圆在物理解题中的应用.pdf

习 置 研 究 中 教学参考 圆在 物理解题 中的应 用 王金 聚 浙江省温州中学 3 2 5 0 0 0 物理学中经常会涉及用圆的相关知 识求解 的问 题 可 以说 物理 与 圆有 着 不 解 之 缘 本 文 拟通 过 一 些 具体的实例 阐明圆在求解物理问题 中的巧妙应用 一 等 时 圆 何谓等时圆 我们先来看下面的例题 例 I 如图 1所示 a d b d c d是 竖直 面 内三 根 固 定 的光滑 细杆 6 c d位 于 同 一 圆周上 a点为圆周的最高点 d点 为最 低点 每根 杆 上都 套 着一 个 光 滑小 滑 环 图中未 画 出 三个 滑 环 分别从 口 b C处释 放 初 速度 为 O 用 t t 2 t 依次表示各滑环到 达 d所用 的 时间 则 A t 1 2 t 2 t 3 C t 3 t 1 t 2 D f 1 一 t 2 一 t 3 图 1 C 第4 O 卷第6 期 2 0 1 1 年6 月 解析选任一小滑环 为研究对象 分析其受力 如图 2所示 设 圆的直径为 D 细 杆 与 水平 方 向 的夹 角 为 由牛 顿 第二定律得 mgs i n 一 优 应 连接 口 C 则 C 9 0 所 以细 杆 的长度 z Ds i n 设下 滑 时间 为 t 则 z 丢 由以上 三式 得 图 2 C i 丽 可见 滑环下滑时间与细杆 的倾角大小无关 正 确选项为 D 由例 1我们可以得出下面的结论 解析 图 A所示 的是 点电荷 产生的电场 根据 立体几何知识 可知 a b两点关于正方体 中心对称 产生的电场强度恰好抵消 因此 n b两点电场方向不 同但电势相同 图 B中 b 点相当于丽异种点电荷的中 垂面上 的点 即 也 可 以看 成 中垂 线 上 的 点 而 a点 距 正 电荷 比较 近 故 两 点 电势 肯定 不 同 图 C 中 a b两 点也相 当于两点 电荷 中垂线上 的点 场强和电势均是 相同的 而图 D中仅仅根据合场强的方向即可判断是 错误的 所 以 在正方体 中 a b两点电场强度和电势 均相 同 的是选项 C 选项 C正确 点评本题是正方体中的静电场分布情况 主要考 查的是对立体几何 中的中垂面和中垂线 的基本分析 四 求 中垂 面 上粒 子受 力 问题 例 4 如图 5所示 n b为两个距离恒 为L 带等 量 正 电荷 q的点 电荷 过 两 电 荷连线的中点 O作此线段的 垂 直平分 面 在 此 平 面上 有 一 个 以 0为 半径 为 的 E ma i l p h y c f e 2 1 1 6 3 c o r n 图 5 圆周 圆 周 上 有 一个 质 量 为 m 电荷 量 为 一q的 点 电 荷 C做匀速圆周运动 求点电荷 C 的速率 解析 根据题 意知 电荷 C受力分析 如图 6所 到 0 点 的 距 离 R一 L 所 以三角 形 a b c 是 等边 三角 形 a b对 c的作 用 力 F 一F 一 晖 合 力 2 F c s 3 0 一 7 图 6 志 善 由 牛 第 二 定 律 得 F 台 一 妥 即 是 一 惫 所 以 k 一 4 点评本题 以带 电粒子做匀速圆周运动的物理 情景为例 以立体几何知识 中的线面垂直为知识背景 设问 构思巧妙 值得借鉴 6 一 Vo 1 4 0 NO 6 J u n 2 01 l 中 j b 圣 参考 结论 1 物 体 沿 着位 于 同一 竖 直 圆上 的 不 同光 滑 弦 由静 止 下滑 滑至 圆周 最低 点的 用 时都相 等 所示 明方 的最 C 下滑 滑至 圆周 上各 点 的用 时都 团 相 等 上述 结论 中所 涉及 的竖 直 圆称 之为 等时 圆 将 上述 两个 结论 应 用 于解 题 往 往 能 避 繁 就 简 出奇 制 胜 请 看下 面例 题 例 2如 图 4所 示 在 同 一 竖 直 线 上 有 A B 两 点 相距 h B点离地高度 为 H 现 要 在 地 面 上 找 到 一 点 C 从 A B 两 点 分 别 向 C 点 安 放 两 光 滑 直 木 板 使 得 物 体 沿 两 滑 板 由 静止下滑 的时间相等 求 C 点到 0点 的距 离 图4 解析 由结论 1可 知 题 中的 A B C三 点 应 处 在 同一竖 直 圆周 上 且 C点 是 圆周 的最 低 点 AC BC 是 该 圆 的两条 弦 画 出 AB C 的外接 圆 圆与地 面相 切于 c点 过 0 点作o D上AB 由几何关系可得 圆的 半 径为 R H h 在矩 形 O C O D 和直 角三 角形 0 DB 中 可得 一 一 二 一 二 相交 圆 当把一个 已知矢量分解 为两个大小一定而方 向 未知 的矢量 时 我们 可 以通过 画 圆 的方 法确 定 两个 分 矢 量 的具体 方 向 例 3 如 图 5所 示 有 一 水平 向右 的力 F一7 N 现 将它 分解 为大 小分 别 为 F 一3 N F 一5 N 的两 个 分 力 试 通 过 作 图 法 确 定 这 两 个 分力 的方 向 解 析 以线段 的长 短来 表 0 F 图 5 示力的大小 选取合适 的标度 作出力 F的图示 分别 以矢量 F的箭头 箭尾为圆心 以分力 F F 的大小 为半 径 画 圆 如 图 6所 示 两 圆相 交 于 M N 点 则 O M MF就 是力 F 的一 组 分 力 F F O N NF就是 力 F 的 另一组 分力 F F 习 蠢 研 究 图 6 图 7 需要注意的是 千万别以为力 F的分解只有上述 两种情况 实际上 力 F的分解方式有无 限种 在图 6 中 我们 只 需把 图 中的 0MF 以 0 F 边 为轴 旋转 如 图 7所示 转 动 成 两 个 同底 同轴 的 圆锥 面 则 两 锥 面 上任 一相 连 的母线 0 M MF都 能 表 示力 F 的两 个 分 力 所 以说力 F 的分解 方式 有无 限种 三 相切 圆 我们 知道 带 电粒 子可 以在 匀强 磁 场 中做 匀速 圆 周 运 动 当带 电粒 子 垂 直 穿 越 两 相 邻 的 方 向相 反 的 匀强磁场区域时 其旋转的方 向会发生变化 在两磁 场 中所 形成 的两 个 轨迹 圆相外 切 切 点 与两 轨迹 圆所 对应 的圆 心 在 同 一 条 直 线 上 两 圆心 位 于 切 点 的 两 侧 利用这 三点一线 的关系 往往能顺 利解 决粒 子 穿越 反 向磁 场 的问题 例 4 2 0 0 7 年 全 国 高考 理 综 卷 两平 面荧 光 屏 互相 垂 直 放 置 在 两 屏 内 分别取 垂 直 于两 屏 交 线 的 直线 为 轴 和 Y 轴 交 点 0为 原点 如 图 8所 示 在 0 0 0 z 口区域 有 一 0 0 图 8 垂 直于 纸 面向外 的匀 强磁 场 两 区域 内 的匀强 磁 场 大 小均为 B 在 0点处有一小孔 一束质量为 m 带电量 为 q q 0 的粒子 沿 z轴经 t J L 射人 磁 场 最 后 打在 竖直 和水 平 的屏 上 使 荧 光 屏 发 亮 入 射 粒 子 的速 度 可取从零到某一最大值之间的各种数值 已知速度最 大 的粒子 在 O x a区域 中运动 的 时间与在 n的 区域 中运 动 的时 间 之 比为 2 5 在磁 场 中 运 动 的 总 7 时间 为 T 其 中 T为该 粒 子在磁 感应 强度 为 B 的匀 1 厶 强 磁场 中做 圆周运 动 的周期 试求 两 个荧 光 屏上 亮 线 的范 围 不计 重 力 的影 响 解 析该题 的难 点 是 如 何 确 定 速 度 最 大 的 带 电 粒 子做 圆周 运 动时 圆心 的位 置 粒 子在 磁 感 应 强 度 为 B 的 匀 强 磁 场 中运 动 半 径 为 翡 E ma il p h y c f e 2 1 s in a c o r n 翻完 下火 不 醐脘 姒轿 蚶栅 舭 物 闱 静 图况 2 由 习 怎 研 究 中 j b 理 参考 u 速度小的粒子将在 x a区域走完半周 射到竖 直荧光屏上 半圆的直径在 轴上 半径范 围从 0到 口 竖 直屏 上发 亮范 围从 0到 2 n 轨道 半径 大于 a的粒 子 将 进 入右 侧 磁 场 考 虑 r 一 的临界情况 这种粒子在右侧的圆轨迹与 轴在 D 点相 切 如 图 9所示 中 的虚线 圆 O D 2 a D点 是 水平 屏 上 发 亮 范 围 的 左 边 界 速 度最 大粒 子 的 轨 迹如 图 9中 实 线 所 示 如何确 定 这 一 临 界 状 态 下 粒 子 打 在 屏 上 的 位 图 9 置 找 到粒 子的轨 迹 圆心是 关键 它 的轨迹 由两 段 圆 弧组成 即两 圆相切于 M 点 根据相切圆的特点 两 相切圆的圆心与切点必在 同一直线上 由此 可知 两 段圆弧的圆心必在过 M 点的直线上 设圆心分别为 C和 C 又 由于左边 圆弧 的 圆 心在 轴 上 两 圆弧 半 径相 等 由对称 性可 知 C 在 一2 a直线 上 设 t 为 粒 子 在 0 za在 区域 中的运动 时 间 由题 意 可知 一 孝 z 一 T 一 1 十 2 一 个 解 得 一 言 z 一 T 由上述所 得结 果和对 称性 可得 OCM 6 0 M C N 一 6 0 M C P 一 1 5 0 所 以 NC P一1 5 0 一6 0 一9 0 即NP为 圆周 因此 圆心C 必在z轴上 设 速度 最大值 粒子 的轨 迹 半径 为 R 由直 角 三角 形C O C 可 得2 R s i n 6 0 一 2 口 则R 一 半 日 由 图可知 O P一2 a R 因 此 水 平 荧 光 屏 发 亮 范 围的右边界坐标为 厅 一 2 1 口 0 四 参考 圆 我们知道 做匀速圆周运动的物体在其直径方 向 上 的投影所 做 的运 动是 简 谐 运 动 既然 如 此 我 们 不 妨把它倒过来看 任何的简谐运动都必然有一个匀速 圆周运动与之相对应 因此 当我们研究简谐 运动的 问题遇到困难时 不妨转换一下 思路 去探究 它所对 E ma i l p h y c f e Z 1 1 6 3 c o r n 第4 O 卷第6 期 2 0 1 1 年6 月 应 的那 个匀 速 圆周运 动 的情况 例 5 一水平方向做简谐运 动的弹簧振子 振幅 为 A 周期为 T 平衡位置 4望 一 为 O 如 图 1 0所 示 求 质 点从 处 沿 z轴负 方 向运 动 到 一 一 A 处 所 用 时 间 这 一 过 程 中速 度 的方 向没有改 变 图1 O 解析我们先作 出该 振动所对应的参考圆 如图 1 O所示 与简谐运动所对 应的参考圆的圆心为 0 以振 幅 A为半径 作 o0 当振 子从 一百A运 动 到 一 百 A 的 同时 其对应 的 圆周 运 动的质 点也 从 M 沿 圆弧运 动 到 了 M 点 设 转 过的圆心角为 质点从 z 到 z 所用时间等于对应 质点 沿 圆弧从 M 到 M 点所 用 的 时 间 设 此 段 时 间 为 由参 考 圆可得 CO S l一 署 一 专 一 6 0 CO S z一 署 一 一 寺 一 1 2 0 0 0 2 0 l 一 1 2 0 一 6 0 一 6 0 由于质点做匀速圆周运动的角速度保持不变 则 一 有 些 同学会 想 当然地 这 么推 导 简谐 运 动 的质 点 在一个周期 T内走过的路程为 4倍 的振 幅 即 4 A 则 在 的时间走过的路程应为一个振幅A 题 目中质点 从 运动到一 处的路程刚好等于一个振幅 所 以它 所用的时间也应该为 这显然是错误的 因为简谐 运 动 的质 点做 非 匀 变 速 运 动 并 非 匀 速 所 以路 程 与 所用的时间当然也不会是简单的正比关系 五 区域 圆 利用磁场可以调整带电粒子的运动方 向 适当调 控磁场的区域范围 可以让带电粒子按照我们的要求 加以偏转 有的题 目要求我们确定的是 圆形磁场区域 的大小 例 6 1 9 9 4年全 国高考物理卷 一质量为 的 带电质点 电量为 q 以平行于 O x轴的速度 从 轴 上的口点射人图 1 1中第一象 限所示 的区域 为了使 VO1 40 N0 6 J un 20l 1 中 三 j b 学参考 该 质点 能从 z轴上 的 b点 以垂直 于 O x轴 的 速度 射 出 可在适 当的地方加一个垂直于 x Oy平面 磁感应 强 度 为 B 的 匀 强 磁 场 若 此 磁 场 仅 分 布 在 一 个 圆形 区域 内 试求 这 个 圆 形 磁场 区域 的最 小半 径 重 力忽 略不 计 解 析 设 带 电 质 点 在 洛伦 兹 力 作 用 下 的 轨 道半 径为 尺 则 图 1 1 q B 一 丢 由 题 意 知 质 点 在 磁 场 区 域 中 的 轨 道 为 丢 圆 周 该段 圆弧两 端应 分别 与入 射速 度 方 向 出射 速度 方 向 相切 过 a点作平行于x轴的直线 过 b点做平行于y 轴 的直线 则 与这 两 条直 线 相距均 为 R 的点 0 就 是 轨 道 圆 的 圆 心 如 图 1 2所 示 显 然 M N 两 点既 是轨 道 圆上 的点 也 是 圆形 磁 场 区 域 边 界 上 的点 所 以 M N 是 磁 场 图1 2 圆 的一 条 弦 在 以 M N 为 弦 的所 有 圆 中以 MN 为 直 径的圆最小 由几何关系得 最小圆的半径为 r一 寺 丽一 一 尺 一 等 一 所求 磁场 区域 为 图 中的虚线 所 围 的区域 六 同心 圆 在光的折射现象中 如果已知入射光线 的方 向和 两种介质的折射率 我们可 以用几何作图法 借 助画 同心圆来作 出折射光线的方向 当光线 由介质射人空 气 中时 入射 角增大到一 定程度就会发 生全 反射现 象 对 于发 生全 反 射 现 象 的 临 界 角 的 大 小 类 似 地 可 以用 画 同心 圆 的办法 求得 1 利 用 同心 圆求作折 射 光线 例 7如 图 1 3所示 一 束光 由真 空射 向折 射率 为 的某种介 质 入 射 点 为 0 试 用 圆规 刻度尺 三角板等工具 作 出折 射光 线 的方 向 u 解析 作 图法作 折射光 线 图1 3 的步 骤如 下 1 以入射点为圆心 以 1和介质 的折射率 为 半径 做两 个 圆oP 和oQ 如 图 1 4所示 习 爱 研 究 2 延 长入 射光线 与 三 P交 于点 D 过 D 点做 界 面直线的垂线 或法线的平行线 交oQ于 c点 3 连 接 O C 即 为 折 射 光线 上述 作 图法 的证 明 由图 1 4中 的几 何 关 系 可 知入射角 i 等于 ODE 折射 角 r 等 于 O C E 在 直 角 0 ED 和 直 角 0 E C中 可得 图 1 4 s i n LODE 面O E O E OD 1 s i n OCE OE一