（材料学专业论文）固体“类流态”现象的混沌动力学特征及机理研究.pdf

中文摘要 本文在的人研究的基础上 采j 舄金相显微镜 透射及环境扫描电子显微镜 原子力显微镜和x 劓线衍射仪等观测仪器 对纯金属 合金和非金属材料糜棱 状石英岩 辉长岩等进行观察 验证了在常温常压下 这些材料中存在着一种未 被人们认知的 具有类似流体特征的非线性振荡现象 类流态 现象 是一 种非极端条件下新的物质存在状态 其普遍存在j 二各类固体物质中 当外界条件 达到类流态胞区出现的临界值时 固体中就会出现这种状态 类流态的宏观表现 为材料表面观察到动态的运动并可测量到某些性能的变化 微观表现为用高倍数 的仪器进行测量时可以发现点阵结构的变化和x 射线衍射谱线的细微波动 将 小尺度和大尺度范围内的测量结果进行比较 发现类流态现象呈现出典型的分形 特征 即局部上显示出无规律性 随机性 而在眶体上呈现自相似性 应力作为 可以提供能量的外场 可以诱发出类流态胞区 固体类流态的振荡过程是一种典型的非线性动力学过程 由于其运动的复杂 性 在不了解运动产生的物理机理时 只能采用唯象的方法 对其表象进行研究 本文在实验观察的基础上 通过对的类流态胞区振荡运动录像资料的处理 对胞 区振荡时 b j 序列进行了系统的混沌动力学分析 重构了动力系统的相空问 计算 了分形维数 l y a p u n o v 指数 足熵 h u r s t 指数 从多方面证明类流态在常温常 压下是一种非常复杂的 具有正的塌大l y a p u n o v 指数的混沌运动状态 发现并 证实在c u z n a l 合金的类流态运动过程当中 由 f 胞区原子的活性和高能量 可 以产生合金纳米管 即存在混沌到有序的过程 从固体类流态随时间振荡的时间 序列数据出发 建立了n l a r 非线性模型 预测结果表明 该模型具有较高的 短期预测精度 相对误差在1 0 以内 固体类流态的振荡时阳j 序列是 k e e 天然的 非方程迭代产生的时f n j 序列 具 有深刻的材料物理内涵 关键词 类流态 合金 混沌动力学 相空间重构 非线1 生模型 a b s t r a c t a nu n k n o w nu a t u r a tn o n l i n e a ro s c i l l a t i o np h e n o m e n o n n a m e d q u a s i f l u i ds t a t e i si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r t h i sp h e n o m e n o nw h i c hi ss i m i l a rt o l i q u i di sv a l i d a t e d u n d e rn o r m a lt e m p e r a t u r ea n dp r e s s u r eo nt h es u r f a c eo f p u r em e t a l a l l o y m y l o n i t i c q u a r t z i t e g a b b r o se ta lu s i n gm e t a l l o g r a p h i cm i c r o s c o p e t e m s e m a f ma n dx r a y d i f f r a c t o m e t e rb a s e do n p r e c e d i n gr e s e a r c h e r s t h e p h e n o m e n o nr e v e a l sa n e v vm a t t e r e x i s t e n c es t a t ei nn o n e x t r e m ea r d u o u sc o n d i t i o n s b e s i d e st 1 1 ew e l l k n o w n s t a t e s g a s 1 i q u i d s o l i d a n d l i q u i dc r y s t a l t h e u b i q u i t y i so n eo fi t sm o s t i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c s w h e nt h ee x t e r n a lc o n d i t i o nr e a c h e s t 1 1 ec r i t i c a iv a l h e t h e p h e n o m e n o n w i l la p p e a ri ns o l i d s i n m a c r o s c o p i c s c a l e t h e d y n a m i c a l m o t i o nc a nb eo b s e r v e da n ds o m e p e r f o r m a n c ec h a n g e sc a nb em e a s u r e di nq u a s i f l u i ds t a t ec e l l u n d e rh i g hp o w e r m i c r o s c o p e t h e l a t t i c es t r u c t u r e c h a n g e s c a i lb e o b s e r v e d t h ex r a yd i f f r a c t i o n s p e c t r a ll i n e se x h i b i tf i n ef l u c t u a t i o n c o m p a r i n gt h es m a l l s c a l er e s u l t sw i t ht h eg r e a t o n e s t h ei r r e g u l a r i t ya n dr a n d o m i c i t ya p p e a ri nl o c a l a n dt h es e l f c o m p a r a b i l i t yi s s h o w e da sa w h o l e i e q u a s i f l u i ds t a t e p r e s e n t sat y p i c a lf r a c t a lc h a r a c t e r t h es t r e s sa sa ne x t e m a lf i e l dw h i c hc a n p r o v i d ee n e r g y c a r li n d u c et h eo s c i l l a t i o n o f t h e q u a s i f l u i ds t a t e c e l l q u a s i f l u i ds t a t e i sat y p i c a ln o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s i n c et h ec o m p l e x i t y o ft h em o t i o na n dt h em e c h a n i s mi ss t i l l u n k n o w n t h er e s e a r c hm e t h o d sa r em o s t l y p h e n o m e n o l o g i c a lt h e o r y i n t h i s p a p e r a c c o r d i n g t ot h e e x p e r i m e n t a l d a t a t h e c h a o t i cd y n a m i c so ft h eq u a s i f l u i dc e l lo s c i l l a t i o nt i m es e r i e si ns o l i di s a n a l y z e d t h ed y n a m i c a l s y s t e mp h a s es p a c e i s r e c o n s t r u c t e d t h es y s t e mp a r a m e t e r sa r e c a l c u l a t e d s u c ha sf r a c t a ld i m e n s i o n s l y a p u n o ve x p o n e n t s k o l m o g o r o ve n t r o p ya n d h u r s t e x p o n e n t t h er e s u l t sp r o v e d t h a tt h eq u a s i f l u i di sa v e r yc o m p l e x c h a o t i cs t a t e h a v i n gt h ep o s i t i v el a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t d u et ot h eq u a s i f l u i dc e l l sa c t i v i t y a n dh i g he n e r g y t h eo s c i l l a t i o no fc u z n a ia l l o yc a nb r i n gu pt h en a n o t u b e i ti sa l l o b v i o u sp r o c e s sf r o mc h a o t i ci n t oo r d e r t h en l a rm o d e lo ft h et i m es e r i e si s c o n s t r u c t e d t h em o d e lh a su p p e r p r e d i c t e dp r e c i s i o nw i t h i n1 0p e r c e n t t h eq u a s i f l u i dc e l lo s c i l l a t i o nt i m es e r i e si ns o l i di san a t u r a l n o n i t e r a t i o no f e q u a t i o n st i m es e r i e s i th a sp r o f o u n d c o n n o t a t i v em e a n i n go fm a t e r i a l s p h y s i c s k e yw o r d s q u a s i f l u i ds t a t e a l l o y c h a o t i cd y n a m i c s p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n n o r l i n e a rm o d e l i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果 除了文中特别加以标注和致谢之处外 论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果 也不包含为获得墨鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名 琴长馕蔓 签字日期 p 够年 月印目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫姿盘堂有关保留 使用学位论文的规定 特授权垂壅盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索 并采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编以供查阅和借阅 同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 保密的学位论文在解密后适用本授权说明 学位论文作者签名 写畏爰羔 签字日期 删年 月纠日 7 l 色互万钆 高川 氟 肌 稚 耕 副 秘 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 物质的运动是永恒的 大至宇宙天体的运动 小到微观粒子的热振动 运动 无处不在 运动导致物质存在状态的变化 如普通条件下的气态 液态 固态 极端条件下的等离子态和玻色一爱因斯坦凝聚态等等 但这些划分也不是严格 的 在一些特殊条件下 可以实现如气液不分的超临界态 液体中的晶体一液晶 以及本文中所研究的固体 类流态 等等 1 2 固体物质的结构 在日常生活中 我们最常看到的相变是物质三态的变化 物质气一液一固三 态之间的相变是系统中大量分子之间相互作用的势能与分子热运动的动能的相 对大小决定的 当束缚分子热运动的势能逐渐占主导地位时 分子之间的协同作 用在系统中占支配地位 从而决定了系统的有序程度和状态 l 对自然界中的各种物质 如果不以其宏观性质为标准 而单纯考虑组成物质 的原子排列方式 即几何结构 就能以不同的物理状态将物质分为两大类 一 类称为有序结构 另一类称为无序结构 晶体为典型的有序结构 而气体 液体 和非晶态固体都属于无序结构 气体相当于物质的稀释态 液体和非晶态固体相 当于凝聚态1 3 4 l 在稀薄的气体中 分子间几乎没有任何相互作用 各个分子的空间位置各不 相关 分子处于完全的无序状态 气体密度越小 其组成分子越接近理想的无序 态 气体也就越接近理想气体 实际上也只有理想气体的分子才处于理想的无序 态 液体呈现另一种无序状态 其分子紧密地堆积在一起 形成无序的排列 而 且分子间很容易相互滑动 随着单位体积内分子数的逐渐增加 气态和液态之削 存在着一系列连续的中间态 因此 可以把液体和气体列为无序结构的同一种类 型 通过连续的转变 可以从气态或液态获得非晶态 也称为无定形或玻璃态 的固体 非晶态固体的分子仍象在液体中一样以相同的紧密程度无序地堆积着 天津大学博士学位论文 只是不再能相互滑动了 囡此非晶态固体具有固有的形状和很大的硬度 还有一些物质的几何结构是介于有序和无序之间 这类物质可看成是结晶不 好或部分结构有序 许多高聚物 液晶以及组成人体的主要生命物质都属于这一 范畴 5 9 l 作为近似 许多现象都可用有序和无序这两种不同的状态来描述 但两者之 间的界限又不是绝对的 在液体和非晶态固体中的无序并不是单纯的 混乱 而是破坏了有序体系的某些对称性 形成某种有缺陷的 不完整的有序 存在着 短程有序 是液体和非晶态固体的基本特征之一 晶态固体 即晶体 是由原子 分子或离子在空间有规则 有序 的排列而 形成的固体 金属 岩盐和冰等都是晶体 在显微镜下 可观察到金属是由许多 小晶粒 线度为微米量级 组成的 用x 射线衍射方法对晶粒进行分析表明 晶粒内部是有序排列的 在晶体中 至少在微米量级的范围内是有序排列的 是 长程有序 1 3 平衡相变和非平衡相变 相变是有序和无序两种倾向矛盾斗争的表现 相互作用是有序的起因 热运 动是无序的来源 人们把具有相同成分及相同物理 化学性质的均匀物质部分称之为 相 物质系统各相之间的相互转变称为 相变 相变明显的表现是 外观上 和 宏 观性质上 的质变 平衡相变则有系统内部各处的温度相等 热平衡 压强相 等 力学平衡 化学势相等 化学反应平衡 等特征 气态 液态和固态之间的相变 伴随着潜热效应 汽化热 液化热 和宏观 体积 即分子间平均距离 的变化 在这类相变时的一对主要矛盾是 分子的独 立运动和分子之间由于关联而形成的协同运动的对抗 独立运动或日自由运动是 广泛存在于我们这个世界本底之中的一种随机运动 分子的热运动就是这样的 类运动 分子的热运动是完全无规则的 从统计的观点来看 分子热运动的平均 动能与绝对温度t 成正比 温度越高分子无规则热运动的动能就越大 在这里 分子之间的关联是由分子之间相互作用力引起的 从能量的观点看 子系统之间 的相互关联力图使系统处于最低的势能状态 使系统处在有一定组织结构的有序 状态 如果分子热运动的动能远大于分子关联运动的势能 比如气态 则分予 的无规则的独立的热运动占主导地位 系统表现为完全的无序状态 气体可以充 第一章绪论 满任意形状和大小的容器 如果由分子的关联产生的协同 运动 步调一致 的能量远大于分子独立运动的能量 则该 运动 占主导地位 l p 虫h 固态 系 统呈现有序状态 此时 分子的独立运动只不过是迭加在协同 运动 上的一个 小的扰动 它并不影响系统在整体上的规则 或规律 性和有序性 i l 女n 按照一 定的队形在操场上作广播操的人群 虽然每个人的动作并非完全一致 但随着广 播的节奏仍能感受到整体的一致性 两种趋向相互竞争 都力图使整个系统统一 在自己的状态中 由于分子热运动分布的随机性 所以这种局域的表现并非固定 的 各种可能结合的状态在系统中各处相当活跃地涌现着 人们通过激光散射实 验 尤其在临界乳光实验中 己经观察到了出现各种可能密度的小涨落 但是 只有那些符合系统发展趋势的密度涨落才能得到其它子系统的响应 发展为巨涨 落 最终波及整个系统 使系统完成相变过程 总之 相互作用力导致有序和组 织 热运动引起无序和混乱 两种倾向相互矛盾 当一方胜过另一方时则发生相 变 这是相变理论的一个基本的论点 虽然人们对这类相变的研究最早 很早就得到了一些实验规律 并用分子运 动论的观点阐述它 然而深刻地认识相变过程的实质 比如临界涨落等问题 则是人们在研究二类相变 尤其非平衡相变的过程中才体会到的 非平衡相变是指在远离平衡的非平衡区中实现的相变 在近平衡的非平衡区 是不可能实现的 非平衡相变有一个相变点 而不是一个相变区域 也就是说 非平衡相变是突变式的 它是量的随机涨落瞬间达到质变点而引发的物质结构的 飞跃 而不是由量变的逐渐积累所引起的质变 非平衡相变都是在同一物态中的 相转变 而不涉及物态间的转变 也没有物态转变时潜热的释放和吸收 非平衡 相变点两侧的性质 与平衡态二级相变两侧的性质相似 非平衡态相变后形成稳 定无序的耗散结构本身 必须随时有外界的能量和物质的补充 以有助于维持耗 散结构本身的稳定 若一旦不能充分的供给外界的能量和物质 耗散结构立即瓦 解 这是与平衡相变完全不同的 平衡相变后的新结构是不需要外界供给能量和 物质来维持其稳定性的 总而言之 非平衡相变是耗散结构在特定条件下出现的 一种现象 与平衡相变相比有着更复杂的突变机制 2 1 0 1 4 从各种可能状态分布上看 有序程度的改变是相变的共同特征 而且往往伴 随着对称性的破缺 因此 通过寻找对称性破缺所出现的对应序参量是描述相变 特征的关键 通常 低温相的对称性较低 有序度较高 高温相的对称性较高 但有序度较低 序参量反映了系统内部状态 只要序参量是非零值 就意味着对 天津大学博士学位论文 称性起了质的改变 出现了有序 在不同的相变过程中 序参量的结构和含义也 不相同 但是 一旦找到了序参量 其描述方法就基本相同了 表1 1 列举了几 种物理系统的序参量 对偶场 破缺的对称和恢复对称的模式 表1 1 几种连续相变的类比 1 4 t a b l e1 1a n a l o g yo f s e v e r a lc o n t i n u o u sp h a s et r a n s i t i o n s 1 4 非线性与复杂性 1 4 1 非线性动力学的发展历程 人们对线性物理系统的动力学行为研究由来已久 而且已很成熟 对非线性 物理系统的动力学行为的研究 是近两个世纪才逐渐由数学家 物理学家和化学 家等发展起来 1 8 8 0 年之前 主要是研究系统运动方程的解析解 用微扰法和运 动积分 在物理学方面 研究经典力学 天体力学 流体力学和气体动力学 在 数学方面 提出相应的抽象数学概念 如非欧几何 集合论 康托尔集 超穷数 等 1 8 8 0 1 9 1 0 年这3 0 年间得到了非线性偏微分方程积分的一般原理 体问 题运动的唯一独立积分 l y a p u n o v 运动稳定性 l y a p u n o v 指数 由于孤立波的 发现 德国科学家d j k o r t e w e g 和gd e v r i e s 提出了著名的k d v 方程 吼一6 口 妒 妒 0 第一章绪论 其中第二项为非线性项 第三项为色散项 由于该方程求解方面的困难而搁置多 年 直到1 9 6 5 年才由n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l 用电子计算机求出它的解 即通常所称的孤立子解 p o i n c a r 6 发展了拓扑分析 推广了分岔概念 引入了状态空间内的映射 差 分方程 和p o i n c a r 6 指数 速度场内闭曲线的指数 之后的2 0 年间 在数学上 发展了维的理论 不动点理论 拓扑学和微分几何 b i r k h o f f 研究了渐近集合 的各种范畴 在物理学上 v a nd e rp o l 提出了奇异摄动理论 他和v a i ld e rm a r k 在1 9 2 7 年观察到了非线性系统的重要物理现象 分谐的产生 滞后 参数空间 内的有噪区域和各种分岔现象 在2 0 世纪3 0 年代 诞生了嵌入概念 发现了液体中均匀湍流的k o l m o g o r o v 谱 第二次世界大战结束后 b i r k h o f f 抽象不连续动力学的例子首次阐明了混沌 吸引子 v o n n o u m a 证明了普适性 自复制自动机的存在 f e r m i p a s t a 和u l a m 找到了非单纯的张弛是近乎周期的行为 即f p u 现象 在这期间 k o l m o g o r o v a m o l d 和m o s e r 证明了对一特定的系统解族 其h a m i l t o n 量满足p o i n c a r 6 理论 当h a m i l t o n 量被稍作微扰时 正则变换存在新的作用 角度变量 在微扰趋 向于零时 此族包括大部分的解 大多数环面产生畸变而又不被破坏 这些环面 保持在相空间中 被保持的环面 叫k a m 面 到了6 0 年代 重新发现非线性色散介质中的孤立子 研究了多个孤立子构 形中的孤立子稳定性 非线性基础集合 在化学中 发现了b e l o u s o v z h a b o t i n s k i 相干 周期振荡 高维空间中的低维吸引子 l o r e n z 作了对b e n a r d 问题的n a v i e r s t o k e s 常微分方程的近似处理 研究了方程解的分岔到混沌动力学 自治系统 中的奇异吸引子 b b m a n d e l b r o t 提出分维集概念 引入了拓扑熵 1 9 7 0 1 9 8 0 年 f e i g e n b a u m 发现了l o g i s t i c 映射和相似映射的分岔序列中的定量普适性 得 到了f e i g e n b a u m 常数 近2 0 年问 研究人员从许多新的方面进行了大量的工作 促进了非线性科 学的发展 如无限维吸引子 均匀化学振荡器中的分岔实验 吸引子的嵌入维 高维空间中孤立子的共振相互作用 元胞自动机的空间图形生长比普适型简单但 非寻常的自复制 固体器件中分岔的普适行为 标准映射的混沌区域中的非扩散 行为 粘性岛 效应 l o r e n z 方程中同宿分岔的拓扑特性 空间一时间熵 量子混沌等 天津大学博士学位论文 1 4 2 非线性系统的复杂性 自从人们对非线性动力系统开展研究以来 人们逐渐发现了复杂非线性系统 的多解 跳跃 幅频依赖 极限环 分叉现象 间歇 激变 及其混沌运动等特 性 表明非线性动力学行为是极其复杂的 图1 1 人们甚至预言除混沌运动外 还存在比混沌更复杂的动力学行为 超混沌运动 因此系统地开展对这种复杂 行为的研究会有利于对自然科学 社会科学和生物系统中与时间有关过程的详尽 了解 有利于揭示非线性动力学中的一些奇怪现象 因而世界各国都很重视对非 线性动力学的研究 o l n t w 州l n aa 二 f 二 d a缸融 置 十 jr s f s f 置 c 图1 1复杂的物理系统与模型 a 实在世界的动力学过程 b 包舍了理论学家企图描述实在现象的物理洞察力 c 变量相空间中的非线性动力学 f i g 1 一lc o m p l e xp h y s i c ss y s t e m sa n dm o d e l s a d y n a m i c s i n t h er e a l w o r l d b t h i sp r o c e s sc o n t a i n t h e p h y s i c s i n s i g h to f t h e t h e o r i s t i na t t e m p t i n g t o d e s c r i b er e a lp h e n o m e n a c n o n l i n e a rd y n a m i c si nt h ep h a s es p a c e o f t h ep h y s i c sv a r i a b l e s 国外 9 8 4 年 在诺贝尔奖获得者g e l l m a m 等人的发起下 一批物理学家 理论生物学家 计算机专家和经济学家等 聚集于美国新墨西哥洲s a n t af e 组 织了一个s f i s a n t af ei n s t i t u t e 研究所 由g a c o w a n 负责 其主要研究目 第一章绪论 标就是复杂系统 他们分别在自己从事的领域中开展对不同复杂系统的研究 这 是因为他们在实践中遇到了复杂性困难 明白了分解还原论方法己行不通了 s f i 是国际上公认的复杂性问题的研究机构 1 9 9 1 年该所举办了 c o m p l e x s y s t e m s u m m e rs c h o o l 在此会上复杂问题研究专家a s w e i g e n d 和 n a g e r s h e r d t l t 1 提出对复杂问题要基于以下两方面的主要考虑 1 如何理解复杂行为 2 用何种技术实现这种认识 在实际问题中往往给出的是一个时间序列 因而后一问题很大部分就归结为 对时间序列的分析 时间序列分析是一门古老学科 近年来由于受到非线性科学 影响 有了很快发展 提出了各种观点 也有很多理论不能解决的问题 经典的时间序列方法是以时间序列为随机过程作为讨论的基础 因而整个理 论是以随机过程作为基础的 随着混沌现象的发现 人们逐渐地认识到在确定性 系统内部也存在着随机性 但时间序列中的本质特征往往不是随机原因而是非线 性动力学的原因 所以在此基础上产生了时间序列的非线性动力学方法 从目前的研究结果来看 时间序列的非线性动力学方法 适用于低维非线性 动力系统所产生的时间序列 对于由高维或无穷维动力系统所产生的行为和由随 机因素为主所产生的序列需要排除 如果一旦排除了上述两种情况 我们就可用 非线性动力学方法来处理时间序列 这样就把一个时间序列看成一个确定性动力 系统产生的结果 对于实际的物理问题 我们常常获得的是关于系统某一参量的时间序列数 据 这里有一个非常重要的反问题 即如何由时间序列来恢复原动力系统 然后 在此基础上来完成时序的预测 目前这个问题正处于探索和研究阶段 还有大量 的重要的问题需要解决 总的来说要想恢复原来的非线性动力学系统 要解决如 下几个问题 1 确定时序所在动力系统的维数 2 如何建立这个动力系统的坐标框架 3 如何在这个框架下描述这个动力系统 天津大学博士学位论文 1 5 分形与分维 1 5 1 分形的含义 在经典欧几里德几何中 我们可以用直线 圆锥 球等这一类规则的形状去 描述诸如墙 车轮 道路 建筑物等人造物体 然而在自然界中却存在着许许多 多极其复杂的形状 如山不是锥 云不是球 闪电不是折线 雪花边缘也不是圆 等等 再如宇宙中点点繁星所构成的集合更非经典几何所能描述的 它们不再具 有我们早己熟知的数学分析中的连续 光滑这些基本性质 这类奇形怪状长期以 来被认为是 不可名状的 或 病态的 1 9 7 5 年 美国i b m 公司的数学家b b m a n d e l b r o t l is i 首次引入 分形 f r a c t a l 这个新术语 它的原义是 不规则的 分数的 支离破碎的 物体 到了今天 事实表明 分形在自然界中广泛存在着 分形已成为数学园地的一朵奇葩 大量 它所涉及的领域遍及数学 物理 化学 材料科学 表面科学 生物等等各个领域 由于分形具有广泛而巨大的实用价值 和重大的理论意义 对它的研究越来越受到广泛重视 分形理论已经成了一门描 述自然界中许多不规则事物的规律性的科学 分形几何是一门几何学 它研究的对象是欧氏空间的一类子集 这类子集结 构比较复杂 其创始人b b m a n d e l b r o t 曾定义分形为组成部分与其整体以某种 方式相似的 形 但经过理论和应用的检验 人们发现这种简单的定义难以包 括分形如此丰富的内容 原则上晚 分形是一些简单空间上 如r 4 c c 上 的一些复杂的点的集合 这种集合具有某些特殊性质 首先它是所在空间的紧子 集 并且具有以下典型的几何性质 1 9 2 1 l 1 分形集都具有任意小尺度下的比例细节 或者说它具有精细结构 2 分形集不能用传统的几何语言来描述 它既不是满足某些条件的点的 轨迹 也不是某些简单方程的解集 3 分形集具有某种自相似的形式 可能是近似的自相似或者统计的自相 似 4 一般按该方式的定义 分形集的分形维数严格大于它相应的拓扑维数 5 在大多数情形下 分形集由非常简单的方法定义 可以用变换的迭代 形式产生 对于各种不同的分形 有的可能同时具有上述的全部性质 有的可能只有 1 一 5 中的大部分性质 而对某个性质有例外 但这并不影响我们把这个集合 第一章绪论 称为分形 自然界和各门应用科学中涉及的分形绝大多数都是近似的 分形的例 子如图1 2 至图1 4 所示 2 2 ol 32 3 图1 2 三分c a n t o r 集 f i g 1 2 t r i s e c t i o nc a n t o rs e t 图1 3v o n k o c h 曲线 f i g 1 3v o nk o c hc u r v e 昂 b b e 4 b 图1 4z 2 一a 的j u l i a 集 口 五 一f b 五 1 c 五 0 8 一o 7 i d 丑 0 3 2 0 7 4 j f i g 1 4 j u l i as e to f22 一五 d 五 一f b 旯 1 c 五 0 8 0 7 f d a 一0 3 2 0 7 4 l 9 天津大学博士学位论文 分形给人们展示了一类具有标度不变性的新世界 在此世界中可能有着新的 物理规律和特征 1 5 2 产生分形的物理机制 过去 人们往往研究封闭系统与守恒系统 按照唯物辩证法的观点 任一事 物与周围的其它事物总是相互制约而存在 相互斗争而发展 从这个意义上来说 自然界中所有系统均是复杂系统 按唯物主义认识论 人们认识自然的规律性 总是由低级到高级 由简单到复杂 t h o r n 的突变论 h a k e n 的协同学 p r i g o g i n e 的耗散结构新三论诞生以后 人们可以从封闭系统转向认识开放系统 从守恒系 统转向认识耗散系统 从平衡态过程转向认识非平衡态过程 从而 非线性系统 耗散系统与随机系统便成为当今人们最感兴趣的研究领域 2 引 至今为止 人们在非线性耗散系统 随机耗散系统与具有随机外力约束的守 恒系统中发现过相空间具有分形结构 因此 非线性 随机性与耗散性应该是产 生分形的物理机制 一个系统所表现出来的非线性主要来自两个方面 其一是来自系统内部的交 互作用 这是系统非线性的主要机制 又称为系统的内禀非线性 其二是来自我 们所选择的时空表象 内禀非线性的物理本质是耗散性 而耗散性又是随机性的 后果 所以 系统相空间的分形结构是系统具有耗散性的几何表现 产生分形结 构的物理机制归结到系统的耗散性 或者说耗散性是产生分形的必要条件 1 5 3 分形维数 分形集的 不规则 性使它区别于经典的光滑点集 分形维数提供了一种比 较分形 不规则 程度的客观工具 分形维数能够用数据定义 并且能通过实验 手段近似的计算 它已突破一般拓扑集的整数维的界限 引进了分数维 由分形的定义可知 在分形中使用了h a u s d o r f f 测度 这要求描述分形结构 的物理的或力学的量必须具有分数量纲 或简称分形量纲 这是分形中产生的测 度观转变的飞跃 通常所用的整数维概念已不足于用来描述分形集的复杂程度 或者说 不能 很好地用来说明各种集合充满空间程度的不同 也不能很好地对比两个集合不同 的粗糙程度 那么引进分数维就是自然而然的了 但应当注意 分形维数不一定 就是分数维 也有整数维的分形集 目前 常用的分数维的定义主要有 自相似 维数d h a u s d o r f f 维数d 计盒维数d 0 广义维数d 信息维数d 1 关联 第一章绪论 维数d 等 2 4 2 6 1 自相似维数 设a 是忙 几 上的有界子集 如果a 可以分成 1 个相等的且与a 相似 的部分 则称a 为自相似集 且如果每部分与a 的相似比为r 1 n 1 他 则称伊 为自相似集a 的自相似维数 即 d 尝 1 1 5 l g a r 一 2 h a u s d o f f 维数 对忸4 既 中的集合4 首先定义彳的厂一覆盖 若爿 0 占 且 42 8 b 巩d h 1 2 其中 d 为h a u s d o r f f 维数 集合a 的h a u s d o r f f 维d h 定义为 刑 引 l 呷i mi n f 莩p 小 3 3 计盒维数 由于计算嬲 掣比较困难 一般采用固定尺寸的 覆盖4 计盒维数的 基本思想是 取边长为 的盒子来覆盖位于相空f 司r 中的集合4 设完全覆盖 集合a 所需要的最小盒子数目总共n 个 则该集合的计盒维数d 定义为 d i n f d 姆厂乜 d r l i m n r o l 1 4 可得 玩2 磐粉 天津人学博士学位论文 计盒维数又称容积维数 是最早度量分数维的方法之一 由其计算公式可见 其仅考虑了各格栅中有无彳中的点 它实际反映了均匀分形的情形 不能用来正 确刻划点在相空间中不均匀分布的情况 研究表明 当奇怪吸引子的分数维大于 2 时 很难从标量时序来有效地t t i f 盒维数的定义来计算分数维 为了克服定义 中的缺陷和计算上的困难 g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 于1 9 8 3 年将其作了推广 用 广义维数d 来计算分数维 4 广义维数 i n f d j l i m l 1 5 口一1 一u i n 其中 p 鬻 为月中的点落在第t 个盒子e 中的概率 g 为连续 变化的指标 一 q c 5 信息维数 对于广义维数d 当q 0 时 d d 当q 1 时 可得信息维数 尸i n p d l i m 一 6 j r r 0 i n r 6 关联维数 当口 2 时 可得关联维数 i n y 尸2 d l i m l 卜7 r o i n 广义维数d 较全面地包括了各种分数维的定义方法 关联维数d 有着较有 效的数字计算方法 因而常用关联维数作为分数维的估计 计盒维数d 信息 维数d 关联维数d 三者间存在关系d d d 2 1 6 混沌动力学 现实世界的绝大部分系统不是有序的 稳定的和平衡的 而是无序的 变化 的和涨落起伏的 一切系统都含有不断起伏着的子系统 有时一个小小的起伏或 第一章绪论 涨落可能会由于正反馈而演变成巨大的波澜 使原系统遭受破坏 在这个奇异的 时刻 即分叉点 根本无法预知变化将向何方发展 是分解形成混沌状态 还是 跃变到一个新的更加细分的有序态 1 6 1 混沌的历史 2 7 有非线性的相互作用 状态的转变则要通过涨落来实现等等 据此 p r i g o g i n e 指 l i 一a x y 岁 一x z 雕一y 1 8 i j x y b z 天津大学博士学位论文 k a m 定理 k a m 定理讨论的是保守系统 而l o r e n z 方程讨论的是耗散系统 它们分别从不同的角度说明 两种不同类型的动态系统 在长期的演化过程中是 怎样出现混沌态的 1 9 6 4 年法国天文学家h e n o n 从研究球状星团以及l o r e n z 吸引子中得到启发 给出了下列的h e n o n 映射 r 矗 12 l 魄一 1 9 l y x 该方程组本是一个自由度为2 的不可积的h a m i l t o n 系统 当参数b o 3 且改变参数a 时 就发现其系统运动轨道在相空间分布越来越随机 h e n o n 得到 了一种最简单的吸引子 并用他建立的 热引力崩坍 理论解释了几个世纪以来 一直遗留下来的太阳系的稳定问题 1 9 7 1 年法国物理学家r u e l l e 和荷兰数学家t a k e n s 为耗散系统引入了 奇怪 吸引子 s t r a n g e a t t r a c t o r 这一概念 提出了一个新的湍流发生机制 对揭示湍 流有很大启发 1 9 7 5 年美国华人学者李天岩和美国数学家y o r k e 在美国 数学月刊 发表 了 周期3 意味着混沌 的著名文章 深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程 文章标题中的 混沌 一词便在现代意义下正式出现在科学语汇中 1 9 7 6 年美国生态学者m a y 在美国 自然 杂志上发表了 具有极复杂的动 力学的简单的数学模型 一文 指出在生态学中一些非常简单的确定性的数学模 型却能产生看似随机的行为 如 x 以 1 一x 1 一l o 称之为人口 或虫口 方程 即著名的l o g i s t i c 模型 该模型参数五在一定范围 变化时 它却具有极为复杂的动力学行为 其中包括了分岔和混沌 向人们表明 了混沌理论的惊人信息 如图1 5 所示 1 9 7 8 年和1 9 7 9 年f e i g e n b a u m 等人在m a y 的基础上独立地发现了倍周期分 翁现象中的标度性和普适常数 为混沌在现代科学中奠定坚实的理论基础 2 0 世纪8 0 年代以来 人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌及其混沌 的性质和特点 除此以外 进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结 通过 计算机还可描绘混沌图像 如m a n d e l b r o t 于1 9 8 0 年用计算机绘出了世界上第一 张混沌图像 对于这种动力学特性的结构 分数维虽能描述自然界中很多现象在 第一章绪论 几何上的不规则性 但它不能完全揭示出产生的相应结构的动力学特性 故 g r a s s b e r g e r 等人在1 9 8 7 年提出重构动力系统的理论方法 人们开始由时间序列 中提取分数维 l y a p u n o v 指数等混沌特征量 混沌理论进入实际应用阶段 图1 5 x a x 1 一 的迭代结果 4 1 f i g1 5 i t e r a t i v er e s u l to f t h ee q u a t i o n x 2 x h 1 一工月 进入9 0 年代 基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式 混沌 与其他学科相互交错 渗透 促进 综合发展 无论是在生物学 生理学 一t l 理 学 数学 物理学 化学 电子学 信息科学 还是在天文学 气象学 经济学 甚至在音乐 艺术等领域 得到了广泛的应用 1 6 2 混沌的例子 首先看一下流体动力学中的典型例子 其中之一就是t a y l o r 不稳定性 因为 一种新模式的出现标志着原来的状态不能再维持下去了 也就是原来的状态变为 不稳定的了 因此常称为不稳定性 t a y l o r 不稳定性的实验装置由一个内圆柱体 和一个同轴的外圆筒组成 当我们把外圆筒固定而调节内圆柱体的转速时 便从 外圆筒的透明窗观察到如下现象 内圆柱体的转速较低时 流体形成同轴的流线 当转速达到临界值时 一般用无量纲的t a y l o r 数表示 便出现了一种新型的运 动形式 沿着轴线方向的横向层中 流体周期地趋向和离开轴线 形成滚动形式 天津大学博士学位论文 图1 6 当t a y l o r 数增加到第二个临界值时 滚动以一种基频开始振荡 当 t a y l o r 数增加到新的临界值时 滚动形式以两种频率振荡 在更高的t a y l o r 数时 观察到了更为复杂的频率模式 t a y l o r 数继续增高的最终结果便出现了无规则的 混沌运动 当人们通过激光散射测量它的速度分布和f o u r i e r 谱时发现 随着 t a y l o r 数增加时新出现的频率 其顺序恰好是基频的1 2 1 4 1 8 1 1 6 由 于频率减半就是周期增加一倍 因此人们往往称它是倍周期现象 2 1 a b 图1 6c o u e t t e t a y l o r 不稳定性 a 实验装置示意图 b 滚动结构 f i g 1 6i n s t a b i l i t yo f c o u e t t e t a y l o rs y s t e m a s c h e m a t i cd i a g r a mo f e x p e r i m e n t a lf a c i l i t y b r o l l i n gs t r u c t u r e 流体动力学中另一个典型的例子是b e n a r d 不稳定性 从下面加热的流体层 中 当上下两表面间的温度差 或温度梯度 不大时 热量靠热传导传递 即靠 分子无规则热运动的碰撞形式传递 液体中分子的运动并没有明显关联 这时观 察不到流体的宏观运动 当温度梯度 即单位长度上的温度差 增加到临界值时 在液体中便出现了宏观运动 这时在液体的上表面观察到六角形的网状结构 如 图1 7 所示 液体分子有组织的从六角形元胞的中心向上运动 然后沿六角形的 边缘向下 或者相反 液体中的热量传递靠这种规则的宏观的对流进行 整个液 体中的分子呈现为有规则的协同运动 如果进一步增加温度梯度时 运动形式开 始振荡以至以几种频率的振荡 在最终也出现了完全无规则的混沌运动或湍流 在固体物理学中 也出现了多重不稳定性 脉冲以至混沌状态 在耿氏振荡 器中 当加在砷化镓二极管上的电压不高时 通过管子的电流和所加的电压成正 比 遵从着欧姆定律 当所加电压达到临界值时 电流就变成了规则的脉冲 在 第一章绪论 更高的电压下还会出现无规则的电流脉冲 即混沌运动 图1 7 贝纳德对流 f i g1 7 b e n a r dc o n v e c t i o n 热弹性不稳定性 当固体形变时 如果形变参数超过了弹性区域的临界值 便会出现新的现象 比如发出了声音 整个系统的宏观状态发生了突变 晶体的生长 可以从微观和宏观两个层次上观察到