2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷理科及答案.docx

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A2B2C1+iD1i2（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|1）的定义域为A，集合B=x|sinx=0，则（UA）B的子集个数为（）A7B3C8D93（5分）函数f（x）=sin（x+）（0，0）的图象中相邻对称轴的距离为，若角的终边经过点，则的值为（）ABC2D4（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）Am=38，n=12Bm=26，n=12Cm=12，n=12Dm=24，n=105（5分）设不等式组表示的平面区域为1，不等式（x+2）2+（y2）22表示的平面区域为2，对于1中的任意一点M和2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）ABCD6（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A（，1）B（1，2）C（0，2）D（1，2）7（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A11BCD8（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S20140，S20150，对任意正整数n，都有|an|ak|，则k的值为（）A1006B1007C1008D10099（5分）已知非零向量，满足|=|=4，（）（）=0，若对每一个确定的，|的最大值和最小值分别为m，n，则mn的值为（）A随增大而增大B随增大而减小C是2D是410（5分）已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A4B12C16D3611（5分）已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若PAQ=60，且，则双曲线C的离心率为（）ABCD12（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x0，1，总存在唯一的y1，1，使得x+y2eya=0成立，则实数a的取值范围是（）A1，eBC（1，eD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知a0，展开式的常数项为15，则= 14（5分）设a，bR，关于x，y的不等式|x|+|y|1和ax+4by8无公共解，则ab的取值范围是 15（5分）正项数列an的前n项和为Sn，且（nN*），设，则数列cn的前2016项的和为 16（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（2，1），当APF周长最小时，其面积为 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3（）求AD的长；（）求cosC18（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，ADE，BCF均为等边三角形，EFAB，EF=AD=AB（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值19（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成0，2000，（2000，4000，（4000，6000，（6000，8000，（8000，10000五组，并作出如下频率分布直方图：（）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；（）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30b捐款不超过500元cd=6合计P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，20（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c0）到直线l：xy2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值21（12分）已知函数f（x）=+bex，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2xy=0垂直（1）求a，b的值；（2）如果当x0时，都有f（x）+kex，求k的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）选修44；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围选修4-5：不等式选讲23设f（x）=|x|2x1|，记f（x）1的解集为M（1）求集合M；（2）已知aM，比较a2a+1与的大小2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A2B2C1+iD1i【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1i，z1z2=（1+i）（1i）=2故选：A2（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|1）的定义域为A，集合B=x|sinx=0，则（UA）B的子集个数为（）A7B3C8D9【解答】解：由|x+1|10，得|x+1|1，即x2或x0A=x|x2或x0，则UA=x|2x0；由sinx=0，得：x=k，kZ，x=k，kZ则B=x|sinx=0=x|x=k，kZ，则（UA）B=x|2x0x|x=k，kZ=2，1，0（UA）B的元素个数为3（UA）B的子集个数为：23=8故选：C3（5分）函数f（x）=sin（x+）（0，0）的图象中相邻对称轴的距离为，若角的终边经过点，则的值为（）ABC2D【解答】解：由题意相邻对称轴的距离为，可得周期T=，那么=2，角的终边经过点，在第一象限即tan=，=故得f（x）=sin（2x+）则=sin（+）=cos=故选：A4（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）Am=38，n=12Bm=26，n=12Cm=12，n=12Dm=24，n=10【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有501212=26，故m=26故选：B5（5分）设不等式组表示的平面区域为1，不等式（x+2）2+（y2）22表示的平面区域为2，对于1中的任意一点M和2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）ABCD【解答】解：不等式组表示的平面区域为1，不等式（x+2）2+（y2）22表示的平面区域为2，如图：对于1中的任意一点M和2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，所以，|MN|的最小值为：=故选：C6（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（）A（，1）B（1，2）C（0，2）D（1，2）【解答】解：当x0时，f（x）0，2m0，故m2f（x）=f（x）有两个绝对值大于1的极值点，mx2=0有两个绝对值大于1的解，m1故选：D7（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）A11BCD【解答】解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥PABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，AB平面PAD，ABPA，PA=，该多面体各面的面积中最大的是PAB的面积：SPAB=故选：C8（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S20140，S20150，对任意正整数n，都有|an|ak|，则k的值为（）A1006B1007C1008D1009【解答】解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014=1007（a1007+a1008）0，a1007+a10080同理由S20150可得2015a10080，可得a10080，a10070，a10080，且|a1007|a1008|对任意正整数n，都有|an|ak|，k的值为1008故选：C9（5分）已知非零向量，满足|=|=4，（）（）=0，若对每一个确定的，|的最大值和最小值分别为m，n，则mn的值为（）A随增大而增大B随增大而减小C是2D是4【解答】解：假设=（4，0）、=（2，2）、=（x，y），（）（）=0，（4x，y）（2x，2y）=x2+y26x2y+8=0，即（x3）2+（y）2=4，满足条件的向量的终点在以（3，）为圆心、半径等于2的圆上，|的最大值与最小值分别为m=2+2，n=22，mn=4，故选：D10（5分）已知如图所示的三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（）A4B12C16D36【解答】解：AB=3，AC=，BC=2，AB2+AC2=BC2，ACAB，ABC的外接圆的半径为，ABC和DBC所在平面相互垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3=R2=（h）2，h=1，R=2，球O的表面积为4R2=16故选：C11（5分）已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若PAQ=60，且，则双曲线C的离心率为（）ABCD【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y=x，A（a，0），P（m，），（m0），由=3，可得Q（3m，），圆的半径为r=|PQ|=2m，PQ的中点为H（2m，），由AHPQ，可得=，解得m=，r=A到渐近线的距离为d=，则|PQ|=2=r，即为d=r，即有=可得=，e=故选C12（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x0，1，总存在唯一的y1，1，使得x+y2eya=0成立，则实数a的取值范围是（）A1，eBC（1，eD【解答】解：由x+y2eya=0成立，解得y2ey=ax，对任意的x0，1，总存在唯一的y1，1，使得x+y2eya=0成立，a1（1）2e1，且a012e1，解得ae，其中a=1+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知a0，展开式的常数项为15，则=【解答】解：由的展开式的通项公式为Tr+1=（1）ra6r，令=0，求得r=2，故常数项为，可得a=1，因此原式为=，故答案为：14（5分）设a，bR，关于x，y的不等式|x|+|y|1和ax+4by8无公共解，则ab的取值范围是16，16【解答】解：关于x，y的不等式|x|+|y|1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标（1，0），（0，1），（0，1），（1，0），关于x，y的不等式|x|+|y|1和ax+4by8无公共解，则ax+4by8表示的范围在可行域外侧，当a0，b0时满足题意，可得1，1，可得0ab16，当a0，b0时满足题意，可得1，可得：2b0，0a8可得16ab0，当a0，b0时满足题意，可得，可得：0b2，8a0可得16ab0，当a0，b0时满足题意，可得，可得：2b0，8a0，0ab16，当ab=0时，不等式|x|+|y|1和ax+4by8无公共解；故ab的取值范围是：16，16；故答案为：16，1615（5分）正项数列an的前n项和为Sn，且（nN*），设，则数列cn的前2016项的和为【解答】解：正项数列an的前n项和为Sn，且（nN*），则：，得：+an+1an，整理得：an+1an=1，当n=1时，解得：a1=1，所以：数列an是以1为首项，1为公差的等差数列则an=1+n1=n，所以：则：=，数列cn的前2016项的和为：，=1+，=故答案为：16（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（2，1），当APF周长最小时，其面积为4【解答】解：椭圆C：+=1的a=2，b=2，c=4，设左焦点为F（4，0），右焦点为F（4，0）APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（2a|PF|）=|AF|+|AP|PF|+2a|AF|AF|+2a，当且仅当A，P，F三点共线，即P位于x轴上方时，三角形周长最小此时直线AF的方程为y=（x+4），代入x2+5y2=20中，可求得P（0，2），故SAPF=SPFFSAFF=2818=4故答案为：4三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3（）求AD的长；（）求cosC【解答】解：（）由得到：ADAC，所以，所以（2分）在ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD22ABADcosBAD即AD28AD+15=0，（4分）解之得AD=5或AD=3，由于ABAD，所以AD=3（6分）（）在ABD中，由正弦定理可知，又由，可知（8分）所以（10分）因为，即（12分）18（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，ADE，BCF均为等边三角形，EFAB，EF=AD=AB（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值【解答】解：（1）当N为CF的中点时，AF平面BDN证明：连结AC交BD于M，连结MN四边形ABCD是矩形，M是AC的中点，N是CF的中点，MNAF，又AF平面BDN，MN平面BDN，AF平面BDN（2）过F作FO平面ABCD，垂足为O，过O作x轴AB，作y轴BC于P，则P为BC的中点以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=1，则BF=1，FP=，EF=1，OP=（ABEF）=，OF=A（，0），B（，0），C（，0），F（0，0，），N（，）=（0，2，0），=（，），=（，）设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，令z=得=（2，0，），=1，|=，|=cos，=直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos，|=19（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成0，2000，（2000，4000，（4000，6000，（6000，8000，（8000，10000五组，并作出如下频率分布直方图：（）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；（）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元a=30b捐款不超过500元cd=6合计P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，【解答】解：（）记每户居民的平均损失为元，则：=（10000.00015+30000.0002+50000.00009+70000.00003+90000.00003）2000=3360（2分）（）由频率分布直方图，得：损失超过4000元的居民有：（0.00009+0.00003+0.00003）200050=15户，的可能取值为0，1，2，P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，的分布列为： 0 12 P E=0+1+2=（）如图：经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元30939捐款不超过500元5611合计351550K2=4.0463.841，所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关（12分）20（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c0）到直线l：xy2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值【解答】解：（1）焦点F（0，c）（c0）到直线l：xy2=0的距离，解得c=1，所以抛物线C的方程为x2=4y（2）设，由（1）得抛物线C的方程为，所以切线PA，PB的斜率分别为，所以PA：PB：联立可得点P的坐标为，即，又因为切线PA的斜率为，整理得，直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得，即，因为点P（x0，y0）为直线l：xy2=0上的点，所以x0y02=0，即y0=x02，所以直线AB的方程为x0x2y2y0=0（3）根据抛物线的定义，有，所以=，由（2）得x1+x2=2x0，