（基础数学专业论文）一种辅助方程方法及其对非线性方程的应用.pdf

一种辅助方程方法及其对非线性方程的应用 摘要 f 展开法是一种辅助方程方法 这里的辅助方程是j a c o b i 椭圆函 数所满足的一类一阶常微分方程 它可看作是j a e o b i 椭圆函数展开方 法的概括或浓缩 因为这里的f 代表任何一种j a c o b i 椭圆函数 本文 利用f 展开方法对8 组非线性发展方程组进行了研究 求出了这些方 程组的各种以不同椭圆函数表示的双周期解 在研究过程中 将f 展 开方法从两方面进行了扩展 一方面 除最初的正幂项展开外 又推 广到正负幂项展开以及 f g 组合展开 f g 是代表具体函数的 字符 另一方面 辅助方程的推广 除j a c o b i 椭圆方程外 又用了 其它辅助方程 本文用f 展开法得到了丰富的结果 一部分结果是新 的 其中 2 1 维扩散长波方程组比文献 t o l 多得到2 2 种新解 非线性 耦合k l e i n g o r d o n 方程组比文献1 2 4 1 多得到2 1 种新解 耦合k d v 方程 组比文献 1 0 多得到2 2 种新解 变形浅水波方程组比文献 多得到3 8 种新解 长短波相互作用方程组比文献 1 8 多得到1 7 种新解 d r i n f e l d s o k o l o v w i l s o n 方程组得到2 9 种新解 非线性耦合 k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程组比文献 2 4 多得到3 6 种新解 在模数 m 一1 和m 一0 时 也分别得到孤立波解及三角函数解 最后用其他辅 助方程 也得到了广义d r i n f e l d s o k o l o v 方程组的孤立波解 关键词 f 展开法 非线性演化方程组 j a c o b i 椭圆函数 周期波解 孤立波 郑州大学硕士学位论文 ak i n do fs u b e q u a t i o nm e t h o da n di t sa p p l i c a t i o n st o n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i s p a p e re i g h ts y s t e m so fn o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n sa r e s t u d i e d b yu s i n g t h e f e x p a n s i o nm e t h o d w h i c h i sak i n do f s u b e q u a t i o nm e t h o d m e a nb ys u b s i d i a r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n m e t h o d a n dc a nb et h o u g h to fa s ag e n e r a l i z a t i o no rc o n c e n t r a t i o no f t h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n se x p a n s i o ns i n c efh e r es t a n d sf o re v e r yo n e o fv a r i o u sj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n s a n da b u n d a n td o u b l yp e r i o d i cw a v e s o l u t i o n se x p r e s s e db yv a r i o u sj a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n so fe a c hs y s t e m a r eo b t a i n e d m e a n w h i l et h ef e x p a n s i o nm e t h o di se x t e n d e di nt w o r e s p e c t s t h a to nt h eo n eh a n d b e s i d e sf e x p a n s i o nw eu s e f o e x p a n s i o na n d f f 4 e x p a n s i o n o nt h eo t h e rh a n d b e s i d e sj a c o b i e l l i p t i ce q u a t i o n sw ec o n s i d e r o t h e ro d e sb e i n gt h es u b e q u a t i o n a s t h er e s u l t so ft h er e s e a r c h i n gw eh a v eo b t a i n e dm o r e2 2k i n d so f s o l u t i o nt ot h ed i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o n si n2 1d i m e n s i o n st h a n t h o s eo b t a i n e di n 1 0 m o r e2 1k i n d so fs o l u t i o nt ot h ec o u p l e d n o n l i n e a rk l e i n g o r d o ne q u a t i o n st h a nt h o s eo b t a i n e di n 2 4 2 2k i n d s o fs o l u t i o nt ot h ec o u p l e dk d vs y s t e mo fe q u a t i o n st h a nt h o s eo b t a i n e d i n 1 0 3 8k i n d so fs o l u t i o nt ot h ev a r i a n ts h a l l o ww a t e r w a v ee q u a t i o n s t h a nt h o s eo b t a i n e di nf 2 5 1 7k i n d so fs o l u t i o nt ot h el o n g s h o r tw a v e i n t e r a c t i o ne q u a t i o n st h a nt h o s eo b t a i n e di n 1 8 2 9k i n d so fs o l u t i o nt o t h ed r i n f e l d s o k o l o v w i l s o ne q u a t i o n s 3 6k i n d so fs o l u t i o n t ot h e c o u p l e dn o n l i n e a rk l e i n g o r d o n z a k h a r o ve q u a t i o n st h a nt h o s eo b t a i n e d i n 2 4 t oo u rk n o w l e d g e ap a r to ft h e s es o l u t i o n sa r en e wr e s u l t s i n t h el i m i tc a s e sw h e nt h em o d u l u sm 1a n dm 0 t h e nt h es o l i t a r y h w a v es o l u t i o n sa n dt h e t r i g o n o m e t r i c f u n c t i o ns o l u t i o n sa r ea l s o o b t a i n e d r e s p e c t i v e l y l a s t b yu s i n g o t h e rs u b e q u a t i o n w eh a v e o b t a i n e dt h es o l i t a r yw a v es o l u t i o no fg e n e r a l i z e dd r i n f e l d s o k o l o v e q u a t i o n s k e yw o r d s f e x p a n s i o n n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s j a c o b i e l l i p t i cf u n c t i o n s t h ep e r i o d i cw a v es o l u t i o n s t h es o l i t a r yw a v e s o l u t i o n s l i 郑重声明 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的 学位论文没 有剽窃 抄袭等违反学术道德 学术规范的侵权行为 否则 本人愿 意承担由此产生的一切法律责任和法律后果 特此郑重声明 学位论文作者 签名 理惠 2 0 0 5 年4 月1 5 日 第1 章引言 第1 章引言 1 1 前言 孤立子理论是应用数学和数学物理的一个重要组成部分 在现代 科学与技术的许多领域 如 流体力学 非线性光学 等离子体物理 凝聚态物理 超导物理 生物物理等领域 都包含着与孤立子理论密 切相关的重要问题 并可从中引出各种类型的非线性发展方程 组 又称非线性数学物理方程 组 且都有孤立子解 因此 研究这些非线性发展方程 组 构造这些方程 组 的解 并研究其解的特性 如 孤立子性质 自然成为广大数学物理工作者 的重要课题 而寻找非线性发展方程的孤立子解的方法也随之蓬勃发 展起来 如 反散射方法 b i c k l u n d 变换法 d a r b o u x 变换法 1 h i r o t a 双线性算子法 1 p a i n l e v 6 有限展开法嵋1 等 随着计算机符号计算 如m a t h e m a t i c a b l a p l e 等 系统的迅速发 展 近年来提出并发展的精确解法主要有 双曲正切 t a n h 有限展开 方法及其各种推广 s i n e c o s i n e 和s i n h c o s h 展开方法 齐次 平衡方法及其推广m 3 j a c o b i 椭圆函数展开方法 3 f 展开法 2 等 以上这些求非线性偏微分方程 组 精确解的方法 已被证明 都是很有效的方法 1 2 课题的意义 在用j a c o b i 椭圆函数展开方法 双曲正切t a n h 有限展开方法 s i n e c o s i n e s i n h c o s h 展开方法等解非线性偏微分方程 组 精确 解时 往往是将具体函数代入求解方程 组 因此 对于不问的j a c o b i 椭圆函数 如 册瞎 翻 亭 t a n h 等要做相同的重复运算 而王明 亮教授提出的f 展开方法将上述方法进行了概括或浓缩 提出用字符 郑州大学硕士学位论文 f f 满足辅助方程 如 j a c o b i 椭圆函数方程 则f 代表任一j a c o b i 椭圆函数 代表具体函数进行运算 得到了精确解的浓缩公式 再将 具体的函数代入 这样只需运算一次 从而简化了运算 这种方法经 实践证明 对于许多类型的方程 如 k d v 型 m k d v 型 b u r g e r s 方程 非线性k l e i n g o r d o n 方程 f i s h e r 方程 b o u s s i n e s q 方程 非 线性s c h r s d i n g e r 方程 z a k h a r o v 方程 变系数k d v 方程 高阶k d v 方程等都很有效 说明f 展开法具有较广的应用性 1 3 课题的研究内容 1 尝试用f 展开方法研究八个较典型的源于物理学的非线性方 程组 有 2 1 维扩散长波方程组 非线性耦合k l e i n g o r d o n 方程组 耦合k d v 方程组 变形浅水波方程组 长短波相互作用方程组 d r i n f e l d s o k o l o v w i l s o n 方程组 非线性耦合k l e i n g o r d o n z a k h a r o v 方程组和广义d r i n f e l d s o k o l o v 方程组 求出这些方程组的各种以不 同椭圆函数表示的双周期解 其中许多是新解 2 在研究过程中 尝试将f 展开方法从两方面扩展 一方面 由最初的正幂项展开推广到正负幂项展开以及f g 组合展开 f g 是代表具体函数的字符 另一方面 辅助方程的推广 由j a c o b i 椭 圆函数方程到其它辅助方程 3 在模数m 一1 和m o 时 也将得到孤立波解及三角函数解 2 第2 章f 展开法介绍 第2 章f 展开法介绍 2 1f 展开方法 近期来 文献 1 4 1 5 用j a c o b i 椭圆函数展开方法求出了非线 性数学物理方程的周期波解 很多非线性p d e 的周期波解被得到 这 是求非线性p d e 的周期波解的很有用的方法 在极限情况下 可得t a n h 展开方法的结果 故可看作是t a n h 展开方法的推广 我们这里介绍的f 展开法 可看作是任何一类j a c o b i 椭圆函数展 开方法 因而是j a c o b i 椭圆函数展开方法的全面概括 2 1 1 正幂项展开 给定非线性p d e 为简单起见以含两个自变量为例 p 球 h 站 h 耐 u x xp 0 2 1 p 为其变元的多项式 其中包含有非线性项和线性出现的高阶偏 导数项 解非线性p d e 2 1 的f 展开方法 包含下列五个步骤 第一步 求式 2 1 的行波解 m x f 摹 喜 考i 七 o j r 石o 2 2 k f o 是待定常数 x 是任意常数 将式 2 2 代入式 2 1 则化为 停 的o d e p 0 a 辫 触 吐 2 4 6 c j 七m 七2 h 10 2 3 第二步 设m 售 可表示为f 勤的有限幂级数 h 亭 y d f 亭 口 一o 2 4 搦 这里a o a l 一 口 为待定常数 f 售 满足辅助方程 f 宇 p f 4 亭 q f 2 亭 尺 2 5 其中p q r 是常数 非负整数n 由式 2 3 中具支配地位的非线性项与 最高阶偏导数项齐次平衡确定 p q r 和j a c o b i 椭圆函数f 宇 的关系 见表b 第三步 将式 2 4 代入式 2 3 利用式 2 5 1 将式 2 3 的左端化 为关于 瞎 的多项式 置 亭 的各次幂的系数为零 得c o 可能k 和 郑州大学硕士学位论文 口o 口l 一 a 的代数方程组 第四步 解上述代数方程组 可借助m a t h e m a t i c a 或m a p l e a o a l 一 a 和0 2 可能k 可由p q r 来表示 或直接由式 2 3 的系数表 示 将这些结果代入式 2 4 得p d e 2 1 的行波解的一般形式 第五步 选取 p q 胄 使o d e 2 3 的解f 亭 是某一种j a c o b i 椭圆 函数 将选定的 q r 的值和相应的j a c o b i 椭圆函数f 宇 代入 p d e 2 1 的行波解的一般形式中 就可得到方程 2 1 的用各种j a c o b i 椭圆函数表示的周期波解 换言之 即用f 亭 的有限幂级数表达式 2 4 代替了任意一种j a c o b i 椭圆函数的有限展开来求式 2 3 的解 2 1 2 正负幂项展开 在f 展开法的研究过程中 为得到更多的新解 尝试将f 展开法 扩展 我们在上节正幂项展开的基础上 尝试正负幂项展开 具体做 法如下 在上节的第二步中 假设u o 可表示为f 信 的有限正负幂级数 旦 h 言 一罗 f 信 口 r o 2 6 n 其中a 一 a 是待定常数 f 亭 满足辅助方程 f o 亭 一p f 4 宇 q f 2 亭 r 2 7 其中p q r 是常数 非负整数n 由式 2 3 中具支配地位的非线性项与 最高阶偏导数项齐次平衡确定 类似于正幂项展开的做法 可得到方程 2 1 的行波解 并且在负 幂项为零时 得到了正幂项展开的所有解 2 1 3f g 项展开 如果设f 佶 g 佶 分别代表不同的j a c o b 椭圆函数 我们尝试是否 可以得到由不同的j a c o b i 椭圆函数组合而成的新解 设u o 可表示为 f 亭 g o 佶 a 一n n j o 舯的有限幂级数 亭 罗4 f 亭 以f 亭 g 售 4 0 2 8 其中n a 6 l 一 6 为待定常数 非负整数n 由式 5 中具支配地位的 非线性项与最高阶偏导数项齐次平衡确定 f 亭 和g o 分别满足一阶 4 第2 章f 展开法介绍 o d e 一2 一j f 4 回 q f 2 固 墨 2 9 和 g 回一目 固 q 2 g 2 回 恐 2 1 0 从表b 中选取任意一栏 只 q i r i 一1 2 则对应的f 亭 g 宇 代表相应 的j a c o b i 椭圆函数 若选取的f o g d 恰是表a 的十二个等式中任 一等式中的一对j a c o b i 椭圆函数 则它们之间有如下形式的关系式 g 2 固 旷2 固 2 1 1 将式 2 8 代入式 2 3 利用式 2 9 2 1 0 2 1 1 可将式 2 3 的左端化为关于f 亭 g 亭 的多项式 置f 皓 g 7 亭 的各次幂的系数为 零 得 可能七 和口 反 k 的代数方程组 类似于正幂项展开的做法 可得到方程 2 1 的行波解 并且在 b 0 l n 为零时 得到了正负幂项展开的所有解 2 2 辅助方程 在f 展开法中 f 通常满足某一辅助方程 通过此辅助方程 可 将式 2 3 的各阶导数项化为关于f 的多项式 从而得到代数方程组 最常用的辅助方程有 j a c o b i 椭圆函数方程 r i e e a t i 方程 等等 2 2 1j a c o b i 椭圆函数 一 j a c o b i 椭圆函数 考虑椭圆积分 m 一 d o 丽 r 而蠢 x i s i n 儿 其中0c mc 1 称为模 由此引出 j a c o b i 椭圆正弦函数 x s i l l 妒 s n u n 8 1 1 t 聊 1 工 一反j a c o b i 椭圆正弦 j a c o b i 椭圆余弦函数 4 1 一工2 c 0 5 庐 c n 0 m ac i l u 第三种j a c o b i 椭圆正弦函数 4 1 一m 2 x 2 d n u 郑州大学硕士学位论文 由s n u c n u 及d n u 可诱导出其他9 种j a c o b i 椭圆函数 n s u 一 s n u n c u 一 c a n d u d l l c a c s 一 s n d c d n u c n d s d n 坐u s n s n s c 一 c n s d h s n u c d c n u o n o n 它们之间同样有类似的恒等式 s a 2 u c a 2 a 1 d n 2 u m 2s n 2 1 d n 2 一m 2 c n 2 1 一m 2 二 j a c o b i 椭圆函数满足的非线性o d e 1 p q r 的值及对应的f u 以j a c o b i 椭圆函数正弦函数s n u 为例 由 2 7 x s n f 0 4 1 z 2 嚣l m z z 2 x 关于x 求导得 塑j 蒜1dx 或 生 j 1 妇 1 一玛 一j 一 a l l 4 i n 一 1 x 2 x l m 2 x 2 1 d u 这就是x s n u 满足的o d e 类似地 其他j a c o b i 椭圆函数f 似 满足如下形式的o d e f p f 4 q f 2 r 表a o d e f 一p f 4 q f 2 r 中的 p q r 值及对应的f u 6 第2 章f 展开祛舟绍 2 平方关系 在j a c o b i 椭圆函数中具有形式g 2 心2 的共有1 2 个恒等式 m 为模数 0 c 辨 0 p 0 8 第2 章f 展开法介绍 有解 阳电番 一2 ps 盯 2 p 特别地 o 2 p 时 则解为 f 亭 丢c s c 2 三p 亭 当盯 一2 p 时 则解为 f 亭 叫i 1s e c 1 1 2 丢p 砖 9 郑州大学硕士学位论文 第3 章f 展开法的应用 3 1 2 1 维扩散长波方程组 考虑方程组 t o j m f 7 专 2 冲薯o 3 1 h o 叼 一0 方程组 3 1 可约化为 1 1 维模型 1 o j t 叩z 壹o 2 zj o 3 2 l r 叩 一0 其中甜一球0 t 一 o y f 玎一玎仁 f 一玎0 j f 方程组 3 2 称为一阶变量 b o u s s i n e s q 方程组f8 1 文献 8 得到了它的孤立波解 1 浓缩公式的导出 设 3 1 有解 一 值 r 一 7 皓 亭 h 分 耐 3 3 其中七 f 甜为待定常数 将 3 3 代入 3 1 则 3 1 化为 冀嘉 2kwl u 2 2ktuu ojrl k u u r lf l uk 2 1 u 二0 3 4 i 7 崔 7 其 一警 一等 由 3 4 中u t 2 与 与u r l7 齐次平衡 可设 j 亭 4 q f 亭 a 2 f 2 值 o 3 5 i 叩 宇 b o 6 l f 亭 6 2 f 2 亭 b 2 0 其中a i b io o 1 2 是待定常数 f 宇 满足方程 宇 a 汀4 嬉 o f 2 回 月 3 6 其中p q r 是实常数 l o 第3 章f 展开法的应用 将 3 5 代入 3 4 并利用 3 6 可将 3 4 的左端化为关于f 亭 的 多项式 令多项式的系数为0 得到关于a i b i f 0 工2 的代数方程组 f 6 亭 f 5 倍 1 6 k l p a 2 a 0 1 8 k l p a l a 2 0 4 亭 4 k l p a l 2 4 1 0 j p a 2 8 k l p a o a 2 4 七2 尸西2 1 6 k l q a 2 2 0 3 鲁 王出 f k l 2 k l p a o a l k 2 只 1 8 k l q a l 2 o f 2 亭 4 k l q a l 2 4 1 a q a 2 8 k l q a o a 2 4 k 2 q 6 2 1 2 k l r a z 2 0 f 宇 l a q a l 2 k l q a o a l k 2 q b l 1 2 k l r a l a 2 0 f o 亭 2 k l r a l 2 2 1 w r a 2 4 k l p a o a 2 2 七2 r 6 2 o 3 亭 4 k a 2 b 2 1 6 k 2 l p a 2 o f 2 亭 3 k a 2 b l 3 k a l 6 2 3 k 2 i p a l 0 f 亭 2 k a 2 2 妇2 6 0 2 k a l b l 2 a 9 0 2 2 k a d b 2 8 k 2 l q a 2 o f o 皓 妇1 妇a 碱 k a o k z l q a l 0 此方程组的解有以下两种情况 i n 一等 口1 一七扛 口2 0 6 0 i k l q 一警一1 红一堡3 k 扫 咖一k p p 0 i i n 一一等 口t1 础扣 口z 0 公式 一檄一铬小6 1 一篓扛 分别将解i i i 代入 3 5 式 i 其中p 0 i i 其中p 0 b 2 一一姒p 妒 0 得到方程组 3 1 行波解的两个浓缩 陋 f 皓 一瓦2 t o k k i p f 谵 等4 t r 争i c t q 一等 1 k 一0 k t o 为任意常数 卜售 一 4 f f 一瓦2 0 j k 一k l p f2 伊等历 铲k t q 一订l e o 2 1 郑州大学硕士学位论文 2 周期缓解 根据上段得到的行波解的浓缩公式 借助表a 可得方程组 3 1 的各种以j a c o b i 椭圆函数表示的周期波解 1 从表a 中取p m 2 q 一 1 m 2 f 皓 一聊 宇 将其代入解i 得 亭 一翩 一瓦2 0 j 州 一一砌2 m ks n 亭 k l 1 m2 萨l o 2 1 2 从表a 中取p m 2 q 一 1 小2 f 亭 一c a g 将其代入解i 得 f 吲 一t m c d 一百2 0 1 以 一砌2 耐2 肿1 3 r o m k l 1 m z 订1 0 2 1 3 从表a 中取p 1 q 一 1 m 2 f 的 n s 勤 将其代入解i 得 k 柏嘴 一百2 0 k 伊一湘川卅篓州m 盯 1 m2 一参 l 4 从表a 中取p 一1 q 一一o m 2 f 皓 如佶 将其代入解i 得 一触 亭 一瓦2 0 1 一黝c2 阱等如 孙埘 1 m2 一萨l o 2 一l 5 从表a 中取p 一1 m 2 q 2 m 2 1 f 亭 一再c 皓 将其代入解i 得 k 驴t 正磊唯 一百2 0 i 1 7 一盯 1 一mz n c 1 3 n 圻l r a 2 1 l c 亭 k l 2 m2 1 写l o f 2 1 6 从表a 中取p 1 一m 2 q 一2 一m 2 f 佶 一5 c 亭 将其代入解i 得 6 沪t 正磊嘴 一瓦2 0 k 妒一盯 1 旷 射等正磊c g k 2 m2 订l o 2 1 7 从表 a 中取p 1 q 2 一m f 值 c s g 将其代入解i 得 第3 章f 展开法的应用 8 从表a 中取p 1 q 2 1 2 1 f 亭 i 出 亭 将其代入解i 得 9 从表a 中取p 一卅2 q 一 1 小2 f 亭 一矾 宇 将其代入解 得 一h m 一瓦2 0 州舻一砌2 m2 争等m 小k l 1 m 2 一万1 0 2 1 1 0 从表a 中取p m 2 q 一 1 川2 f 皓 耐 亭 将其代入解i i 得 h 一一眦d 亭 一瓦2 0 叩 亭 一砌2 c d2 亭 一j 1 0 f m 耐 宇 七f 1 卅2 一瓦1 0 7 2 1 1 1 从表a 中取p 1 q 一 1 m 2 f 亭 船 亭 将其代入解i i 得 n 南s 一瓦2 0 小一胁2 铲等 孙肼 1 m2 一订1 0 2 1 1 2 从表a 中取p 1 q 一0 m 2 f 晦 d c 岱 将其代入解i i 得 h 亭 一一眦 一磊2 0 驴一舭2 伊等雌 肼 1 m2 一等一1 1 3 从表a 中取p 1 肌2 q 一2 m 2 1 f 参 一 c 亭 将其代入解i i 得 一一t 正磊c 亭 一瓦2 0 小一k l 1 m 2 n o2 争等正磊c 护k l 2 m 2 1 4 从表a 中取p 1 m 2 q 一2 m 2 f 宇 一s c 瞎 1 3 一q 一参一 将其代入解i i 得 笙蚶 呐 州 勤叫 生弘 专阱 啡 姚 鼬 的 蚶 丝 d 抽 州信 出 生弘 丝弘卜 一 停 螂 信 皓 玑 h 一女瓜 一百2 0 j 石 啪 肼 1 m 2 2 护要正忑 肼 2 m2 一订1 0 2 1 1 5 从表a 中取p a l q 一2 m 2 f 皓 一心售 将其代入解i i 得 s 一船停 一瓦2 0 佶 一抛2 舻等甜佶 一甜 2 mz 一等一1 1 6 从表a 中取p 1 q t2 m 2 1 f 亭 一凼 亭 将其代入解i i 得 一挑 瓦2 0 亭 一一鼢2 驴篓出 亭 一肼 2 m2 1 一两1 0 2 一l 3 孤立波解及三角函数解 当模m 一1 时 j a c o b i 椭圆函数退化为双曲函数 当模m 一0 时 j a c o b i 椭圆函数退化为三角函数 因而由2 段的结果可得1 4 种孤立 波解及三角函数解 1 当m 一1 聊 亭 一t a n h 亭 得到 一h k t a n h 一百2 0 玑倍 一叩 宇 一肼 a n h2 停 瓦l e o t 柚h 宇 2 七 一警一1 佶 一 e 佶 一 i t 蛆h 宇 一釜 口 亭 一嘣 k l t a h2 亭 一磊1 0 t 姐h 宇 2 k l 一萨1 0 2 1 2 当肌一1 坫 亭 一c o t h 亭 得到 一 一k c o t h 亭 一詈 叩 亭 一 售 一肼c o t h2 亭 磊1 0 c o r b s 2 肼一 罟一l 1 4 苎i 兰 垦茎鲨塑皇旦 u 2 0 宇 一 鼬 一等 q 佶 借 一盯c t h2 售 一等c o t h 2 七f 一笺 一l 3 当m 一1 亭 一c s c h 亭 得到 h 一 女c s c 一瓦2 0 姒宇 4 舻一辩c s c 班泓百i f oc s c 孵 一麒一参一1 s 掌 一 n 亭 一女c s c 一瓦2 d 宇 一 n 停 一舯c s c 坂争妻 c 雌 一村一等一 4 当m 一0 n s 亭 一c s c 亭 得到 一 kc s 一瓦2 o 似 一嘣 k lc s c2 亭 等c s 肼一豢一l 瞎 u2 4 争一kc s c 一筹 钆 一吲舻一盯 铲釜c s 材一第一l 5 当m 一0 d c 皓 一s e c 亭 得到 u2 5 一ts e c g 一瓦2 0 一嘣妒砒 聃等m 辨盯一参一1 佶 一 佶 一一七 c 掌 百2 d q z 一q 一一七fs e c2 一等 c 盯一篆 一l 6 当m 一0 s c 皓 一t a n 瞎 得到 二篡 嚣3 k 州铲 喏一 j f f 郑州大学硕士学位论文 卜 亭 一 a 亭 k t n 宇 一蛩 h 一口 亭 k l t a n2 一瓦1 0 9 t a n 2 k l 订1 0 9 2 一l 7 当埘一0 c s g 一e o t 宇 得到 k 一 艚 k c o t 一瓦2 0 9 j 州宇 一 一肼c o t2 磊1 0 9c o t 2 k l 订1 0 9 2 1 卜 一n 始 kc o l 一瓦2 0 9 h 宇 一q 一盯c o l 2 亭 一罢c o t 2 k l 订1 0 9 2 1 3 2 非线性耦合k l e i n g o f d o i 1 方程组 考虑方程组1 2 4 1 忙h c 0 2 v 2 l 一即3 一r l p 21 0 i v f c 0 2 v 2 v a 2 v 一卢2 v 3 一y 2 h 2 v 0 其中v 鲁 鲁 芸 是l a p l a c e 算子 缸 却 o z 1 浓缩公式的导出 设 3 7 有解 u x y z f 亭 v x y z f 一v 亭 亭 h 妒 肥一c a t 其中k 一 f 一 为波向量和角频率 将 3 8 代入 3 7 并令t 0 2 一k 2 c 2 a 则 3 7 化为 阻 t t l l 一反 3 一y l u v 2 鼍0 i a v a 2 v 一卢2 v 3 一y 2 h 2 v 墨 其中n 褫硝 f 2 衍 一警川一警 由 3 8 中h 与u 3 v 与v 3 齐次平衡 可设 1 6 3 7 3 8 3 9 第3 章f 展开法的应用 j 亭 a q f q 亭 4 t 亭 o 3 1 0 l v 亭 一b l f 一1 亭 6 1 f 亭 b l 10 其中a b l f 一埔是待定常数 f 售 满足方程 3 6 类似 3 1 节的做 法 可将 3 9 的左端化为关于f 亭 的多项式 令多项式的系数为0 得到关于4 b io i 一1 舯的代数方程组 f 4 亭 2 胁一l 一卢l a l 一y 1 4 l b l 0 f 一1 亭 爿伽一1 a l a l 一3 卢l 口 l a 1 一y l a l b 1 一2 y l a 一1 6 1 6 1 宣0 f 宇 a q n l 口1 a 1 3 f l l a l z a 一1 一y l a 一1 b 1 一2 7 1 a l b d b li0 3 亭 2 a p a l 一卢l a i 一y l a l b t 30 f 3 亭 2 a r b 一1 一卢2 b 一1 一y 2 6 1 a 一1 一0 f 一1 宇 a a b l a 2 b l 一3 p 2 b l z b l y 2 6 1 4 一l 一2 r 2 a 一1 b l a l 罱0 f 亭 4 q 口2 b l 一3 卢2 b l b l y 2 b 1 a 1 一2 r 2 a l a l b lj0 f 3 亭 2 a p b l 一卢2 b l 一y 2 巩4 l 20 此方程组的解有以下两种情况 一 n i 揣 ai 0 轨j j i 黼 6 一t 其中口l 一口2 一q n 2 一k 2 c 0 2 一 n i6 4 p r 竺 型q r a一 6 4 p r i 1 y 一卢l 卢 1 v q x r y 一卢 卢 a 一 i6 4 p二r 7 6一t5 j 6 4 p r 查q蔓x r 1 v 一q r 一岛卢 v 一 y 一a p z 其中口1 口2 6 4 f 瓦一q x r l y 2 一卢l 声2 p r 0 a 14 l 同号 6 l b l 同号 分别将解i i i 代入 3 1 0 式 得到方程组 3 7 行波解的两个浓 缩公式 一t 愿篆暑 v 一t q 2 a 卢z p 卢 y 2 一 r f l y l f 其中a 口 q 2 一k 2 c 0 2 郑州大学硕士学位论文 i i 亭 置 v 宇 a 4c i 2 aj pi跞 y1 f12 fc 1 岳磊瓣 其中a a a 6 瓦一q r r 一卢 卢 p r 0 2 周期波解 根据上段得到的行波解的浓缩公式 借助表 的各种以j a c o b i 椭圆函数表示的周期波解 1 从表a 中取p 一胁2 q 一0 m 2 f 亭 一肼售 1 亭 土 v 1 一 岱 a 可得方程组 3 7 将其代入解i 得 其中口l 暑口2 j 1 m 2 2 一k 2 c 0 2 2 从表a 中取p m 2 q 1 m 2 f 亭 一研售 将其代入解i 得 亭 亭 其中口1 a 2 一 1 肌2 2 一k 2 c 0 2 3 从表a 中取p 一1 q 一一 1 m 2 f o n s o 将其代入解i 得 c宇 一 l j2 a i 焉71 flz st亭 v c t f iii 瓣c 其中口1ta 2 1 m 2 2 一k 2 g 0 2 4 从表a 中取p 一1 q 一 1 m 2 f 佶 一如皓 将其代入解i 得 第3 章f 展开法的应用 c 一t f j i瓣c v c t f i j i i 焉c 其中a lj a 2 掌 1 m 2 棚2 一k 2 c 0 2 5 从表a 中取p 一1 戤2 q 2 m 2 1 5 亭 土 f 传 n c 喜 将其代入解i 得 其中口 口 拥2 1 2 一k 2 c 0 2 6 从表a 中取p 1 m 2 q 2 m 2 g 一2 亭 i 宇 岱 f 皓 一s c 瞎 将其代入解i 得 其中a l 一口2 一 2 一m 2 2 一k 2 c 0 2 7 从表a 中取p 一1 q 2 m 2 嬉 亭 f 倍 凹倍 将其代入解i 得 c 一t f i i磊c宇 v c t f j i 焉c 宇 其中a l a 2 一 2 一m 2 2 一k 2 c 0 2 8 从表a 中取p 一1 q 一2 m 2 1 f 售 一出 亭 将其代入解i 得 u t亭 t i21ai 踽 yt f12 dse孝 v c亨 t f i21ai2i 溉y 2 f l d s 亭 1 9 郑州大学硕士学位论文 其中口1 一口2 一 2 m 2 1 2 一k 2 c 0 2 9 从表a 中取p m 2 q 一2 1 2 1 f 皓 a 翻皓 将其代入解i 得 c 亭 t f j i 磊n c v c 一t f i磊一c 其中吒 口2 z m 2 1 2 一k 2 c 0 2 1 0 a 表a 中取p 一1 q 2 m 2 f 售 一砌 亭 将其代入解i 得 c宇 一t i2ia l ifl焉2 y1 c v c亭 t i2jai2溉 卢 y2 dn c 亭 其中口1 一口2 一 2 一m2 2 一k 2 c 0 2 1 1 从表a 中取p m 2 1 q 一2 m 2 f 亭 一耐偕 将其代入解i 得 t 2 a 1 m 2 1 r l f 1 耍2 雌 v c 宇 t j i i i 瓢n d c 其中q a 一 2 一m 2 2 一k 2 c 2 1 2 从表a 中取p 一m 2 1 一m 2 q 2 m 2 1 f 亭 蚶 宇 将其代入解 i 得 c t f i i i 磊c v c t f 2 ai 2 m 2i 1磊 m 2xfli y2 sd c 其中a l a 2 高一 2 抖2 1 2 一k 2 c 0 2 1 3 从表a 中取p m 2 q 一0 m 2 r 1 f 亭 一硎瞎 将其代入解i i 得 第3 章f 展开法的应用 c t f i i i i j 磊t n s c m s nc t 后焉瓣雌 圳刀 其中口l a 2 一似2 6 m l x 6 0 2 一k 2 c d 2 1 4 从表a 中取p m 2 q 2 m 2 ra 1 f 亭 一s 亭 将其代入解i i 得 c 一t 2 a r磊 p2 t如c亭 mcd c 芋 v c t f ii i磊r咖c mrc蠢c 其中口1 口2 m 2 6 m 1 2 一k 2 c 0 2 1 5 从表a 中取p 一一1 q 一0 m 2 r m 2 1 f 亭 一咖佶 将其代入 解i i 得 v 1 5 宇 i 打i 耐 咖 到 打磊埘 宇 如 其中a 口 m 6 正 一2 c 0 2 一k 2 c 0 2 1 6 b k 表a 中取p 1 一研2 q 一2 m 2 r 1 f 信 一 皓 将其代入解i i 得 h 1 6 亭 v 1 6 宇 x 中口 口 m z 6 扛 一2 o j 2 一k 2 c 0 2 3 孤立波解及三角函数解 f c 亭 郑州大学硕士学位论文 当模m 一1 时 j a c o b i 椭圆函数退化为双曲函数 当模m 一0 时 j a e o b i 椭圆函数退化为三角函数 因而由2 段的结果可得1 0 种孤立 波解及三角函数解 1 当m 一1 s t 信 一t a n h s e 得到 c 一 c 一t 蹶t a n n c v 一v 一t 臁 a n h 亭 其中q 一口2 2 c 0 2 一k 2 c 0 2 2 当m 一1 c 皓 一s e e h 亭 得到 亭 亭 t 孵 v 孝 一v t 需s e c 亭 其中a 1 一a 2 2 一k 2 c 0 2 3 当m 一1 w 瞎 一 t h 亭 得到 蚶沪 t 厩焉蛳 v 一v t vy a 2 y y 三2 f l p c o t h 其中q 一口2 2 2 一k 2 c 0 2 4 当m 一1 亭 一c s c h b e 得到 一 宇 一 f 2 觚a l r l 一 r j 6 r 2 j c v 一v 一t i 糕c s c 其中0 1 a 2 2 一k 2 c 0 2 5 当m 一1 淞 亭 一e o m 亭 s n g 一t a n h 亭 得到 第3 章f 展开法的应用 一 t f 磊 c o t h 亭 t a n h v c 掌 一v c 宇 t j 磊r c t n c 亭 t a n n c 宇刀 其中 1 6 t 2 酗2 一k 2 c 0 2 6 当m 一0 n 5 宇 一c s c 亭 得到 n c 宇 u n 一t 瓣c c t v c 一v t 一t 需2a2 y2 fit cscc 其中口1 一a 2 一 2 一k 2 c 0 2 7 当 一0 如 亭 一s c c 亭 得到 c 亭 一 c 亭 t 孵s e c c 宇 v 一v 亭 一tv需2a 2 y 2 f i t s e c 其中口1 a 2a 1 0 2 一k 2 c 0 2 8 当m 一0 s c 皓 一t 柚 亭 得到 一 t 瓣t a n v c 宇 一v c 一t 解t n c 其中 l 乜2a 一2 2 一k 2 c 0 2 9 当m 一0 a 亭 一c o t 亭 得到 一 亭 一t j 觥c 宇 v c 宇 一v c 一t 蹶c o t c 郑州大学硕士学位论文 其中口l 口2 一2 n j 2 一k 2 1 7 0 2 1 0 当m 一0 船 宇 一e o t 亭 s c 值 一t 姐皓 得到 一t j 蕊c o t t a n v c亭 v c 一t f 磊a tc亭 tanc 其中口l a 2 4 2 一k 2 c 0 2 3 3 耦合k d v 方程组 考虑方程组 t o l p t 6 删比一6 w z 倒一s 0 3 1 1 v t 3 a u v 伽一1 0 1 浓缩公式的导出 设 3 1 1 有解 u h 亭 y v 售 亭 h t a t 3 1 2 将 3 1 2 代入 3 1 1 则 3 1 1 化为 渊 6 k o s n u t 矾w 0 3 1 3 p 3 k a u v 破3 y 0 由 3 1 3 中 与u u7 h y 与v 齐次平衡 可设 p 亭 2 a 一 f y a 4 f 2 亭 a 2 f 售 g 亭 3 1 4 l v 宇 b 一 f 一 芎 b o b l f 2 亭 6 f 宇 g 亭 其中a i b i f 一 1 0 1 2 是待定常数 朐和的分别满足一阶o d e f 崆固一j f f 4 回 q 2 回 足 3 1 5 和 g 回 目伊国 q 2 g 2 固 恐 3 1 6 从表a 中选取任意一栏 只 q l 墨 a 一1 2 则对应的f 宇 g 皓 代表相应 的j a c o b i 椭圆函数 若选取的f 亭 g 亭 恰是表b 的十二个等式中任 一等式中的一对j a e o b i 椭圆函数 则它们之间有如下形式的关系式 g 2 亭 一心2 固 y 3 1 7 将 3 1 4 代入 3 1 3 利用 3 1 5 3 1 6 3 1 7 g 将 3 1 3 的左 端化为关于f 亭 g o 宇 的多项式 墨 兰 垦墅笙箜些里 f o 2 0 j a 2 6 k c q v a 1 4 2 6 k a y2 n 0 4 2 6 k v b 1 b 2 6 k v2 6 0 6 2 2 k 3 口 3 口2 只 k 3 a 1 2 口2 q