 图4 4 深成指数1 9 9 6 0 i