重庆市江北中学高三数学上学期期中试题 理 新人教A版.doc

2012-2013学年重庆市江北中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）复数z=1i的虚部是（）a1b1cidi考点：复数的基本概念专题：计算题分析：根据复数的代数形式得复数的虚部解答：解：根据复数的概念得，z=1i的虚部是1，故选b点评：本题考查了复数代数形式的概念，属于基础题2（5分）己知a=x|y=，b=y|y=x22，则ab=（）a0，+）b2，2c2，+）d2，+）考点：交集及其运算专题：计算题分析：利用函数的定义域与值域求出集合a，b，然后求出它们的交集解答：解：a=x|y=x|x2=2，+），b=y|y=x22=y|y2=2，+），所以ab=2，+）故选d点评：本题考查函数的定义域与值域的求法，交集的运算，考查计算能力3（5分）（2009北京）“”是“”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件考点：充要条件专题：计算题分析：当=时，cos2；反之，当时，kz，或所以“”是“”的充分而不必要条件解答：解：当=时，cos2，反之，当时，可得，kz，或，“”是“”的充分而不必要条件故应选a点评：本题考查充分条件、必要条件、充分条件，解题时要认真审题，仔细解答4（5分）函数零点的个数是（）a2b3c4d5考点：函数的零点专题：计算题；函数的性质及应用分析：函数的零点即的根，设h（x）=3sin（x），g（x）=log2x，在同一坐标系内作出g（x）和h（x）的图象，通过讨论h（x、g（x）的单调性与最值，得它们有且仅有3个交点，由此可得原函数零点的个数解答：解：函数的零点即方程的根，由此可得设h（x）=3sin（x），g（x）=log2x，在同一坐标系内作出g（x）和h（x）的图象函数g（x）=log2x是对数函数，因为21，所以图象为经过点（1，0）的增函数的曲线而h（x）=3sin（x）的周期为t=4，在原点的右侧它的第一个最大值点为x=1，对应图中a（1，3），第二个最大值点为x=5，对应图中b（5，3）log253，曲线g（x）=log2x经过点b的下方，在b的左右各有一个交点当x8时，log2x3，两个函数图象有3个交点；而当x8时，h（x）=3sin（x）3g（x）=log2x，两图象不可能有交点h（x）=3sin（x）与g（x）=log2x的图象有且仅有3个不同的交点，得函数的零点有3个故答案为：b点评：本题给出含有三角函数和对数的函数，求函数的零点的个数，着重考查了基本初等函数的单调性、最值和函数零点的求法等知识，属于中档题5（5分）函数y=3sin（2x）（x0，）的单调递增区间是（）a0，b，c，d，考点：复合三角函数的单调性专题：计算题分析：先利用三角函数的诱导公式将三角函数中x的系数化为正的，将函数y=3sin（2x）（x0，）的单调递增区间转化为函数y=3sin（2x+）的递减区间，然后通过整体角处理的方法来解决解答：解：因为y=3sin（2x）=3sin（2x+）所以函数y=3sin（2x）（x0，）的单调递增区间是函数y=3sin（2x+）的递减区间，令，解得，又因为x0，所以x，故选b点评：本题考查再解决三角函数的性质问题时，常采用的手段是整体角处理，注意应该先将x的系数化为正，属于基础题6（5分）已知等差数列an的前n项和为sn，a5=5，s5=15，则数列的前100项和为（）abcd考点：数列的求和；等差数列的前n项和专题：计算题分析：由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得=，裂项可求和解答：解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n1）d=1+（n1）1=n=1=故选a点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题7（5分）（2010舟山模拟）在abc中，cos2=，（a，b，c分别为角a，b，c的对边），则abc的形状为（）a正三角形b直角三角形c等腰三角形或直角三角形d等腰直角三角形考点：解三角形专题：计算题分析：利用二倍角公式代入cos2=求得cosb=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形解答：解：cos2=，=，cosb=，=，a2+c2b2=2a2，即a2+b2=c2，abc为直角三角形故选b点评：本题主要考查了三角形的形状判断考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用8（5分）若，则f（2012）等于（）a0bln2c1+e2d1+ln2考点：函数的值专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题设知f（2012）=f（0），再由定积分能求出结果解答：解：，f（2012）=f（0）=e0+ln2=1+ln2故选d点评：本题考查分段函数的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意定积分的合理运用9（5分）（2012天津）已知abc为等边三角形，ab=2设点p，q满足，r若=，则=（）abcd考点：平面向量的综合题专题：计算题；压轴题分析：根据向量加法的三角形法则求出，进而根据数量级的定义求出再根据=即可求出解答：解：，r，abc为等边三角形，ab=2=+（1）=22cos60+22cos180+（1）22cos180+（1）22cos60=22+2+2=424+1=0（21）2=0故选a点评：本题主要考查了平面向量数量级的计算，属常考题，较难解题的关键是根据向量加法的三角形法则求出然后再结合数量级的定义和条件abc为等边三角形，ab=2，=即可求解！10（5分）（2011辽宁）若为单位向量，且=0，则的最大值为（）a1b1cd2考点：平面向量数量积的运算；向量的模专题：计算题；整体思想分析：根据及为单位向量，可以得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得解答：解：，即+0，又为单位向量，且=0，而=3232=1的最大值为1故选b点评：此题是个中档题考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力二填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11（5分）设i是虚数单位，则=考点：复数代数形式的乘除运算分析：先进行幂的运算，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可解答：解：=故答案为：点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，i的幂的运算，是基础题12（5分）（2012广东）曲线y=x3x+3在点（1，3）处的切线方程为2xy+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：先求出导函数，然后将x=1代入求出切线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，最后化成一般式即可解答：解：y=3x21令x=1得切线斜率2所以切线方程为y3=2（x1）即2xy+1=0故答案为：2xy+1=0点评：本题主要考查导数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查直线的点斜式，属于基础题13（5分）设的最大值为16，则=考点：指数型复合函数的性质及应用专题：计算题分析：先利用配方法求内层函数t=x26x+5的最小值，再判断外层函数y=（sin）t的单调性，最后利用单调性求函数的最大值，由已知列三角方程，即可解得的值解答：解：设t=x26x+5=（x3）24，则t4（0，），sin（0，1）y=（sin）t为关于t的减函数当t=4时，即x=3时，函数取得最大值y=（sin）4=16，sin=故答案为点评：本题主要考查了指数型复合函数的单调性和最值的求法，指数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，简单的三角方程的解法，属基础题14（5分）（2008山东）已知a，b，c为abc的三个内角a，b，c的对边，向量=（，1），=（cosa，sina）若，且acosb+bcosa=csinc，则角b=考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；三角函数的积化和差公式专题：常规题型；压轴题分析：由向量数量积的意义，有，进而可得a，再根据正弦定理，可得sinacosb+sinbcosa=sinc sinc，结合和差公式的正弦形式，化简可得sinc=sin2c，可得c，由a、c的大小，可得答案解答：解：根据题意，由正弦定理可得，sinacosb+sinbcosa=sincsinc，又由sinacosb+sinbcosa=sin（a+b）=sinc，化简可得，sinc=sin2c，则c=，则，故答案为点评：本题考查向量数量积的应用，判断向量的垂直，解题时，注意向量的正确表示方法15（5分）对于下列命题：在abc中，若sin2a=sin2b，则abc为等腰三角形；已知a，b，c是abc的三边长，若a=2，b=5，则abc有两组解；设，则abc；将函数图象向左平移个单位，得到函数图象其中正确命题的序号是考点：命题的真假判断与应用；函数y=asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：由于sin2a=sin2b，则2a=2b，或2a+2b=，可以得到以abc为等腰三角形或直角三角形；由正弦定理可求出sinb的值，进而判断的正误；依据三角函数的诱导公式求出a，b，c的值，进而得到命题正误；依据图象左加右减的原则，再由诱导公式，可判断命题的真假解答：解：、由于sin2a=sin2b，则2a=2b，或2a+2b=，a=b，或a+b=，所以abc为等腰三角形或直角三角形，故此命题错；、由正弦定理知，显然无解，故此命题错；、=，abc，此命题正确；、由于=，所以此命题正确故答案为 点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了正弦定理和三角函数的一些性质，我们要对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论三解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16（13分）已知数列an 的前n项和为sn，满足sn=2n2n，且a1，a2依次是等比数列bn的前两项（1）求数列an 及bn的通项公式；（2）是否存在常数a0且a1，使得数列anlogabn（nn+）是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由考点：等差数列与等比数列的综合专题：等差数列与等比数列分析：（1）由关系式求出an，注意验证n=1时是否符合，再求出a1，a2的值，作商求出公比，再代入等比数列的通项公式求出bn；（2）先假设存在，再由（1）求出anlogabn进行整理，列出常数列的等价条件，求出a的值并与范围进行比较，再下结论即可解答：解：（1）由题意知，sn=2n2n，当n=1时，a1=s1=1，当n2时，an=snsn1=2n2n2（n1）2（n1）=4n3，又n=1时，4n3=1，也符合上式，an=4n3，a2=5，则，（2）假设存在常数a0且a1满足条件，由（1）得anlogabn=4n3（n1）loga5=（4loga5）n3+loga5，数列anlogabn（nn+）是常数列，4loga5=0，解得，故存在常数a0且a1，使得数列anlogabn（nn+）是常数列点评：本题考查了等差和等比数列的通项公式和前n项和公式，以及的应用，还有存在性问题，一般是先假设存在，再由条件进行求解，最后于条件进行对比即可17（13分）已知向量=（cos，sinx），=（cos，sin），且x0，（1）求|（2）设函数f（x）=|+，求函数f（x）的最值及相应的x的值考点：平面向量的综合题专题：平面向量及应用分析：（1）利用模长公式，结合和角的余弦公式，可求|；（2）利用二倍角公式，结合配方法，可求函数f（x）的最值及相应的x的值解答：解：（1）=（cos，sinx），=（cos，sin），|=x0，|=2sinx；（2）=，0sinx1sinx=，即x=时，；sinx=1，即x=0或时，fmin（x）=1点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题18（13分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是为为，；两人租车时间都不会超过四小时（）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率（）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望e考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式专题：计算题；应用题分析：（）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可（）随机变量的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可解答：解：（）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为：，甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=（）随机变量的所有取值为0，2，4，6，8p（=0）=p（=2）=p（=4）=p（=6）=p（=8）=数学期望e=点评：本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查利用所学知识解决问题的能力19（12分）已知函数f（x）=sin2xcos2x，（xr）（1）当x，时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设abc的内角a，b，c的对应边分别为a，b，c，且c=，f（c）=0，若向量=（1，sina）与向量=（2，sinb）共线，求a，b的值考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦专题：综合题；解三角形分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；（2）根据c的范围和f（c）=0可求出角c的值，再根据两个向量共线的性质可得sinb2sina=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值解答：解：（1）函数f（x）=sin2xcos2x=sin2xcos2x1=sin（2x）1，x，2x，则sin（2x），1函数f（x）的最小值为1和最大值0；（2）f（c）=sin（2c）1=0，即 sin（2c）=1，又0c，2c，2c=，c=向量=（1，sina）与=（2，sinb）共线，sinb2sina=0由正弦定理，得 b=2a，c=，由余弦定理得3=a2+b22abcos，解方程组，得 a=1，b=2点评：本题主要考查了两角和与差的逆用，以及余弦定理的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题20（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x2+ax3（1）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（2）对一切x（0，+），2f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x（0，+），都有成立考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：计算题；压轴题分析：（1）对函数求导，根据导函数与0的关系写出函数的单调性和区间，讨论所给的区间和求出的单调区间之间的关系，在不同条件下做出函数的最值（2）根据两个函数的不等关系恒成立，先求出两个函数的最值，利用最值思想解决，主要看两个函数的最大值和最小值之间的关系，得到结果（3）要证明不等式成立，问题等价于证明，由（1）可知f（x）=xlnx（x（0，+）的最小值是，构造新函数，得到结论解答：解：（1）f（x）=lnx+1，当，f（x）0，f（x）单调递减，当，f（x）0，f（x）单调递增，t无解；，即时，；，即时，f（x）在t，t+2上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；（2）2xlnxx2+ax3