（计算机应用技术专业论文）基于牛顿欧拉方程的固流耦合模拟.pdf

基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 摘要 近年来 自然景物的模拟一直是计算机图形学领域最具挑战的问题之一 关于山 水等自然景物的模拟 在计算机游戏 影视 广告各领域中有着广泛的用途 作为自然 景物模拟的重要内容 对水波的模拟也日益引起人们的关注 其中基于物理模型的方法 由于是从水波现象本身进行较精确的描述 使之成为了最有效最被大家认可的模拟方 法 再加之人们对于计算机动画真实感的需求也越来越强烈 使得基于物理模型的水波 模拟成为当前的一个研究热点 也成为未来计算机图形学发展的一个重点方向 本文首先介绍了流体模拟的理论和研究背景 发展及相关工作 其次 介绍了 g e r s t n e r 模型 并依据g e r s t n e r 方程对水面波动进行模拟 并与以正弦波为波动方程的 水波对比 以图例的方式总结概括了g e r s t n e r 方程在模拟水面波动方面的优势 在此基 础上 依据牛顿一欧拉方程 结合力矩和表面张力理论 设计了一组新的基于网格的水 波 物体交互方程 模拟了由点波源引起的水波运动 以及水和固体共同存在时 二者 之间的相互作用影响各自的运动状态 并详细分析了在这种固流耦合情况中 水波遇到 障碍物引起的波纹的变化 以及物体在网格力和转动力的作用下 运动状态随位置 能 量和时间改变的变化规律 其中还考虑了表面张力对物体运动状态的影响 从实验效果 图看 水波和物体的运动都较为自然真实 随着计算机硬件和需求的提高 人们逐渐将 g p u 应用于流体模拟 并介绍了基于g p u 的流体模拟的相关工作及g p u 在三维流体动 画模拟等方面的重要作用 最后 介绍了一款p c 机上最优秀的三维流体模拟软件一 r e a l f l o w 并结合m a y a 模拟了向杯中倒水等几种场景的流体形态 关键词计算机图形学 固流耦合 水面模拟 牛顿一欧拉方程 实时流体模拟 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 a b s t r a c t h ll a s t y e a r s a l lt h ew h i l et h es i m u l a t i o no fn a t u r a ls c e n e r yi so n eo ft h ed e f i a n t p r o b l e m si ng r a p h i c so fc o m p u t e r f o re x a m p l e m o u n t a i n s w a t e ra n ds oo n t h e s ea r ea p p l i e d t on e tg a m e a d v e r t i s e m e n t m o v i ea n do t h e rf i e l d sw i d e l y p e o p l ep a ym o r ea t t e n t i o no n s i m u l a t i o no fw a t e rw a v e t h ew a yb a s e do np h y s i c a lm o d e ld e s c r i b ew a t e rw a v ee s s e n t i a l l y d e s c r i b et h ep h e n o m e n a a c c u r a t e l y s oi t i sb e s tw a y o nt h eo t h e rh a n d p e o p l e sd e m a n di s m o r ea n dm o r ei n t e n s ei nr e a l i t yo fc o m p u t e rc a r t o o n s ot h ew a yb e c a m eah o t s p o ti n s i m u l a t i o no fw a t e rw a v ea n da ni m p o r t a n tf i e l di ng r a p h i c so fc o m p u t e r i nt h ef i r s tp a r to ft h et h e s i s w ei n t r o d u c eb a c k g r o u n do ff l u i ds i m u l a t i o n d i s c u s st h e c h a l l e n g e so fs i m u l a t i o no fw a t e rw a v e a n dg i v ead e t a i l e ds u r v e yo ft h i ss u b j e c t t h e nw e f o c u so nw a t e rw a v es i m u l a t i o nb a s e do ng e r s t n e re q u a t i o n i nc o n t r a s tw i t hs i n u s o i dw a v e u s i n gm a n yc h a r t s a n dp i c t u r e ss h o wg e r s t n e re q u a t i o n sa d v a n t a g e s i nw a t e rw a v e s i m u l a t i o n a b o v ef o r e n a m e dw o r k b a s e do nn e w t o n e u l e re q u a t i o n sa n d l a wo f c o n s e r v a t i o ne n e r g y c o m b i n i n gt h et h e o r yo fm o m e n ta n dt e n s o r w ep r e s e n tan e wg r o u po f w a v e b o d yc o u p l i n ge q u a t i o n s t h i sp a p e r sm e t h o ds i m u l a t e sn o n c y c l ef l u i dm o v e m e n t e s p e c i a l l ys i m u l a t i n gt h em u t u a la c t i o nb e t w e e nf l u i da n dr i g i db o d yo b j e c t a sw e l la sd i s c u s s m o v i n go f b o t hf l u i da n do b j e c t a l o n gw i t hf o r c e e n e r g ya n dt i m eo fc h a n g ei nt h ei n f l u e n c e o fg r i d f o r c ea n dd i s t o r t f o r c e a n da c c o r d i n ga ss u r f a c et e n s i l ef o r c et h e o r y s i m u l a t i n gt h e c h a n g eo ff l u i db e c a u s eo fm e e t i n gb a r r i e r f r o mt h er e s u l tp i c t u r e f l u i da n do b j e c t s m o v e m e n ta r en a t u r a la n dr e a l l a s t l y w ei n t r o d u c eg p uw a t e rw a v es i m u l a t i o na n d r e a l f l o w3 df l u i ds i m u l a t i o ns o f t w a r ec u r t l y t h e yh a v ep l a y e dav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h e f l u i ds i m u l a t i o n k e yw o r d s c o m p u t e rg r a p h i c s r i g i db o d ya n df l u i dc o u p l i n g w a t e rs i m u l a t i o n n e w t o n e u l e re q u a t i o n s r e a l f l o ws i m u l a t i o n 学位论文独创性声明 本人承诺 所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果 论文中除 特别加以标注和致谢的地方外 不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果 其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助 均已在论文中做了明确的声明并表 示谢意 学位论文作者签名 亟垒丝 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留 使用学位论文的规定 及学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘 允许论文被查阅和借阅 本文授 权辽宁师范大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索 可以 采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 并且本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名 指导教师签名 4 1 签名日期 年月日 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 1 绪论 1 1 课题背景 流体在自然环境中无处不在 是自然界的重要组成部分 为了逼真地再现真实世界 以及生成某些特效 虚拟现实对烟雾 水流 火焰等流体模拟提出了很高的要求 传统 的动画开发环境需要动画师手工绘制流体动画的每一帧 这样虽然可以按照动画师的想 法进行创作 但由于所需工作量巨大 因而难以获得精确高效的模拟效果 随着计算机 图形学的发展 计算机流体动画成为当前的一个研究热点 由于流体运动规律相当复杂 如何获得真实的流动效果成为了计算机图形学领域中的一个挑战性课题 从2 0 世纪8 0 年 代初开始 越来越多的研究者针对这一主题展开了深入研究 并取得了丰硕的成果 如 今 计算机流体动画技术在动画片 计算机游戏 电影电视特技 电视片头等众多领域 发挥着重要作用 随着计算机流体技术的广泛应用 对于自然景物中水流的模拟更是受到人们的关 注 但由于水流在不同情况下形态各异 而且其显示又有着特殊的要求 致使水流的模 拟又更为困难 模拟波形的方法大致可以分为三类 第一类基于波的分析方法 主要针对水表面波 形进行模拟设计 大多数以类似正余弦函数来表示水流曲面 这类方法视觉上能满足逼 真的效果 但不能反映水流的运动规律 第二类基于粒子系统的方法 将水流看作由无 数粒子组成的集合体 通过对粒子的大小 生命周期 速度 质量等属性进行调节 来 模拟各个粒子的运动规律 这类方法的缺点是不能将水流作为一个连续的整体进行模 拟 第三类基于物理模型的方法 借助物理模型自动生成各种形态的水流 以模拟流体 的运动 该类方法的思路是首先确定一个物理模型用以描述某一特定条件下水流的运 动 然后求解物理模型在不同时间点的数值解 以每个时间步长为一个周期对场景进行 绘制 最后将所有运动状态连续起来便形成水流的流动 相比较下基于物理模型的方法 更为科学有效 从计算机图形学的角度讲 为达到动画场景合理且具有感染力的目的 必须使动画 中的场景符合现实世界的物理规律 因此 如果让动画场景中的各种元素在物理规律的 约束下运动 就可以达到逼真的效果 此外 对于市场方面 不管是电影特效 广告 还是视频仿真游戏 人们对于真实感的需求也越来越强烈 也使得基于物理模型的计算 机动画成为当前的一个研究热点 也成为未来计算机图形学发展的一个重点方向 1 2 常用技术和方法 从计算流体动力学 c o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s c f d 角度看 首先求解流体力学 方程 得到其数值解 如高度场 压力场等 单从数据上是难以看出分布规律 需要将 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 这些数据描绘成图 再加上光影效果 再根据各个时间点数据场的变化 把相应的图形 连接起来产生动画 1 基于波的分析 1 0 1 1 1 直接构造参数曲面来表示水表面 参数曲面由波形函数表 示 例如z 一厂 x y t a 罗2 4 f s i n w i t 谚 由于波形函数本身就反映了波的属性 因 而可以模拟出水波的运动 如波的叠加 反射 折射现象 一些更复杂的波形函数 可 以解决波浪卷曲问题 但对于水波的破碎问题却无能为力 虽然可以利用这种方法实现 一些动画 但实际效果不好 2 基于粒子系统 将流体看作有大量粒子组成 每个粒子都按一定的规律运动 用 这种离散的水粒子可以模拟瀑布 喷泉及水滴等现象 由于这些粒子并不聚集在一起形 成一个连续的整体 所以绘制成点或小球或线段 都不够真实 绘制成曲面 又行不通 比较好的办法是绘制许多的隐式曲面 9 使得相距近的水粒子融成一个隐式曲面 相距 远的粒子绘制成小球 3 基于物理模型 依据流体力学方程来描述水流的运动 例如常用n s e 来建立浅水 波模型 然后由数值解得到水流的形状 由于波是根据方程的初始条件与边界条件自动 产生的 因此更接近真实的物理现象 但是由于把水流的形状看作一个高度场 所以对 于陡峭的波峰及水波的卷曲等现象无法模拟 如果采用三维的n s e 把水流看作由许多 水粒子组成的集合 1 2 1 则会影响绘制效率 4 波浪与环境效果的模拟 这方面的工作主要集中在如何模拟波浪与环境的效果 例如 光线照射到波的表面时 形成的反射和折射效果 在不同深度的水底形成阴影和 焦散曲面 c a u s t i c 水波遇到障碍物时 发生变化形成不同的轨迹和波浪形状等等 计算机流体模拟包括建模和绘制两个部分 流体绘制技术在很大程度上取决于计算 机图形学领域里其他方面的发展 例如体绘制 全局光照作用下的参与介质绘制技术等 建模方面的分类多种多样 按实现效果可分为两类 一类为真实感流体模拟 其目的是 追求视觉上的真实感效果 另一类为风格化流体模拟 主要是利用计算机生成手绘风格 的流体动画 前者是传统的流体动画技术 目前已经出现了许多成熟算法 这些方法归 根结底又分为两类 基于几何模型和基于物理模型 人们对风格化流体动画的研究起步 较晚 但随着非真实感绘制的出现逐渐吸引了人们的目光 1 2 1 计算机真实感流体动画技术 利用计算机逼真地再现真实世界是真实感流体模拟的目的 真实感流体动画研究始 于2 0 世纪8 0 年代初 受当时计算机硬件水平限制 研究者主要采用基于几何模型的方法 2 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 1 2 1 1 基于几何的方法 基于几何的方法是针对特定的流体现象提出一个几何模型 用模型的运动来描述流 体的运动过程 依据具体的流体形状及其各部分的几何关系确定模型 模拟效果也随着 模型描述的复杂度的增大而更好 其中较早的一种方法是凹凸纹理映射 它是预先定义 好一个平面作为水面 然后用一个正弦方程来扰动该平面的法向量 从而模拟出水面涟 漪的效果 这种方法计算简单 但通用性不强 只适用于水波模拟 而且无法模拟出明 显的波纹轮廓以及水波折叠所形成的阴影效果 更不能模拟水波经障碍物所发生的自由 面破碎现象 在流体模型描述过程中 人们通过对参数方程的控制提高交互性 高度场采用参数 方程描述能很好的模拟液面 云层等流体现象 常用的有b 样条曲线 相位方程等 t s o 提出将海面表示为一个s t o k e s 高度场 并采用b 样条曲线拟合 通过调整形状参数生 成对称波纹 m a x 将云朵建模于两个高度场之间 采用解析函数进行求解 粒子系统的提出以及噪声函数的使用 使得流体的几何特征描述更加充分 粒子系 统根据粒子的产生 变化和消灭来刻画流体的不规则变化现象 能够达到很好的逼真度 对于湍流模拟中的浪花现象 粒子系统是有效的解决方法 由于粒子系统比传统的多边 形表面建模法具有更好的灵活性和可控性 一直广泛适用于各种流体动画技术中 1 2 1 2 基于物理的方法 在图形学领域中 人们一直试图利用计算机逼真地再现真实世界 对于一些自然现 象 人们可以采用过程描述的方法来获得某种特定的效果 但是对于某些现象人们无法 找到一个简单的模型来描述它 这时只有借助其本身较为精确的物理描述才能还原其外 原有的视觉现象 由此基于物理的计算机动画迅速发展起来 应用于很多领域 如电影 视频游戏 仿真等 基于物理的流体模拟逐渐成为当今的一个研究热点 涉及的内容包 括烟雾 流体运动界面 波浪 气泡 火焰以及爆炸等 在计算机图形学中研究流体的 模拟的目的是力图真实再现实流动的视觉效果 在许多场合中 流体模拟的计算速度比 计算精度更重要 因而有许多基于物理的流体模拟方法的研究工作出现 早期的计算机流体模拟 由于计算能力的限制 主要采用参数建模的方法 文献 2 5 将波浪函数表示成多个线性波型的组合 并采用粒子系统来模拟由波浪破碎或碰到障碍 物时形成的浪花 文献 2 6 1 基于g e r s t n e r 方程 采用粒子系统模拟波浪参数表面 通过 海底深度和坡度控制正弦函数波形 但这两篇文章的模拟并不理想 也没有考虑边界对 水波的影响 为了模拟更为复杂的 细节更为丰富的水面效果 很多研究者转向基于物 理的方法 基于物理模型的研究最早可追溯到1 9 8 5 年 但正式提出这种思想是在1 9 8 7 年的 3 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 s i g g r a p h 会议上 b a r z e l 3 等人做了一个题为 t o p i ci np h y s i c a l l yb a s e dm o d e l i n g 的报告 从此基于物理模型的方法受到广泛的关注 该方法依据牛顿定律等物理原理约 束物体的运动 记录物体在物理规律下运动的状态 然后进行渲染输出 因而保证了物 体动态模拟的逼真性 流体运动规律复杂 形式多样 通常很多现象难以找到合适的几何描述方式 需要 借助其本身的物理描述才能真实再现其视觉效果 随着计算机性能的不断增强 基于物 理模型的计算机流体动画发展迅速 出现了很多经典算法 主要分为两类 基于网格的 欧拉法和基于粒子的拉格朗日法 欧拉法不直接研究单个流体质点的运动 而是从场的 角度研究流体运动 从流体空间中各个固定点着手 分析每个固定点上的流体速度 压 强 密度等参数随时间和空间的变化规律 属于基于网格的方法 该方法较容易构造流 体表面 计算相对稳定 拉格郎日法是研究所有质点的位置随时间变化的规律 从分析 流体各个微团的运动着手 研究流体中某一指定微团的速度 压强 密度等参数随时间 的变化规律 以及研究运动状态由一个微团转到另一个微团时的参数变化 属于基于粒 子的方法 该方容易表达 但需不断重构流体表面 耗时较多 纳维一斯托克斯方程 n s e n a v i e r s t o k e se q u a t i o n 较为完整的描述了流体现象 该方程是根据牛顿第二定律推导出来的 下面给出的是常用的不可压缩流的方程组的欧 拉形式 质量方程v u 0 j 动量力程竺 一 v u v v 2 u v p p 出 这里p 为密度 p 为压强 厂为外力 u 为速度 y 为运动粘性系数 跟动力粘性 系数r 的关系为v r p 基于网格的欧拉法就是将上述方程离散到整个网格上 然后 计算各个网格点上状态量的变化 从而得到整个场 拉格朗日法易于表达和控制 无需处理整个空间 且容易保证质量守恒 但拉格朗 日法较难处理光滑运动曲面的重建 也必须采用较为复杂的算法才能构造出变化的自由 界面拓扑结构的表面几何形状 计算量也随着粒子数的增多而增大 欧拉法和拉格朗日法的参数变化都受到n s 方程的支配 两者各有优劣 人们通常 将它们结合起来使用 如半拉格朗日法算法 3 3 n s 方程的工程求解方法非常复杂 并 且不能生成实时图像 通常基于物理的流体模拟方法是建立在简化的n s 方程求解算法 上的 如文献提出了一种实时 无条件的算法 采用半拉格朗日法来简化求解过程 得 到稳定解 从而奠定了基于物理的流体动画技术的基础 目前 基于物理的计算机流体 动画技术已经成为计算机图形学领域的一个研究热点以及未来发展的重要方向 4 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 1 2 2 计算机风格化流体动画技术 计算机风格化流体动画作为一个新的研究领域随着非真实感绘制的出现逐渐发展 起来 风格化流体是动画师对自然流体现象的艺术再现 表现为手工绘制的艺术风格效 果 由于期间融入了艺术动画效果所有非常有趣 最初的风格化流体动画制作方法主要是基于过程描述的方式 它是从艺术家绘制的 卡通流体画面中提取流体运动骨架 然后在骨架上设计不同的形状并进行绘制 虽然这 种方法能获得许多生动的风格化流体效果 但通用性不强 而且动画师在设计过程中无 法灵活控制模拟结果 n s 方程在真实感流体模拟中获得广泛应用 一些研究者也将其用于风格化流体模 拟的研究 如卡通烟雾动画效果 采用卡通纹理图元来体现艺术家风格 并根据图像缓 存内的深度差信息来绘制烟雾轮廓 但算法需要使用较多粒子来记录烟雾浓度场信息 w i t t i n g 引入图像和动画序列来初始化温度场 并采用二维可压缩n s e 模拟流体运动 该方法模拟的烟雾效果还被应用于动画片 埃及王子 中 在风格化流体动画中 个人特色尤为重要 这就要求动画师对设计过程具有一定的 控制权 f i o r e 基于二阶粒子系统 实现了流体的运动路径和加速线的自由定义 但其 中需要用到大量粒子 c u r t i s 3 6 提出了一个非真实感的交互绘画系统模拟了水彩画风格 的绘制 文献中利用三层模型和浅水场方程来模拟水彩颜料在纸面上的运动 b a x t e r 通 过求解粘性流动模型来模拟颜料绘画 1 3 流体模拟的分类及研究现状 流体模拟涉及的相关内容很多 为了满足人眼的感知效果 目前计算机动画关注的 只是低速流的研究 根据目前普遍公认的分类可以将流体模拟分为以下几种 如烟雾与 云彩 燃烧与爆炸 自由运动界面 混合流和多相流 固流耦合以及非真实感等 但是 这些问题本身并不是孤立存在的 1 烟雾与云彩 由于不存在自由运动界面的问题 也不需要特别处理 烟雾问题 1 被认为是流体模 拟中较为简单的一类 云彩的运动跟烟雾类似 文献 3 4 3 5 引入云彩形成的物理机理 将空气中水分含量对云彩形态的影响通过热力学作用考虑进来 2 燃烧与爆炸 火焰是最常见的燃烧现象 是一种低速流动的燃烧过程 文献f 6 1 采用全n s e 来求 解整个燃烧过程 文献 7 采用基于粒子的方法 以火焰的基本轮廓来构造初始状态 并 在人工风场和浮力的作用下 添加了过程噪声和k o l m o g o r o v 湍流噪声 最终形成了火 焰的形状 5 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 快速燃烧后便形成爆炸 然后便是冲击波 8 它以超音速传播 推动或者撕裂物体 改变光线折射 最后是爆炸引起的火球 尘云等 文献 3 8 模拟了爆炸后产生的悬浮粒 子 同时模拟了再次燃烧过程中气体膨胀的效果 3 自由运动界面 对于烟雾 火焰等现象的模拟 关注的是体的问题 视觉效果只受密度场和温度场 的影响 而对于液体的流动 首先求解自由表面 将其与周围的环境分开 然后再考虑 光照效果 文献 3 9 中将波浪分为三个尺度 精细尺度为飞溅和泡沫 中间尺度为水面的波纹 大尺度为波浪的翻滚和破碎 目前主要集中在中间尺度的模拟 4 1 4 精细尺度下的模 拟 如文献 2 3 1 采用n s e 求解的全数值算法 得到流水冲击产生的泡沫和飞溅的真实 效果 大尺度下的波浪模拟 如文献 3 9 同样采用n s e 描述波浪破碎的现象 对于形 态变化多端的海面 很多研究者只能模拟某种特定的水面现象 文献 4 0 则采用l o d 方 法用多个模型来表示并将它们结合起来 在不同区域采用不同的方法以满足实际的需 要 与海水表面相比 小尺度的水面模拟 其运动界面的拓扑结构会随时发生变化 边 界条件也更为复杂 在基于网格的方法中 目前已广泛应用的方法包括m a c m a r k e ra n d c e l l l e v e ls e t v o f v o l u m eo ff l u i d p a r t i c l el e v e ls e t 等 4 混合流和多相流 当流动系统中存在多种流体时称为混合流 而当相态多于一种时 则称为多相流 文献 4 9 1 将火山云的成分分为两种流体 岩浆 包括固体物质和火山气体 和拖曳它的 气体 文献 5 通过气泡在水中的运动模拟了空气 水两相流问题 2 8 基于m p s m o v i n g p a r t i c l es e m i i m p l i c i t 方法模拟了两种截然不同的液体混合的过程 但这两种液体并不相 互渗透或发生反应 5 相变和非牛顿流体 如果流动行为满足牛顿粘性定律 即剪应力与剪切应变速率之间满足线性关系 粘 性不随速度而变 称为牛顿流体 如水 空气等 而把不满足线性关系的流体称为非牛 顿流体 如胶状物 牙膏等 对于一定的液体 内摩擦力与两流体层的速度差成正比 与两层之间的垂直距离成 反比 与两层间的接触面积成正比 f d u f 一2 z sd 7 其中 f 为单位面积上的内摩擦力称为内摩擦应力或剪应力 d u a y 为速度梯度 即在与流动方向垂直的方向上的速度的变化率 z 为比例系数 其值随流体的不同而异 其值愈大 所以称为粘滞系数或动力粘度 简称为粘度 6 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 文献f 9 1 采用m a c 方法模拟了任意粘性的流体 对于固体也将其看作流体 其粘性 随温度 水分含量而变化 从而实现了融化 凝固的流动效果 文献 4 4 通过在n s 方 程中加入弹性应力张量较好地模拟了粘弹性流动现象 文献f 4 7 1 采用拉格朗日粒子算法 将物体表面粒子化 然后将流体与物体之间的力 组织成粘附矩阵的形式 从而很好地表达粘性流体与物体的相互作用 6 固流耦合 固流耦合问题主要研究流体和固体之间的相互作用 3 2 如水中漂浮的物体 风中 飞扬的旗帜 很多文献只考虑了单向作用 一种情况是固体对流体的作用 即固体的运 动已知 且其运动不受流体影响 利用固体运动来改变流体的运动状态 另一种情况是 流体对固体的作用 即在流体的作用下固体的运动状态发生变化 但流体的运动不受固 体影响 文献 5 5 1 采用基本流动元素组合的方法模拟了树叶在风中飞舞的情景 文献 3 0 l 采 用l b m l a t t i c eb o l t z m a n nm o d e l 模拟了气泡和羽毛在风中的运动 文献 2 0 对于刚体受 到的力通过压强梯度计算得到 然后通过拉格朗日方程来计算刚体的运动 文献 1 2 3 1 中 已知固体运动 通过固体对流体网格状态量 流体体积等 的修改来反映流体的 变化 显然 只考虑单向作用并不能表现真实的流体运动 所以很多研究者转向双向固 流耦合的研究 文献 4 2 q h 固体与流体通过相互碰撞的作用力影响彼此运动 这个作用力有一个 固定的取值范围 而最终力的大小由物体在水面上的位置所决定 文献 4 6 提出波粒子 w a v ep a r t i c l e 的方法 很好地模拟了一个或多个物体在有边界和无边界的水域内与 水相互作用的运动情况 但该方法未能模拟流体飞溅的效果 文献1 4 1 采用m a c m a r k e ra n dc e l l s 方法来模拟流体流动 将固体看作是用弹簧 质点模型 s p r i n g m a s sm o d e l 表示的质点集合 两节点之间的作用力采用粘弹性模式表 示 方向为两节点位置的矢量差 然后根据牛顿第二定律计算粒子新的位置 对于固体 对流体的作用力通过与固体接触的无质量标识 m a r k e r s 传递 而对于固体对流体的作 用力则通过位置划分施加到对应流体单元上 文献 4 3 1 提出刚性流体 r i g i df l u i d 方法 即刚体也被看作流体 但仍保持原有的 刚性 并和流体一起进行计算 然后采用拉格朗日因子来耦合两者的相互作用 但与此 同时也增大了计算量的开销 文献1 2 9 采用高度场描述流体表面 在各节点间建立虚拟管道 通过管道计算各个 立柱的体积得到表面位置 文献 3 1 采m 维n s e 求解表面速度场 用压强伯努利方程 求解高度场 文中模拟了运动物体和其他障碍物对流体的影响 7 非真实感流体 计算机图形学中所指的非真实感与光照上的非真实感处理不同 指的是采用流体模 7 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 拟的方法来实现一些自然界中并不存在的现象 也称为艺术流动 文献f 5 6 1 结合 c a t m u l l c l a r k 细分曲面将n s e 变换到一般坐标系下的参数空间 实现了对任意拓扑结 构的流动现象的模拟 文献 5 7 贝j j 更进一步基于三角形拓扑结构 在不需要参数化过程 下 避免了参数扭曲的可能 为了让流体能按照艺术家的想法来运动 文献 5 9 提出关键帧的方法 预先指定烟 雾密度和速度的关键帧 建立作用力的目标函数 由于中间计算量很大 所以算法复杂 度较大 为了改善效率 6 0 6 1 采用伴随方法 a d j o i n tm e t h o d 从而提高了导数求解的 效率 但同时也增大了存贮量 非真实感的交互绘画系统为艺术家提供了很好的设计平台 如文献 3 6 利用浅水场 方程和三层模型模拟了水彩颜料在纸面上的运动 从而得到水彩画风格 但是模拟速度 很慢 文献 3 7 模拟了厚涂颜料的绘画 通过粘性流动方程和v o f 方法求解出高粘性流 体的自由表面 文献 4 8 则直接在 1 的基础上 利用深度差异的非真实感绘制算法再现 了烟雾卡通画效果 1 4 论文的组织结构 全文共分六章 主要对基于物理模型的水流动画进行了详细的分析与研究 章节安 排如下 第一章 绪论 主要介绍本文的课题来源 背景 对国内外研究现状进行综述 并 指出论文的主要工作和创新点 第二章 主要介绍了波浪运动的涉及的主要概念和术语 光照模型等背景知识 第三章 首先介绍g e r s t n e r 模型及对其研究的实现结果 然后结合牛顿一欧拉方程 模拟固流耦合情况下 水波和物体的运动 并列举了实验效果图 第四章 简略介绍g p u 对三维实时渲染的作用及相关研究工作 第五章 主要介绍了目前最流行的三维流体模拟软件r e a l f l o w 并应用该软件模拟 出几种水流的动态效果 最后列举了实验效果图 第六章 对全文做出系统全面的总结 并对今后需要进一步深入研究的方向做了展 望 8 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 2 波浪运动理论的背景 波浪是极其复杂的 具有明显的随机性和非线性三维特征 无法用简单的方法进行 描述 但是对于二维规则的波浪运动 却已有很多理论来描述 其中最著名的两个理论 是 1 8 4 5 年艾利 a i r y 提出的微幅波理论和1 8 4 7 年斯托克斯 s t o k e s 提出的有限振幅波理 论 艾利波理论是最基本的波浪理论 它较清晰地描述了波浪的运动特性 易于应用于 实践 是研究其它复杂波浪理论及不规则波的理论基础 在数学上 艾利波理论可以看 作是对波浪运动进行完整的理论描述的一阶近似值 对于某些情况 用有限振幅波理论 来描述波浪运动会更加有效 值得注意的是 第一个有限振幅波理论是1 8 0 2 年格斯特纳 g e r s t n e r 提出的 称为余摆线波理论 但由于它所描述的水波运动并不符合实际观测的 结果 而失去实用价值 斯托克斯提出的有限振幅波理论远较余摆线波理论优越 因而 至今仍获得广泛的应用 1 8 9 5 年德夫里斯 d e v r i e 和科特威格 k o r t e w e g 提出的椭圆余弦波理论 能很好地描 述浅水条件下的波浪形态和运动特性 但是由于计算复杂 未能得到广泛应用 而后许 多学者根据这一理论编制出各种专门的图表和计算程序 使其更便于应用 1 8 3 4 年拉塞 尔 r u s e l l 发现了孤立波的存在 这种波可看作椭圆余弦波的一种极限情况 在近岸浅水 中 应用孤立波理论可获得满意的波浪运动的描述 因而也被广泛应用 随着计算机性能和技术的迅速发展 近年来不少研究学者提出了许多直接数值计算 波理论 女h 1 9 6 5 年迪安 d e a n 提出的流函数波理论 这是一种类似高阶斯托克斯波理论 的有限振幅非线性波理论 他将波浪运动用流函数表示 从而建立了数值计算方法 1 9 8 2 年芬顿 f e n t o n 和任内克尔 r e i n e r c k e r 在流函数波理论的基础上 提出了一种傅立叶 f o u d e 0 级数数值计算波理论 该理论不仅给出了便于工程上应用的各种波浪运动特性 的表达式 而且适用于各种水深情况 对于陡波较大的波高 精度也较高 2 1 概念和术语 2 1 1 波浪理论中的基本概念 1 无旋场 旋度为零的流场速度分布 2 位势场 流域内存在一个空间分布的函数 是由流场的空间位置唯一确定的 称为势函数 3 波浪的破碎 一般所见的碎波主要呈现三种型态 即溢出型 s p i l l i n gb r e a k e r s 崩卷型 p l u n g i n g b r e a l e r s 以及崩塌型 s u r g i n gb r e a k e r s 如图1 在缓滩面上 波浪破碎后还可能再演变 9 基f 牛 欧拉 程 目流耦合模n 生成许多组新的波列继续 图1 波浪的谇波的三种型套 当波浪冲击海岸时 形成击岸波 破碎后消失 在坡度均匀的滩地上 波的破碎具 有两种形式 倾倒式和溢出式 4 波浪的反射 波浪在传播过程中遇到边界时 如陡峭的岸线或人工建筑物 其全部或部分波会被 反射而形成反射波 5 波浪的折射 在滩面的影响下 波向岸边传播时 传播方向逐渐改变 使波峰大体上与滩面等高 线趋于平行 6 焦散曲面 c a m t i c 由于水底的起伏不平 使得照射到水面的光线经过折射 在水底产生了聚焦或是散 焦的现象 7 波群 实际海洋中的波浪是由周期 波长等参数不同的许多个波叠加起来的波 8 波的弥散现象 如果波群中各个波的相位速度与该波的波数成函数关系 而不是一个常数 则当这 个波群传播时 频率不同的波将以不同的速度行进 随着时问的推移 波群的整个形态 也不断变形的现象 称为弥散 d i s p e r s i o n 具有这剥 现象的波称为弥散波 d i s p e r s i o n w a v e 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 9 频谱 谱是波浪能量在不同频率间隔内的分布 因为它是波能量沿频率的分布 所以也称 能谱 e n e r g ys p e c t r u m 或频谱 f r e q u e n c ys p e c t r u m 2 1 2 波浪运动特征参数 3 i u 沿x 方向传播的二维自由振荡推进波 如图2 所示 x 轴位于静水面 s t i l lw a t e r k v e 卜s w l 上 z 轴竖直向上 波浪在 z 平面内运动 基本参数 空间尺度参数 时间尺度参数 波高h 波谷至波峰顶的垂直距离 振幅a 波浪中心至波峰顶的垂直距离 波面叼 波面至静水面的垂直位移r l 7 x t 波长l 两个相邻波峰顶之间的水平距离 水深h 静水面至海底的垂直距离 波周期丁 波浪推进一个波长所需的时间 波频率厂 单位时间波动次数厂 1 t 波速c 波浪传播速度c l t 复合参数 波动角频率仃 1 7 一幼 t 波数k k 一2 a l 波陡6 6 一h l 相对水深h l 或砌 海 芪 图2 参数示意图 2 2 现实中水的效果 常见的效果有水下的衍射效果 如图3 光线射入水下 产生折射 随着水波的变 基f 一欧扛i 程 目m 耦告模 化 水底便产生了一段段的波纹 图3 水的衍射效果 水的波光效果 如图4 所示 当观察视角和水面以及光线的照射处于一个合适的角 度时 光线发生了完全反射 强烈的光线进入人的眼睛 随着波浪的运动 水表面就呈 现出波光粼粼的效果 强匿嚣鳓强婴耍鹫一 鼍 s 望曼 o 罩丽 譬盏 图4 水的波光效果 水的波动效果 图5 所示 半通明的水所引起的干涉和折射效果 2 3 光照模型 图5 水表面宴勺波动效果 为场景设置合适的光照模型是模拟光影效果的基础和前提 所谓光照模型 是指从 光源到备点的光照度的计算方法 光照模型可以分为经验模型和物理模型两种 经验模 型通过近似值柬表示所观察的现象 然后进行简单的公式运算 完全是根据经验判断的 结果 与此不同 物理模型依据实际的物理规律对光和材质的相瓦作用进行建模 随着 g p u 的高速发展 目前多使用物理光照模型进行研究 根据计算方式的不例光照模型x u 以分为直接光照 d i r e c ti l l u m i n a t i o n 和全局光照 基于牛顿一欧拉方程的固流耦合模拟 g l o b a li l l u m i n a t i o n 直接光照是指物体表面的光完全从场景里的其他光源直接获取 全局光照是指物体表面的光还包含了经过其他物体反射后获取的光 其中直接光照包括 环境光 扩散光 反射光和放射光 1 环境光 环境光 昭 a m b i e n ti l l u m i n a t i o n 是指在环境光源场景中 从场景中获取全方位环境 光的光照模型 也就是说只要物体周围的其他部分被照明 即使物体表面不被光源直接 照射 也可能被看见 在基本光照模型中 只须改变场景的基准光亮度 就可以简单地 模拟出从不同物体表面反射的光的统一照明 称为环境光或背景光 环境光没有空间或 方向上的特征 在所有方向上和所有物体表面上投射的环境光数量都是恒定不变的 2 扩散光 表面反射的光的强度由表面和光的方向决定 与观察点 v i e w 方向无关 这称为朗 f f l l a m b e r t 反射或朗伯余弦定律 l a m b e r tc o s i n e 如图6 所示 是法线向量 l 是光 源向量 啊 n i 武i l n l 网格表面 i 图6 朗伯余弦定律 3 反射光 镜面及金属物体表面会产生非常耀眼的高光 h i g l l l i g h t 这种高光随着观察角度而 变化 反射光 照 s p e c u l a ri l l u m i n a t i o n n j 产生这种高光 如图7 所示 y 为观察者向量 尺为反射向量 n 嵌 l r 一 m 一l 口 其中g 为刚体质量中心 f 为合力 m 为合力矩 a g 为g 的加速度 口为刚 体的角速度 为刚体上一固定点a 的张量矩 本文基于n e 方程分析水波对漂浮在水 面上的固体 流动边界 的作用 作用力 网格力和转动力 使物体发生摇摆转动 同 时 水波被物体阻碍 改变了传播方向 与其他方向的波形成叠加 对于水波遇到水域 边界 固定边界 的情况 则采用对网格点法线的扰动的方法 模拟水波经固定边界的 反射效果 3 3 2 固流耦合 3 3 2 1 固定边界的耦合 在平静的水面上产生一个类m a r s 函数的点波源 如图1 6 a 水波未遇边界时 除 自身的扩散传播外 不考虑其他外力 网格上每一个顶点的运动状态与四邻域点以及自 身前一时刻的运动状态有关 z l j 彳 i z l i l z i l z 毛 一1 z l j 1 b x z i 一z 毛 1 z 毛 一d i fd 0 d 1 2 其中4 口为比例系数 用于表现对该点的影响程度 殂 z 用于记录顶点在高度 场中的位置 当波源处的网格状态发生改变时 根据方程 1 对其周围的顶点产生影响 这种影响不断地传给相邻的三角形 便形成了以波源为中心向外扩散的同心圆 如图 1 6 b 由于水波向四周扩散时能量将逐渐减少 水波的自身衰减方程为 2 随着能量 的减少 各点振荡的幅度也逐渐减小 最后水面恢复平静 2 1 基f 牛 一b 啦 程的目流耦 模机 雾露 爿i 鋈戛萋篓 黟 a t 同内泛起的水花 脚术渡向外自散形成涟漪 c m 装8 b 域边界 图1 6 水面网格结构效皋 为了考虑较远的水域边界对水而波动的影响 本文将衰减系数d 设置为09 9 9 当水 波遇到水域边缘时 根据反射定理改变该点的法线方向 返回波与未经反射的波形成波 的叠加 通过法线扰动影响网格点的z l 值 图1 6 f c 为水波遇到固定边界后反弹回来的水 面网格效果 图1 7 给出渲染后 水波遇到不同固定边界时的反射效果 丽缓惫 f a l 平滑边界 3 3 22 流动边界的耦合 o 较狭窄的汇聚边界和 综合恤 伪 两种情况 图1 7 水波的渲染效果 定义水面卜的固体漂浮物为流动边界 水波遇到漂浮物改变了原来的传播方向 形 成反射波 二者的碰撞对漂浮物的运动状态产生影响 这种情况被称为同流耦合 当水 波与漂浮物相遇时 水波的作用改变了物体原来的受力平衡 浮力 重力 即 篇 f 一n e t 水波对物体产生一个随着位置和时间变化的驱动力龆 公式 3 与此 同时 物体阻碍了水波的传播 改变了它的传播方向 水波会被反弹回来 如图2 0 由于返回波相位的改变与原来波产生干涉叠加 如图2 1 即通过网格顶点位置矢量和来 改变顶点的高度 公式 4 以表现水波波形的变化 这里称之为物体对水面的扰动 随着水波自身能量的衰减 对物体的作用力粉也将逐渐减小 而 c 雨 o 为向量积 3 z c 1 弓 c 2 一1 勺 c 4x 2 j 4 其中 z w 为水高度 用于修改方程 1 中各网格顶点的高度 o c 为扰动系数 表示该点四邻域点对该点高度的影响程度 带为驱动物体转动的力 为顶点相对物体 中心的位置矢量 f 一f d 鬲 5 t n e l 为向量积 6 其中 p 若为合力 到顶点相对物体中心的矢量 的力矩 用于计算改变物体运 基十牛 一致拉 程 目m 耦夸模粗 动状态的转动力 fn e i 一 7 d v f n e t mx d t 8 i 刖 其中 i f 为物体的质量 咖为物体顶点位置在出时间里的变化量 用于改变物体 在高度场中的位置 时t d o j 图1 8 嬲和 器作用于物体 面 如洲a n r 二而 d t 9 w 一l 畔 加j x 叫 1 0 其中 并为表面张力的改变量 用于修改水波对物体的转动力带 s d 为衰减系数 本文基于力矩的理论 以物体顶点为作用点对其运动进行受力分析 力对点的矩是 力对物体产生绕某一点转动的物理量 嚣正是这样一个力 台力 由网格力芦 嚣和 转动力笋 l 描组成 其中网格力 用于计