两条直线的位置关系.docx

两条直线的位置关系1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离：d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.选择题：设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析充分性：当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40平行；必要性：当直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行时有a2或1；所以“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B2 C.1 D.1解析依题意得1，解得a1或a1，a0，a1.已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为()A7 B1 C1或7 D.解析l1的斜率为，在y轴上的截距为，l2的斜率为，在y轴上的截距为.又l1l2，由得，m28m70，得m1或7.m1时，2，l1与l2重合，故不符合题意；m7时，4，符合题意已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()A1 B2 C0或2 D1或2解析若a0，两直线方程为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0.当a0时，若两直线平行，则有，解得a1或a2，选D.已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3 Bba3C(ba3)0 D|ba3|0解析若以O为直角顶点，则B在x轴上，则a必为0，此时O，B重合，不符合题意；若A，则ba30，若B，根据垂直关系可知a21，所以a(a3b)1，即ba30，以上两种情况皆有可能，故只有C满足条件已知过点A(m1，0)，B(5，m)的直线与过点C(4，3)，D(0，5)的直线平行，则m的值为()A1 B2 C2 D1解析由题意得：kAB，kCD.由于ABCD，即kABkCD，所以，所以m2当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析解方程组得两直线的交点坐标为，因为0k，所以0，0，故交点在第二象限若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点()A(0，4) B(0，2) C(2，4) D(4，2)解析直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)从点(2，3)射出的光线沿与向量a(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()Ax2y40 B2xy10 Cx6y160 D6xy80解析由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知A正确填空题：已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_解析由于直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，所以a(b3)2b，即1(a，b均为正数)，所以2a3b(2a3b)136136225(当且仅当，即ab5时取等号)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.解析l1l2，k1k21，即1，解得a2.已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_解析由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)，交点坐标为，又交点位于第一象限，解得k.直线l过点P(1，2)且到点A(2，3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_解析当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y30等距离的直线方程是_解析l2：6x4y30化为3x2y0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x2yc0，则：|c6|c|，解得c，所以l的方程为12x8y150.已知两直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，若l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则ab_解析由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，ab的值为0或已知直线l1：axy10，直线l2：xy30，若直线l1的倾斜角为，则a_；若l1l2，则a_；若l1l2，则两平行直线间的距离为_解析若直线l1的倾斜角为，则aktan451，故a1；若l1l2，则a11(1)0，故a1；若l1l2，则a1，l1：xy10，两平行直线间的距离d2.已知直线l：2x3y10，点A(1，2)，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_解析设A(x，y)，由已知得解得故A.解答题：已知两直线l1：xysin10和l2：2xsiny10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)当sin0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin0时，k1，k22sin，要使l1l2，需2sin，即sin.所以k，kZ，此时两直线的斜率相等故当k，kZ时，l1l2.(2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sinsin0，即sin0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120，解得.所求直线方程为2x7y50.正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)由两点式得直线m的方程为9x46y1020.求与直线3x4y10平行且过点(1，2)的直线l的方程解依题意，设所求直线方程为3x4yc0 (c1)，又因为直线过点(1，2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程解解方程组得P(0，2)因为l3的斜率为，且ll3，所以直线l的斜率为，由斜截式可知l的方程为yx2，即4x3y60.已知ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程解依题意知：kAC2，A(5，1)，lAC为2xy110，联立lAC、lCM得C(4，3)设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，代入2xy50，得2x0y010，B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.已知直线l经过直线l1：2xy50与l2：x2y0的交点(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值解(1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2xy5)(x2y)0，即(2)x(12)y50，点A(5,0)到l的距离为3，3，即22520，2，或，l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则dPA(当lPA时等号成立)dmaxPA.专项能力提升若点(m，n)在直线4x3y100上，则m2n2的最小值是 ()A2 B2 C4 D2解析因为点(m，n)在直线4x3y100上，所以4m3n100.欲求m2n2的最小值可先求的最小值，而表示4m3n100上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点的直线与直线4m3n10