（基础数学专业论文）调和分析中几类算子的端点估计.pdf

摘要 在调和分析中，各种算予( 如极大函数，平方函数，奇异积分及其交 换子等) 在妒空间上的存在性和有界性往往是熟知的而当这种算子作 用到端点萄数空间如上1 ，置1 及上0 。，b m o 等函数空间时，事情往往变得复 杂起来，其存在性和有界性极有可能得不到保证因此，研究在何种条件 下，算子的存在性和有界性成立，是一件很有意义的事情本论文致力于 这方面的工作我们的所谓端点估计既包括算子在刀1 ，b m o 等空f 目上的 估计，有时也指在更广意义上的函数空间如l i p s c h i t z ，c a m p a n a t o ，h * d y 型 空间日p ( p 1 ) 等空间上的估计 本文共分三章 在第一章中我们简单地介绍了经常要用到端点函数空间并讨论它们 的一些常甩的性质对有些已知的重要性质，我们往往给出新的证明 第二章主要研究调和分析中的几种经典算子在b m o 和齐次l i p s c l i t z ( 以及它们的推广c a m p a n a t o ) 函数空间上的存在性众所周知，极大函 数、平方函数和奇异积分是调和分析中的三个经典算子它们在l p ( i p o 。) 空间中的存在性和有界性是熟知的而对于端点空间上o 。或b m o ， 由于r “的l e b e s q u e 测度是无穷的，这些算子作用在其中的一个函数时有 可能值为无穷或不存在因此有必要研究其存在的充分条件这类问题起 源于【4 ，5 4 的工作，本章致力于推广此类结果瓢一般的情形我们总是由 算子在一点的存在性得到算子的几乎处处存在性，并由此( 附带) 得到 算子的有界性，这是我们冉睁结果的最主要特点 本章分三节 第一节研究平方函数算子在c a m p a n a t o 空间上的存在性文【5 4 】中 研究了平方函数在工”耨b m o 空间上的行为，指出平方函数作用在一 个俨函数上，其值有可能处处为无穷；并在假设平方函数( 作甩在一个 b m o 函数) 在一正测集上有限的前提下，得到了平方函数的几乎处处存 在性和b m o 有界性很快，类似的结果被推广到其他类型的平方函数， 参见【3 0 ，5 2 等后来，在文【5 5 】中，作者们改进了上述结果，指出只需平 方函数在一点存在，即可得到几乎处处存在性和( b m o ) 有界性类似的 结果对l i p s h i t z 函数( 的平方函数) 也成立，见【4 8 ，5 0 等由于b m o 和 l i p s h i t z 空间的推广是c a m p a n a t o 函数空间，一个自然的问题是平方函数 作用在c a m p a n a t o 函数空间是否有类似的结论最近，k y a b u t a 得到了比 较完整的结果，参见文【4 9 】及其后的参考文献如【4 0 等但y a b u t a 的结果 还有一个不尽如人意的地方，郎总要假设平方函数在一个正测度集上存 在( 有限) ，再得到几乎处处存在性和c a m p a n a t o 有界性本节的主要结 果是指出，只须平方函数( 作甩在c a m p 。m a t o 函数上) 在一点存在，即可 得到其几乎处处存在性因而我们的结果是上面提列的结果的改进耩推 广分别记关于一个l i t t l e w o o d p a l e y 函数妒的径向、非切向和切向平方函 数为g ( ns ( ，) 鲢( ，) ，我们的结果如下： 定理2 1 设f l p 4 ( 1 p o o ，一署n 1 ) 若存在一点2 0 置“，使得 g ( 烈。o ) + o o ，则g ( ，) ( z ) 几乎处处有限且存在一个仅与妒，n ，乳a 有关的常 数c 使得 g ( f ) lj p ，。sc l i 州口，。 定理2 2 设，扩，。( 1 p ，一；s 口 1 ) 若存在一点2 0 r “，使得 s ( ，) ( z o ) + o o ，则，( ，) ( 。) 几乎处处有限且存在一个仅与妒，n ，n n 有关的常 数c 使得 懈，) | b ，n 茎c i f i l , ，a 定理2 3 设f 五”( 1 p o o ，一；o 3 + ：若存在一点x o f 1 ， 使得以( ，) ( 。o ) + o o ，则歌( ，) ( 。 几乎处处有限且存在一个与妒，n ，p ， ，n 有 关的常数c 使得 i ( 删 p 。scl t i l 一 在第二节我们研究一类奇异积分算子在端点函数空间上的存在性自 c a l d e r 6 n 和z y g m u n d 的开创性工作【8 】发表以来，已有很多关于奇异积分 在l p ( 1 p m ) 空间上的存在性和有界性的结果，见 4 2 】而在端点p = m 的情形，通过适当修改奇异积分的定义，可以得到奇异积分的上0 。一b m o 或b m o b m o 有界性，见【4 7 】而我们的兴趣在于，对一个b m o 函数 ，通过直接定义r ，使之与t 作用在一个妒函数上的定义一致，进而考 察t ，的存在性问题在一个很弱的条件下( t ，在一点存在) ，我们得到 了t i 的几乎处处存在性，并且由此得到了? ，的b m o 有界性需要指 出的是，有界性的结论并不是新的，而在我们的假设下，存在性的证明才 是需要严格验证的 我们研究的奇异积分的核函数满足如下条件设k c ( 舻 o ) ) 满 足，存在一个常数c 使得： ( a ) 上 l k n k ( z ) d z = 0 ，v 0 e k v l r 本节的主要定理如下： 定理2 4 设t 是如上定义的奇异积分，b m o 虽存在一点。o 舻使 得t i ( z o ) 存在，则t f ( z ) 在舻几乎处处存在且t ，( z ) b m o 进一步， 存在一个常数c 仅与n ，k 有关使得： 【t i c f ，】。 类似的结论对一般的c a m p a n a t o 函数空闻也成立， 定理2 5 设，p 一，1 p ，一暑sa 0 在本节中我们进一步讨论齐型空间上极大函数的存在性和l i p s c h i t z 有 界性，受【2 1 的启发，我f 门首先给出一个关于极大函数m 存在性的一个 定理 定理2 6 假设( x ，d ，p ) 是一齐蛩空间，三妇僻) 如果存在一点# o 使得 m ，( 。) + o 。，则在x 上几乎处处有m ，( 。) + o o 然后我们给出s b u c l d e y 结栗的一个严格叙述，再给出一个简单而基 本的证明 定瑶2 7 设( 蒡，d ，p ) 是一满足岳环递减性质的齐型空间，三缸徊，卢s6 如果存在一点。o 使得m f ( z o ) + m ，则m ，( 。) + o o 对每一ze x 成立且 m f 属于i , i p 芦而且存在一个常数c 仅与a ，k ，卢和6 有关使得： i i m i i l 8 蔓ci i l l 口 最后我们讨论了极大函数在另一种l i p s c k i t z 函数空间上的有男性问 题 定理2 8 设( x ，d ，p ) 是满足6 环递减性质的齐型空间，f 缸徊，卢s 意i ，这 里且是齐型空间上测度盼双倍常数如果存在一点z o 使得m f ( z o ) + 。， 则j l f ，( 。) + c oa - e ex 且m ，属于f 白移更进一步，存在一个仅与 a ，k ，卢和6 有关的常数c 使得： l l m f l l p ，1 c 第三章主要研究上章弓i 进的奇异积分算子? 与一个局部可积函数6 ( z ) 所构成的交换子孔= b t 一? ( b ，) 在各种端点空间的有界佳问题1 9 7 6 年， r c o i f m s n ，r r o c h b e r g 和g w e i s s 在文1 1 6 】中证明了b b m o 时交换子 死的扩( 1 p 0 0 ) 有界性一个很自然盼事情是考虑t b 在端点函数空闻 的有界性即死是否是置1 到l 1 ( 或l 1 到弱上1 或工o 。到b m o ) 有界 事实上，如文【3 9 】中所指出，这是不对的又在文【2 3 ) 中，作者们证明了 风是上孑( 丑) 到丑m d ( 丑) ( 或1 1 1 刭三1 ) 有界当且仅当b 几乎处处是一个 常数这里嚣表示h i t b e r t 变换这个结论表明，仅仅限镪在舻的端点空 间日，或上o 。上来讨论是得不到死的有界性的另一方面，若我们在有限 测度空间如单位圆周? ( 一维情形) 或球面s 上来考虑类似问题，却有正 面的结果，见【2 3 ，3 2 ，4 6 】最近，c h a n gd e r c h e n 和l is o n g y i n g 在文【1 3 】中 讨论了一般的带有限瓣度齐型空间中的类似问题，得到如下结果： 设( x ，d ，p ) 是一齐型空间，p ) 。若b l m o ( x ) ，则x 上的奇异 积分交换子死是日1 ) 到三1 ( x ) 有界的，其界依赖于例l m d f 孙进一步， 若6 l u o ( x ) n 二”僻) ，则孔是h 1 僻) 到丑1 ( x ) 和8 u o ( x ) 到丑u o ( x ) 有界的，其界依赖于l i b l l l u o 傅1 + i b lj l * 饼) ， 由于在有限浏度空阊x 上，b m o ( x ) 是工2 ( x ) 的子空间，而l 2 ( x ) 是矿) 的子空间，上述定理提示我们，为了得到r “上的类似估计，考 虑丑m d p 或日+ 护是适当的另一方面，上述定理的最大缺憾，是在证 明t p ( x ) 到日1 僻) 和曰u o ( x ) 到b m o ( x ) 有界时，简单地运用了日1 ( x ) 和b u o f x ) 上的点态乘子理论，致使取的界严重依赖于b 的l o 。范数 我俯在本章的第一个结果如下： 定理3 1 假设6 ( z ) 是一个具紧支集的l m o 函数，则死是b m o p 到b m o p ( 1 p c o ) 的有界算子进一步，存在一个仅依赖于n , p ，耳的常数c 使 得 l 磊州qs c f b l u o i ， 在第二节我们讨论死盼磁型估计，得到 定理3 2 设b l m o ，1 口 + ，则孔可延拓成b ：到工；的有界算子，且 其算子范数被c ( n ，g ，k ) i b l m o 所控锄 定理3 3 设b l m o ，1 口 + o o ，则死可延拓成明到硪的有界算子，且 其算子范数被c ( n 忍k ) l b k m o 所控制 易见定理3 2 是定理3 3 的推论，但由于其证明方法很容易推广到一 般的( 带无限测度) 齐型空间，从而得到文献【1 3 l 中定理2 5 的一个推广， 所以我们在这里特意给出一个证踢 应该指出，若b l m on 三。，则由第一章的点态乘子理论( 引理1 1 3 ， 1 1 4 ) 及定理2 4 的推论2 2 可知 l | 瓦，i i q 1 1 6 7 州，+ i l t ( 6 ，) i i q c ( i i 矗| l l m + b l u o ) i i t i i i 。，+ g l 净， l 墨c ( i 降l * + 咖】l 村d ) i i j t l - p ； j | 删雒i i 岈州螂+ i i t ( b f ) t l 埤 c ( 1 1 6 8 l 一十 b l u o ) f ，i | 置；+ gj 1 6 ，8 哪 c ( | 1 6 i i l * + f m z m d ) i l f l l h j ； 而我们的算子范效要求仅被b 的1 , m o 范数控翩，这正是证明的主要困难 所在 在第三节我们将上一节发展起来的技术应用到交换子露的量；( 者i p 1 口( 0 0 ) 估计上，得到了以下结果： 定理3 4 设；南 p 1 g 能延拓残霹戮瑶的有界算予，且存在一个仅与n , p ，窖，k 有关的常数c 使得 l 死，l | j 唁sc i 砷n i l j f l i 明； 这里 陬= t ”1 a “篇熹呶g ) 一旭i 由+ 霉；1b ，) 一妇r 丑f 一 丑， 定理3 5 设a ( o ，1 ) ，1 口 o o 若b b l d on 工帆，则噩是蛇到蝇的有 界算子且 i m 川 ：s c 【叫a l ：； 这里c 是仅与n ，g ，a ，耳有关的常数 注意由第一章的点态乘子理论( 引理1 1 6 ) 及t 的月暑有界性知 i w b f l l h ；c l t b l 。i 钟； i f 冠州a ：c i b j a 。例k ； 但显然a 口cb m o n 工概，故我们的结果是非平凡的又，关于交换子孔 当b q 时的一个有意义的结果可参见文献【3 6 】 最后，在第四节，我们将前两节的结果推广到具变核的奇异积分上， 得到了类似的结果 定理3 6 设 ：冠”舻 o ) 一丑满足 i ) 女( 。，) 是一个c z 核，对几乎处处的z 显”； i i ) i 糕i i 茄 ( 删) k ( 即 对，c 俨( 舻) ，令 s m ) 2 姆卜，) 。( 舭一) 舳) 由； 最m ) 3 6 ( 2 ) s m ) 一s ( 6 ，) ( 。，。磐卜。( 郴一洲2 ) 。( ，) ) m ) 8 v ； 若b l m o ，则s ，能延拓成乓( 1 g o o ) 到上：的有界算子且 i i s f l l l ；s c 圮； i i & f l l l ；sc 【b l u oi l f l l h g ； 这里c 是一个仅与n ，g 和蛆有关的常数 定理3 7 设k ：r “妒 o ) 一z 满足上面定理中的i ) ，d ) 对任意 i ( ，) l m o 且满足 i i i ) i 衙墨| f 劳联螂) k ( l m d ( 娼 若b l m o ，贝s f , s b f 能延拓成哪( 1 g o 。) 到珥的有界算子且 i l s f l l h ；c 川； i i s d l i h ；c 6 】l m o 明； 这里c 是一个仅与n , p 肌和尬有关的常数 定理3 8 设i ：r “舻 o ) 一r 满足定理3 7 中的条件设b l m o ， 口m 伊( 1 p ) ，则s f ，鼠，e 嚣m 伊且 1 1 5 州，sc l i f l l ，； i i s d l l sc 【6 】。m of i f l t 。，； 这里c 是一个仅与n , p 蝎和蝇有关的常数 定理3 9 设女：r ”r “ o ) 一r 满足 i ) 对几乎处处的。e 俨，( 。，) 是一个c z 核； n ) 对蚓= o ，1 ，2 n 及2 ，号a 。，且满足 l 一。l z n 隆训忆k ，m 若6 e 曰m o n k ，a = n ( ；一1 ) ，希 p l ，则s ，岛，能延拓成田( 1 口 ) 到鄙的有界算子且 i l s 刊衅sc i i i i i r # ； 慨州掰sc 【6 。i l i i i h g ； 这里c 是一个仅与n p ，q 和m 有关的常数 定理3 1 0 设女：r ”r “ 0 1 - r 满足定理3 9 中的条件设b 丑o n k ( o n 1 ) ，f a 3 ( 1 g ) ，则s ，岛，a 且 i l s ，l a ：sc 例l a ：； i l 鼠州蝇sc 【6 】。k ； 这里c 是一个仅与竹，n ，g 和m 有关的常数 a h s t r a c t i nh a r m o n i ca n a l y s i s t h ee j d s t e n c ea n db o n n d e d n e s so f 嘣o u sk i n d so fo p e r - a t o r ss u c h m a x i m a lf u n c t i o n s ，s q u a r ef u n c t i o n s ，s i n g u l a ri n t e g r a l sa n dt h et o m - m u t a t o ro fs i n g u l a ri n t e g r a l sk r ew e l lk n o w n i fs u c ha no p e r a t o ra c t i n go ne n d p o i n t s p a c e ss u c h 上1 ，日1m d 上。，b m o ，姐t h i n g s e c h a n g e d a n d i n f a c t t h e e x i s t e n c e a n db o u n d e d n e s sm a yf a i l s o ，t os t u d yt h ec o n d i t i o n st r a d e rw h i c ht h ee x i s t e n c e a n db o u u d e d n e s sc nb eg u a r a n t e e di sn i n t e r e s t i n gt h i n g i nt h i st h e s i s w et r yt o e x p l o r es u c ha no b j e c ta n dg e ts o m e f m er e s u l t s o u rs o - c a l l e de n d p o i n te s t i m a t e s i n c l u d ee s t i m a t e so i l 日1a n d b m o 船w e l l a sl i p s c h i t z c a m p a n a t oa n d h a r d y t y p e s p a c e s t h e r ew et h r e ec h a p t e r si nt h et h e s i s i nc h a p t e r1w ei n t r o d u c es o m e d p o i n ts p a c e sa n dd i s c u s st h e i ru s e f u lp r o p e r t i e sb r i e f l y w ea l s og i v en e wp r o o ft ot h ei m p o r t no n e s t h es e c o n dc h a p t e rm a i n l yc o n t r i b u t et ot h ee x i s t e n c eo fs o m ec l a s s i c a lo p e r a t o r si nh a r m o n i ca n a l y s i sa c t i n go nb m oa n dh o m o g e n e o u sl i p s c h i t z ( a n dt h e i r g e n e r a l i z a t i o nc a m p a n a t o ) s p a c e s t h e 妒( 1 p o 。) e x i s t e n c e a n db o u n d e d n e s s o fm a r a i n a lf u n c t i o n s ，s q u a r ef u n c t i o n sa n ds i n g u l a ri n t e g r a l sa r ew e l lk n o w n a si n t he n d p o i n tc a s e ( s u c h 上。) ，s i n c et h el e b e s g u em e a s u r eo f 妒i si n f i n i t e ，t h ev a l u e o ft h ec o r r e s p o n d i n go p e r a t o r sm a yb ei n f i n i t e n o te x i s t s o i ti sn e c e s s a r yt of i n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n st og u w a n t e et h ee x i s t e n c e s u c hr e s u l t so r i g i n a t ef r o mw 研k s o f 4 ，s 4 w et r yt oe x t e n dt k i sk i n d o fr e s u l t st oi n o f eg e n e r a lc o n t e x t t h en 幽 c o n t r i b u t eo fo u rr e s u l t si s ：w ea l w a y sg e tt h ea e e x i s t e n c eo fo p e r a t o r s ( a c t i n g o naf u n c t i o no fa ne n d p o i n ts p a c e ) u n d e rt h ea s s u m p t i o no ft h ee x i s t e n c ea to n e p o i n t ，a n d ，ab y p r o d u c t ，g e tt h ec o r r e s p o n d i n g b o u n d e d n e s so f o p e r a t o r s t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ns t u d yt h ee x i s t e n c eo fs q u * e f u n c t i o n sa c t i n go nc a m p a n a t o s p a c e s h 5 4 t h ea n t h c 口l u s ts t u d i e dt h eb e h a v i o ro fc l a s s i c a ll i t t l e w o o d p a l e y s q u a r ef u n c t i o n sa c t i n go n 上“a n db m os p a c ea n dp o i n to u tt h a tt h ev a l u eo f s q u a r ef u n c t i o n sm a yb ei n f i n i t ee v e r y w h e r ei n 丑”u n d e rt h ea s s u m p t i o no ft h e e x i s t e n c e ( f i n i t e n e s s ) o n as e tw i t 五p o s i t i v e m e a s l l n e ，t h ea u t h o rg e tt h ea , e ，f i n i t e n e s s a n db m o b o x m d e d n e s so fs q u a r ef u n c t i o n s s o o na f t e r ，s u c hk i n do fr e s u l t sw a s g e n e r a l i z e dt oo t h e rk i n do fs q u x ef u n c t i o n ss u c ha sl u s i n sa r e af u n c t i o n s s t e m s 蚊f u n c t i o n s ，s e e 【3 0 ，5 2 e t c l a t e r ，虹【5 5 】a u t h o r si m p r o v e dt h ea f o r em e n t i o n e d r e s u l tu n d e rt h ea s s m n p t i o no fo n ep o i n tf i n i t e n e s s s i m i l a rr e s u l t sa a l s ot r u e f o rl i p s h i t zf u n c t i o ns p a c e s s e e 4 9 ，s 0 s i n c et h eg e n e r a l i z a t i o no fb m o a n d l i p s h i t zi sc a m p a n a t of u n c t i o n an a t u r a lq u e s t i o ni s i ft h e r ea r es i m i l a ra n s w e r s f o rt h es q u a r ef u n c t i o n o p e r a t o r sa c t i n go nc m n p a n a t os p a c e s r e c e n t l y k y a h u t a h a sg o t t e nar a t h e rs a t i s f a c t o r yr e s u l t s e e1 4 9 a n da ne a r l i e ra r t i c l e1 4 0 c o n c e r n i n g o nt h es a j n eq u e s t i o n b u ty a b u t a sr e s u l th a s8n o ts os a t i s f i e dp o i n t ，t h a ti s ，t o g e tt h ea e f i n i t e n e s sh ea l w a y sm u s ta s s n i e t et h ef i n i t e n e s so fs q u a r ef u n c t i o n so n ap o s i t i v ei n e a s u r es e t ( s u c ha st h ef i r s to c c u i t e m c ei n1 5 4 】) t h em a i nr e s u l t si n t h i ss e c t i o np o i n to u tt h a tt h eo n ep o i n te x i s t e n c ei se n o u g h m o r ep r e c i s e l y ，l e t “，) ，5 ( ，) ，鲸( ，) b er a d i a l ，n o n t m a g e n t i a l ，a n dt a n g e n t i a ls q u a r e f u n c t i o n sr e l a t e dt o al i t t l e w o o d - p a l e yf u n c t i o n 妒r e s p e c t i v e l y ，w eh a v e t h e o r e m2 1 s u p p o s e ，护1 “( 1 p o o ，一嚣sd 1 ) i f t h e r ee x i s t so n e p o i n t z 0 置“，s u c ht h a tg ( f ) ( z o ) + ，t h e n9 ( ，) 0 ) a r ef i n i t ea l d o s te v e r y w h e r ea n d t h e r ei sap o s i t i v ec o n s t a n tc d e p e n d i n go n l yo n1 ；f ，n ，ao l s u c ht h a t i i g ( j ) l i l , asg l 州胁a t h e o r e m2 2s u p p o s e ，妒冉( 1 p o o ，一暑sa 1 ) t h e r ee x i s t so n ep o i n t 墓o r “s u c ht h a t3 ( 岁) ( 韶o ) + ，t h e ns ( ，) ( 蕾) 2 口ef i n i t ea e i nj pa r i dt h e f ei sa c o n s t a n tc d e p e n d i n go n 妒，n ，a o ls t i i s ( ) i l l , ，。c i t i i i l , 一 t h e o r e m2 3 s u p p o s ef 妒。( 1 p o o ，一芸墨o 3 + 罢i ft h e r e e x i s t s 咖ep o i n tz 0 r “s u c ht h a t 蝣( ，) ( 七o ) + ，t h e n 以( ，) ( z ) a r ef i n i t ea ei i l 丑”a n dt h e r ei sac o n s t a n tc d e p e n d i n go n l yo n 币，n ，p ，a ，as t i 珐( 删i 肌o c i i f t l o p ，。 i ns e c t i o n2 2w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fak i n do f & m g 妇i n t e g r a l sa c t i n g o nt h ee n d p o i n ts p a c e s s i n c et h ep i o n e e r i n gw o r ko fc a l d e r 6 na n d z y g n m n d ( 1 8 】) ， t h e r ea r em a n yw o r k sc o n c e n t r a t i n go nt h ee x i s t e n c ea n dh o u n d e d n e s so fs i n g u l a r i n t e g r a lo p e r a t o rta c t i n go np ( 妒( 1 p 叫s p a c e s ，s e e 【2 8 ，4 2 ，4 3 ，4 7 f o r d e t a i l s f o rt h ee n d p o i n tc a s ep 2o o i ti sw e l lk n o w n t h a tt h e 上。b o u n d e d n e s so f tf a i l s a tt h i sp o i n t ，t h ej o k u - n i r e n b e r gs p a c eb m o i sa na p p r o p r i a t es u b s t i t u t e f o r 五。i nf a c t ，t h ed e f i n i t i o no ftc a b ep r o p e r l ym o d i f i e ds ot h a ti tb e c o m e sa b o u n d e do p e r a t o rf r o ml o ot ob m o ( s e e ，f o r e x a m p l e ，【4 啪i nt h i ss e c t i o n ，w ea r e e s p e c i a l l yi n t e r e s t e d i ng e t t i n gt h ee x i s t e n c ea n d b o u n d e d n e s sv i aad i r e c ta p p r o a c h u n d e raw e a ka s s u m p t i o n ( e x i s t e n c ea to n e p o i n t ) ，w eg e tt h ea e e x i s t e n c eo f s i n g u l a ri n t e g r a l sa n db yt h ew a yg e tt h eb m o - b o u n d e d n e s s i ti sn e c e s s a r yt o p o i n to u tt h a tt h eb o u n d e d n e s sr e s u l ti sn o tn e w ，a n dt h ee x i s t e n c ei sj u s tn e e d e d t ob ec a r e f u l l yv e r i f i e di n0 1 1 1 s e t t i n g t h ek e r n e lf u n c t i o no fs i 】州i n t e g r a lw es t u d yma sf o l l o w s s u p p o s ek c ( 妒 o ) ) s a t i s f y i n gt h a tt h e r ei sac o n s t a n tc s u c ht h a t ： ( a ) 上 i 。k n k ( z ) d z = 0 ，v 0 ( e 0 咖。叫2 9 计虹蛔，b m 0 + t h em m ut h e o r e mi nt h i ss e c t i o ni s ： t h e o r e m2 4s u p p o s eti sas i n g u l i n t e g r a ld e f i n e d “a b o v e ，f b m oa n d t h e r ei so n ep o i n tz o r ”s u c ht h a t t ( z 0 ) e x i s t s ，t h e nt ，( z ) e x i s ta , e ，i n 妒a n d t f ( z ) b m o m o r eo v e r ，t h e r e i sbc o n s t a n tc d e p e n d i n go n l yo n 札，k s t ： 【t + 曼c n s i m i l a rr e s u l ti sa l s ot r u ef o rc a m p a n a t o f u n c t i o n s ， x l t h e o r e m2 5s u p p , ：培e ，护p ，1 p 0 w ef l r s tg i v ear e s u l tc o n c e r n i n go nt h ee x i s t e n c eo f m a x i m a lf u n c t i o n si n s p i r e d b yt h er e c e n tw o r k 【2 1 t h e o r e m2 6s u p p o s e ( x ，d ，p ) i sah o m o g e n e o u ss p a c ea n df 五l o c ( 盖) t h e r e e x i s t so n ep o i n t 。os u c ht h a tm f ( z o ) + ，t h e n m f ( z ) + a e i nx t h en e x tt h e o r e mi sas t r i c tv e r s i o no ft h e o r e m1 , 2o f 【7 l o u rp r o o fi sn e w a n de l e m e n t a r y t h e o r e m2 7s u p p o s e ( x ，d ，p ) i sah o m o g e n e o u ss p a c es a t i # y i n g6 a n n u l a rd e c a y c o n d i t i o na n d ，五劫卢，卢茎a 6 i f t h e r ee x i s t sap o i n tx os u c ht h a tm f ( z o ) + o o ， t h e nm f ( z ) + o 。f o r e v e r yz xa n db e l o n g st o 工郴m o r e o v e r ，t h e r ee x i s t sa c o n s t a n tc d e p e n d i n go n l yo na ，k ，a ，pa n d 占s u c ht h a t | | 肘，卢se b x l i a tl a s tw eo b t a i nt h eb o u n d e d m e s so fm a x i m a lo p e r a t o rf o ra n o t h e fk i n do f l i p s c h i t zf u n c t i o no nh o m o g e n e o u ss p a c e s t h e o r e m2 8s u p p o s e ( x ，d ，p ) i s8h o m o g e n e o u s s p a c es a t i s f y i n g6 - w u u l a rd e c a y c o n d i t i o na n d ，i i 卵，卢a 6 l 0 9 2a i ft h e r ee x i s t sa p o i n t2 0 s u c ht h a tm ，( 2 0 ) + o 。，t h e nm ，扣) + o o f o ra e 2 xa n d b e l o n g st oj i 妒m m e o v e s ，t h e r ee x i s t s ac o n s t a n tc d e p e n d i n go n l yo na ，k ，pa n d6s u c ht h a t l i m 州p ，1sci i 刘口，1 c h a p t e r3 a r em a i n l yc o n c e n t r a t i n go nt h ee n d p o i n te s t i m a t e sf o rc o m m u t a t o r 靠o f a5 j n g l 】1 i n t e g r a ltw i t hm u l t i p l i c a t i o nb ya l o c a l l yi n t e g r a b l ef u n c t i o nb i t i s w e l l k n o w n t h a t 噩i s b o u n d e d0 1 1 护( 舻) ，1 p o o ，w e l l * 6 i sa e m o ( r ) f u n c t i o n m o r e o v e r ，i ft h ec o m m u t a t o ro fa l lr i e s st r a n s f o r m sa t eb o u n d e df o rs o m e p ( 1 ，+ ) ，t h e nbm u s tb e l o n gt ob m o t r ”) ，s e e 1 6 i ti sn a t r o r a t oc o n s i d e rt h eb o u n d e 血e 瞄o f f o rt h ee x t r e m ev a l u eo fp ， p=1 o r + o o ，o n em a ya s kw h e t h e rt h ec o m m u t a t o ri sb o u n d e df r o m 上o 。t o b m o ( o r f r o m 日1t ol 1 ) at h e o r e mo f h s t 】s a y s k ，t h ec o m m u t a t o ro fh i l b e r t t r a n s f o r mw i t hf u n c t i o nb ，i sb o u n d e d f r o m 工( 口1 ) t ob m o (