（基础数学专业论文）dirichlet除数问题与pjateckiisapiro素数定理.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：冯海亮 勒嫁夥 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 丝可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：玛泛季充 导师签字 常匆 签字日期：2 0 0 年牛月乃日签字日期：2 0 0 年争月。日 山东师范大学硕士学位论文 d i r i c h l e t 除数问题与p j a t e c k e - s a p i r 。素数定理 冯海亮 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 本文研究了d i r i c h l e t 除数问题在p j a t c c k f f - s a p i r o 素数定理条件下和无k 次因 子数集合中的推广 数论中的一个著名问题就是研究除数函数d 的均值估计 d ( n ) = x l o g x + ( z 7 一1 ) 。+ l x ( z ) ， n o d i r i c h l e t 首先得到了余项的估计( 。) t 1 2 ( 1 8 4 9 ) 为了纪念他，人们把该问题叫 做d i r i c b l e t 除数问题后来，人们不断改进而得到了下面的结果： ( z ) z 1 3l o g x v o r o n o i ( 1 9 0 4 ) ( z ) x 2 7 8 2 v a nd e rc o r p u t ( 1 9 2 8 ) ( z ) x 3 4 6 1 ” k o l e s n i k ( 1 9 7 3 ) ( 茁) 卫3 5 l d 8l 0 9 2 。t ( o l e s n i k ( 1 9 8 2 ) ( z ) 2 ：2 3 7 3l 0 9 3 1 5 2 4 6zh u x l e y ( 1 9 9 3 ) ( 。) ：1 3 1 4 1 6l 0 9 2 6 9 5 7 8 3 2 0 。h u x l e y ( 2 0 0 3 ) 虽然这些结果越来越好，但离预期还有一段距离一一猜想( 未解决) 对任意小的正 数s ，有 ( ) ：7 1 4 托 同样的，人们也考虑在特定条件下的除数问题 h e a e k b r o w n 纠，1 w a n i c c 研究了算 数序列( 等差数列) 中的d i r i c h l c t 除数问题： = c 1 ( ，q ) x l o g x + c 2 ( o ，q ) 。十e ( z 旭q ) 。焉由) 设c 0 为固定实数，令7 r c 表示不超过实数z 的整数n 的个数，其中这些 整数满足： n 。 是一一个素数人们对这样的数感兴趣p j a t e c k i _ f - s a p i r o b l 首先证 山东师范大学硕士学位论文 明， ”c ( z ) 2 蠢( 1 + 。( 1 ) ) 对0 c 可1 2 成立其中，0 cs1 时是素数定理的显然推论；l c 1 2 时是 非显然结果，不能由素数定理得到令以表示不超过实数z 且满足上述条件的所 有整数，b a j o g 2 】当0 c 5 6 时，得到了 l = c l o ( 1 + 。( 1 ) ) g 2 2 。、 一。 本文第一章即研究了在p j a t e c k f f - s a p i r o 素数定理条件下的d i r i c h l e t 除数问题， 得到了 定理1 1 薹如) = 扣一：) 去+ o ( 俪) ， 对0 4 由于4 得不到很好的余项估汁，所以本章又研究了小区间上的问题，得到 定理2 2 设z 9 + 2 8 冬g z ，则有 d ( n ) f k ( n ) = c ( x4 - 口) l o g ( x + ) c x l o g x d y4 - o ( y z l 一十x o + v ) ， x n x + y 其中c ，d 是与k 有关的可算常数 关键词：d i r i c h l e t 除数问题，素数定理， 无k 次因子数 分类号：0 1 5 6 2 山东师范大学硕士学位论文 t h eg e n e r a t i o no fd i r i c h l e td i v i s o rp r o b l e mo v e r p j a t e c k i y - s a p i r op r i m et h e o r e m 重 e n gh a i l i a n g t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h eg e n e r a t i o no fd i r i c h l e td i v i s o rp r o b l e mo n t h ec o n d i t i o no fp j a t e c k f f - s a p i r op r i m et h e o r e m i nn u m b e rt h e o r y ，t h e r ei saf a m o u sp r o b l e mw h i c hi sa b o u tt h ee s t i m a t i o n o f ( z ) ，t h ee r r o rt e r mi n t h ea s y m p t o t i cf o r m u l af o r d ( 扎) ，w h e r ed ( n ) i st h e n u m b e ro fw a y snc a nb ew r i t t e na sap r o d u c to ft w of a c t o m u pt on o w ，p e o p l e h a v eg o tm a n yg o o dr e s u l t s ， a ( x ) z 1 2d i r i c h l e t ( 1 8 4 9 1 ( z ) x t 3l o g xv o r o n o i ( 1 9 0 4 ) ( z ) z 2 7 8 2 v a nd e rc o r p u t ( 1 9 2 8 ) a ( x ) z 劓6 】0 6 7k o l e s n i k ( 1 9 7 3 ) ( z ) x a 5 m 8l 0 9 2 。 k o l e s n i k ( 1 9 8 2 ) ( z ) 户码l 0 9 3 1 5 1 “z h u x l e y ( 1 9 9 3 ) a ( z ) x l z x 4 1 6 l 0 9 2 6 9 5 7 8 3 2 0zh u x l e y ( 2 0 0 3 ) b u tt h e r ei ss o m ed i s t a n c et oo u re x p e c t e dg o a l m a n yp e o p l eb e l i e v et h a tf o ra n y s m a l lp o s i t i v er e a ln u m b e re jw eh a v e ( z ) x l 4 扣 s i m i l a r l y , p e o p l eh a v ec o n s i d e r e dt h ed i v i s o rp r o b l e m so nc e r t a i nc o n d i t i o n s h e a l t h - b r o w n ，1 w a n i c cs t d u d i e dt h ep r o b l e mu n d e rt h ec o n d i t i o no fa r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n l e tcb eap o s i t i v ec o n s t a n ta n dl e t7 r c ( z ) d e n o t et h en u m b e ro fn 冬zf o r w h i c h n 1i sp r i m eh e r e 矧d e n o t e s ，a su s u a l ，t h ei n t e g r a lp a r to f0 i ti se a s yt o 3 山东师范大学硕士学位论文 p r o v e ，u s i n gt h ep r i m en u m b e rt h e o r e m ，t h a t 7 r 。( z ) 一z ( c l o g z ) f o r0 e 1 w h e n1 c 2 ，o n es t i l le x p e c t st h ea b o v ef o r m u l at oh o l d ， b u ti fc = 2 ，t h e n 【n 。】i sa l w a y saa q u a r e ，s ot h a t 丌2 ( z ) = 0 p j a t e c k f f - s a p i r o 1 1 】 s h o w e di td o e si n d e e dh o l df o r1 c 雨1 2a n dh e a t h b r o w n 目e x t e n d e dt h i sr a n g e t o 丽7 5 j 5 = 1 1 4 0 4 一 w h i l et h ep r o b l e mo fr e p r e s e n t i n gp r i m e sb yl i n e a rp o l y n o m i a l si sc o m p l e t e l y s o l v e db yd i r i c h l e t st h e o r e mo np r i m e si na r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n s ，i ti sn o tk n o w n i ft h e r ee x i s t sa n yq u a d r a t i cp o l y n o m i a lt h a tt a k e si n f i n i t e l ym a n yp r i m ev a l u e s o n ec a r lt h e r e f o r el o o ko nt h ei n v e s t i g a t i o no ft h ea b o v ef o r m u l af o r1 c l ，pi sap r i m ea n dci ss o m ec o n s t a n ts u c ht h a t0 e 1 ，a n dw eg e t t h e o r e m1 1l e t0 4 d ( 佗) ( n ) = g ( z + 口) l o g ( x + g ) 一c x l o g x + 珈+ o ( y z 枷+ z m ) z n z + ” w h e r ec ，da r ec o n s t a n t s k e y w o r d s ：d i r i c h l e td i v i s o rt h e o r e m ，p r i m et h e o r e m ，k - f r e en u m b e r c l a s s i f i c a t i o n ：0 1 5 6 5 山东师范大学硕士学位论文 符号说明 文中未加说明的字母均表整数以下是文中用到的符号的通用意义，个别地方 有不同含义则将明确说明 舅 汐 p ，p l ，p 2 ， m p n x p p 曼z p d i n n d ( n ) ，p ( n ) ( z ) ，( z ) g ( x ) 全体自然数，即正整数组成的集合 表示全体素数 表示素数( 不可约数) 表示实数。的整数部分 对不超过实数。的正整数n 求和 对不超过实数z 的素数p 求和 对n 的所有正除数求和 对所有的素数p 求积 分别表示除数函数和e u l e r 函数 表任意小的正常数 表d i r i c h l e t 除数问题的余项 即，( z ) = o ( 9 ( z ) ) 6 些查堕蔓查兰堡主兰垡堡塞一 第一章d i r i c h l e t 除数问题与p j a r e 出辩每a p i r o 素数定理 51 1 引言 d i r i c h l e t 除数问题介绍 设d ( 。) ：1 ，n 数论中的一个著名问题就是研究除数函数d ( n ) 的均值 d l “ 估计 - _ d ( n ) = x l o g x + ( 2 1 1 ) 。+ 0 ) ， ( 1 ) 磊： d i r i c h l e t 首先得到了余项的估计( z ) x i 2 为了纪念他对该问题的贡献，人们把 这个问题叫做d i 。i c h i e t 除数问题后来，人们不断改进而得到了下面的结果： b ) z l 3l o g a ： v o r o a o i ( 1 9 ( 1 4 ) f z ) a ：2 7 8 2 v a nd e rc o r p u t ( 1 9 2 8 ) l x ( z 1 e 3 4 6 1 0 6 7 k o l e s n i k ( 1 9 7 3 ) ( ) 口c 3 5 1 0 8l 0 9 2z k o l e s n i k ( 1 9 8 2 ) ( z ) x 2 3 7 3l o g a l 5 1 4 6 。h u x l e y ( 1 9 9 3 ) 仕) z 1 3 1 4 1 6l 0 9 2 6 9 5 7 8 3 2 0zh u x l e y ( 2 0 0 3 ) 虽然这些结果越来越好，但离预期还有一段距离一一猜想( 未解决) 对任意小的正 数岛有 ( z ) z 1 4 托 一般的，设如( 乞) 表示n 可以写成k ( 2 ) 个因子的乘积的表法个数，即 人们研究氐( n ) 的余项 乱( z ) = 出( n ) 一。兄一1 ( 1 。g z ) ， ( 2 ) n 0 为固定实数，”。( 。) 表示不超过x 且其c 次幂的整数部分是素数的整 数个数，即 孔( z ) = l ， ( 4 ) p = n c 】 其中p 是素数， 瑚表示z 的整数部分利用素数定理可以很容易地证明 c ( z ) 一z ( c l o g z )( 5 ) 对0 c 1 成立人们自然希望当1 c 2 时仍有上面的结果成立然而，事实 是当c = 2 时，”】总是一个完全平方数，所以现f z ) = 0 p j a t e c k i _ i - s a p i t o 1x 】首先 证明了当1 c 订1 2 时 n c ( z ) 2 志( 1 + 。( 1 ) ) ( 6 ) ”c 2 瓦五( 1 + o ( 1 ) ) ( 6 ) 成立其中，0 csl 时是素数定理的显然推论；1 c 玎1 2 时是非显然结果， 8 山东师范大学硕士学位论文 不能由素数定理得到后来，人们不断改进面 吧c 的范围推广到tf 同各值 一1 0 k 0 1 e s n i k 【6 9 石6 9 g r a h a m 和l e i t m a n n 【4 】各自独立得到 6 2 一7 5 5 h e a t h - b r a w n 【3 】 6 6 2 塑 k o l e s i l i l 【 ” 3 4 芸 l l uh q 和r i - c a t 【1 8 】 1 3 器 r i v “2 3 l 另一方面，一次多项式中的素数问题已经由等差数列中的d i r i c h l e t 素数定理 完全解决但人们还不知道二次多项式中是否有无穷多的素数所以，我们可以把 i c 2 时对( 6 ) 式的研究视为对k 次多项式问题的过渡问题e 的可取范围给出 了一个二次多项式问题进展情况的测度值得一提的是d e s h o o u i u e r 1 3 中证明了， 在l e b e s g u e 测度下，几乎对所有的实数c 都有，r c ( x ) _ 。但是这个结论对c 的取 值问题没有丝毫帮助 令 = 乱2 ：p 产l 泸) ， 则( 6 ) 6 可以另写为 以( z 壶( 1 + 。( 1 ) ) b a l o g 2 研究了以中素数个数，当0 c 5 6 时 三主要结果 设d “( z ) 表示对不超过x 且属于的整数的除数个数求和，即 d 以( z ) ：= d ( n ) 袅 9 啪 呈索 # = 毗 山东师范大学硕士学位论文 我们可以证明 定理1 1 叫垆；( 2 7 - ；) 毒+ o ( 盯。库) 对0 c 0 是常数 1 2 主要引理 下面是本章用到的一些引理： 弓l 理1 i 设n 1 茎2 n ，则 ( 8 ) e ( ) m i n ( ，盯1n 1 _ 4 + ( i a i n 4 ) 1 7 2 ) ( 9 ) n n l 证明：见h e a 七h _ b r o w n f 3 】引理1 口 记 k o = 峥d 3 ( m ) i f ( m n ) l ， ( 1 0 ) m = l z n n l o = s u p d a ( m ) l f ( m n ) l ， ( 1 1 ) r n = l u n 茎” 其中工。是对满足k ( n ) j d 3 ( n ) 的算术函数9 ( n ) 求上确界则有 引理1 2 设3 曼 w z z 时，( n ) = o ；当z 2 n 茎时，l ，( n ) i 茎f o 那么 a ( n ) ，( n ) k ol o g z + f o + l o ( 1 0 9 z ) 8 ( 1 2 ) n 证明：见h e a t h - b r o w n 3 】引理3 引理1 3 设1 n z ，则 ) = 篙三薪c o s c a ”历一孙。( 需， 1 0 口 ( 1 3 ) 山东师范大学硕士学位论文 引理1 4 设o ( ，n ) l ，6 ( m ) 1 ，则 n ( h ，n ) m m 2 mb ( m ) e ( x 丽h f l n 而 7 r n a h h 2 hn a 则有下面两个引理 引理1 5 设c g ，则 l = s u p d 4 ( m ) i 9 ( n ) c ( h ) e ( 2 h 1 1 2 m q 2 n 。2 ) m = 1 u n h o h 2 h o p 3 a 4 _ 拈拼4 其中c ( h ) 1 ，l 是对满足1 9 ( n ) isd a ( n ) 的算术函数9 ( n ) 求上确界 证明：令m ( m ，2 m 1 ，n ( n ，2 n i ，p m n p 1 “sn 由二分法 l ( 1 0 9p ) 2 c ( h ) d 4 ( - ，) e m h o h 2 h om h 2 m 9 ( n ) e ( 2 1 2 m 。2 n 。2 ) ( 1 4 ) 口 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 其中i e 。i = 1 由引理1 4 ，得 l 慨p ) 丽h l 2 p c 2 ) l 4 + 瓦南 l l 、 + 莉i 十( h j l 2 p a 1 2 ) 1 1 2 砭2 0 瑶7 8 p 1 2 + a 8 n 1 4 + 瑶4 p n 一1 4 + 日o _ pl 2 n 1 2 + 日；4 p 1 一。4 )( 1 9 ) 因为 l h o n = p 2 一叶船 1 l 山东师范大学硕士学位论文 所以当 时，l p a , x 4 咄瑶4 p 4 3 0 + 2 4 。n p 2 ( d 1 ) 一1 5 5 引理1 6 设c 4 ，c ( ) 1 ，则 ( 2 0 ) 口 耻p 搬p 至州叫i ：岛凰墓凰“砷啦卢舻肛铲肛) | p 3 。4 一”瑶卢 ( 2 1 ) 证明：令m ( m ，2 m ，n ( ，2 n ) ，p m n p i n z 由二分法 k 0 0 9 p ) 2 c ( ) d 3 ( m ) e m 矾 h 2 h a m h 2 m e ( 2 h 1 2 m 。7 2 n 。，2 ) n n 2 n ( 2 2 ) 当m 一时，对札由引理1 ，1 得 一啪 ( 华) l 2 l 2 + 毒) 瑶7 4 一+ 。4 h ：7 4 p 3 。4 6 ； ( 2 3 ) 当p 6 m p 1 2 时，由引理1 5 及( 2 0 ) 式得 k h ；，4 p 5 + 。4 日：7 4 p 3 。4 5 ( 2 4 ) 当p 1 2 m p 1 2 w 时，有p 1 2 5 n p 1 2 ，从而由c 5 ， 再对n 应用引理1 5 及( 2 0 ) 式得 k 瑶7 4 一+ 。4 瑶4 p 3 。札 ( 2 5 ) 引理得证 设 则有 = d ( n ) ，n = l c p z 。p o n ! ( p 十e 卜 口 ( 2 6 ) 引理1 7 = 一+ 。r ( 2 7 - a ) ，：l o g z + 吣e x p ( 一一瓜) ) 】o c ； ( 2 7 ) 山东师范大学硕士学位论文 证明：由d i r i c h l e t 除数定理 = d ( n ) 尸z 。p 。 n 曼( p + i ) 0 = ( p 十1 ) 。l o g ( p + 1 ) 。+ ( 2 7 一1 ) ( p + 1 ) 。+ ( ( p + 1 ) 。) p z 。 一p 。l o g p 。一( 2 7 1 ) p o 一( p 。) ) = d 2 p ”1 l o g p 十2 7 。矿- 1 + o ( p a - 2 l o g p ) 由素数定理 所以 令 + ( ( o 十1 ) 。) 一( p 。) ) p s z 。 e p 。一1 o g p = d 一1 z z l o g x + o ( x e x p ( 一c ，、，1 ；i ) ) p 曼o 。 、 p ”1 = x 1 。g x + o ( xe x p c ，弧面) p z 。 p a - 2 l o g p ，。 p ! z 。 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) = 。+ a ( 2 7 一o ) 。l o g x + o ( x e x p ( 一el o v 面) ) + ( ( 扫+ 1 ) 。) 一( p 。) ) ( 3 2 ) p 三 t = ( ( ( p + 1 ) 。) 一( p 。) ) 2 p x 。 我们只需证明，对任意0 c ，都有 t 。l 与c 有关 当0 c 0 6 8 5 时，由于 ( 。) z 4 1 61 0 9 2 6 。5 7 8 3 2 0 。 所以 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) t ( c o + 1 ) 1 3 1 8 7 4 1 6l o g 哪吼8 3 2 0 0 + 1 ) + p 1 3 1 。4 1 6l 0 9 2 6 9 5 7 。8 3 2 0p ) p s z x 1 3 1 4 1 6 + 。1 0 9 2 6 9 5 7 c , 8 3 2 0z $ 。5 ( 3 6 ) 1 3 山东师范大学硕士学位论文 当o 6 8 5 茎c 1 时，利用二分法 t l o g z l ( ( ( 尸+ 1 ) 。) 一( p 。) ) j ( 3 7 ) p p 2 p 对某l p 成立 令 t ( p ) =( ( ( p + 1 ) 。) 一( p 。) ) ， p p 兰2 p m ( t ) = ( ( 扫+ 1 ) 。) 一( p 。) ) i o g p p p t ( 3 8 ) ( 3 9 ) 则由s t i e l t j c s 积分 t c 耻f ”掣， = 鬻2 p + f p 聊，毒l o ， l o g，p”7 一 、1 所以，要证明( 3 4 ) 只需证明 因为 由( 3 5 ) 式 m ( p i ) p ”。，p p l 2 p ( 4 1 ) m ( p 1 ) = a ( m ) ( ( ( m + 1 ) “) 一a ( m 。) ) p m p 1 + o ( l o g p ( a ( ) + t ) 。) 一汐。) ) ) ， ( 4 2 ) 所以，我们只需证明 其中 f l o g p ( a ( ( p 十1 ) 。) 一扫2 。) ) p p “! p t ，k 2 p 胁7 “6l o g 卿5 7 7 8 3 2 0 + 2p p 2 p + 1 3 1 0 4 1 6l 0 9 2 6 9 5 7 8 3 2 0 + 2p p 。5 ，( 4 3 ) s ( p 1 ) p 。一，尸 p l 2 p ( 4 4 ) s ( p 1 ) = a ( m ) ( ( 胁+ 1 ) 。) a ( m “) ) ( 4 5 ) p m 墨p l 1 4 山东师范大学硕士学位论文 由引理1 3 ，取n = p 2 “+ 雠，利用分部求和及( m 十i ) 。= m 。+ o ( m ”1 ) ，对某 p 岛p 1 滟卜户篆r 撕，骂# 三搿酬a ”厕一i 7 f ， 一胁e 姊a ( m ) m 西o 4 岛x - 、d 丽( n ) c o s ( 4 ”厮扩7 1 - 。( 州 ( 4 6 ) = p m ；p la ( m ) 等暑筹c o s m 厮可一 一p 蒹 撕，警暑鬻c o s c a ”厮吲7 1 - + o ( 一i ，蒹r m 西1 4 忽fd n 3 ( n t ) c o s 沏俪而书 + 0 ( p ) ， ：= s l + 岛+ o ( p 一1 s j l ) + o ( p 。一) 所以我们只需证明 令 则由 令 s l p 。5 岛p ”5 t 1 ：ea ( m ) m 叩e 籍e ( 2 厮) ， p ( t n p i n n t 2 ：a ( m ) m 妒豁 e ( 2 而两两i ) 一e ( 2 、磊孬) ) p r n p l a n c 。s ( z ) = e 。z 1 + 厂e - 一* z ，i 是虚数单位， s l l 蜀l + f t 2 i ， t l ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) 肌( z ) = e ( 2 石石i f 一2 而) 一i ，( 5 5 ) 1 5 山东师范大学硕士学位论文 则对一切p z 茎p 1 ，有 站( 。) n i l 2 p 。2 1 矗( z ) n i l 2 p 矾以 从而由s t i e l t j e s 积分 t 2 = a ( m ) m 。4 箬碧e ( 2 面丽) 如( m ) p c ( m 尸l n n ：竺芸a ( m ) m 州e ( 2 而而蕊( m ) j 3 4 厶 。o 2 三搿f “踟，蒹。a ( m 胪4 e ( 。 丽) = 豢碧 蜘( p 】) a ( m ) m 。4 e ( 2 ；磊再) 一 n n 。 p m ! p 1 上1 a ( m ) , ；q a 4 e ( 2 v 7 i 弄再) 矗( t ) 出) 。p m j p 妒。羰i a ( m ) m 0 4 e ( 2 俪) l ， 其中p p asp 1 设 t 3 = p 妒。1 筹a ( m ) m “4 e ( 2n y 丽) ， 2 i p ， 码p ”。 由二分法和分部求和，对某l l 有 t l l o g n 籍1 a ( m ) 4 e ( 2 而再) n 1 n _ 2 n l 。 p m ! p l p 。4 3 4 + 8 酬， 其中 列= a ( m ) ( n ) e ( 2 厮石) ，“( n ) 1 ， 1 6 ( 5 6 ) ( 5 7 ) ( 5 8 ) ( 5 9 ) ( 6 0 ) ( 6 1 ) ( 6 2 ) 【6 3 ) ( 6 4 ) 死十n s 明正需只们 则 我 山东师范大学硕士学位论文 p 只sp 1 因此，为证n p 。一，只需证 叫p 3 。 4 - - 5 z 研4 同样的，为证码p ”5 ，只需证 其中 p 1 + 。“s 硝一 驾= a ( m ) 6 ( n ) e ( 2 而矛) p m p 5n 2 n _ 2 n 2 6 ( n ) 1 ，i 2 n ，p 咫p 3 令 t = a ( m ) c ( ) e ( 2 以丽) ， p m _ p oh o h 2 h o 其中p p osp 1 ，1 凰n ，c ( h ) 1 下面只需证 t p 3 。4 - 5 e 瑶一 由引理1 2 ，得 t k l o g p + h o + l ( 1 0 9 p ) 8 ( 6 5 ) ( 6 6 ) ( 6 7 ) ( 6 8 ) ( 6 9 ) ( 7 0 ) 其中 肚，瀣p 薹如删z n p o 凰磊凰c 忡胆舻门扩胆( 7 1 ) 工= s u p d 4 ( m ) j 目( n ) c ( h ) e ( 2 h m m 枷n 枷) l ， ( 7 2 ) m = l u n 至 h o h _ 2 h o 其中c ( ) 1 ，l 是对满足1 9 ( n ) sd 3 ( 蚓的算术函数9 ( n ) 求上确界由引理1 5 和 引理1 6 知 t p 3 n 4 墙藤4 引理得证 1 7 口 些垄盟蔓盔堂塑主兰堡塑 1 3 定理证明 令n ：1 因为h 1 = p 当且仅当p 。n ( p + 1 ) 。，又n 曼$ 的必要条件是 p x c ；特别的，存在p ，使得p z 。 p + 1 所以 d ( n ) = d ( n ) + ，畿 9 s 。矿7 s ( p + 1 ) 。 n ( p ) 一6 ( p ) 一d d ( n ) ) p 茎。cp s 铲 # n ( ( p + 1 卜 ： +。( 7 3 ) 其中，当p o 是整数时，。( p ) = d ( p 。) ，否则n ( p ) = 0 ；当+ 1 ) 。是整数时， b ( p ) ：d ( ( p + i v ) ，否则b 扫) = 0 ；若存在尸使得p z 。 4 定理2 2 设z 卧豇y z ，则有 d ( n ) ( ) = c ( z + ) l o g ( x 十) 一c x l o g x + d y + o ( y x 一5 2 + 。) ， ( 7 9 ) x 时可展成绝对收敛的d i r i c h j e t 级数 证明：因为d ( n ) ， ( n ) 都是可乘的函数，所以 f k ( 扣耳c ，十掣+ 号些川 = 耳( 1 + 孑1 + 声3 + 1 + 黟k ) 舍 因为 h ( u ) = ( 。+ 1 ) 泸 d = 0 至铲2 击小i “ ， b + 1 ) 儿南小l 由时可展成绝对收敛的d i r i c h l e t 级数特别的， 踯) = 怒c 2 ( 3 讽( s ) ， 其中 啦( s ) = i i 1 + o ( p 咄) ) ， 当口 i 1 时可展成绝对收敛的d i r i c h l e t 级数 设 e 2 ( s )虽五( n ) e 3 ( 2 s ) 一惫舻 则 五( n ) = d ( m ) p 3 ( z ) n = m p 2 l ( 8 9 ) ( 9 0 ) 口 山东师范大学硕士学位论文 p 3 ( n ) 如下定义 即 p 3 ( n ) = p ( n 1 ) 芦( n 2 ) p ( n 3 ) ( 9 1 ) ( 9 2 ) 引理2 2 五坼) = a l z l 。gx + 8 1 。十。扛1 7 2 e 一。2 6 2 1 ) ， ( 9 3 ) n 茎。 其中，6 ( z ) = ( 1 0 9 x ) 3 5 ( 1 0 9 l o g ) ，c 2 0 是常数 证明： f 2 ( , o = d ( m ) m ( o n 9 州2 9 = m ( 0 d ( m ) + d ( m ) m ( f ) z ”m z p mr 2 女 f ， = 圳 主1 。g n 2 + ( 2 7 1 ) 暑+ ( 暑) + d ( m ) 删 蜒” 噶；。 ：= 1 十2 ( 9 4 ) 因为 所以 e 1 = p 3 ( f ) 盖1 。g 暑十p 3 ( 0 ( 2 - r 一1 ) 盖+ 肛3 ( z ) ( 盖) f 9。tu j 白 ：= + + e ( 9 5 ) p 3 ( n ) 。e 1 6 ，d ( z ) = ( 1 0 9 z ) 3 卢( 1 0 9 l o g x ) 1 卢， ( 9 6 ) n x 2 = d ( m ) m ( o m x y 2 y l y 一哪南地薹学 + o ( z y 一1 e 。g j o g 。一面( 叽 e = 丽2 3 - 1 。+ o ( z 一l e 一面( 们) ， 扩辔z 埘， i ” i = x l 2 d ( m ) m 一1 2 e - 可( 扣”) “) m _ z u 2 x l 2 e 1 6 。d ( m ) m 一1 7 2 m _ x l y o x l 2 y 一1 e 。9 1 。g 。一。1 6 ( 。) ，0 c 1 c 2 e 2 = y e - c 6 ( ”d ( m ) m ! 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