（新课标）高三数学一轮复习 第8篇 第4节 双曲线课时训练 理.doc

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第8篇 第4节 双曲线课时训练 理 【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义与标准方程1、6、7、10双曲线的几何性质2、3、4、8、9双曲线的综合问题5、11、12、13、14、15、16、17基础过关一、选择题1.(2014福建晋江模拟)双曲线2x2-y2=8的实轴长是(c)(a)2(b)22(c)4(d)42解析:双曲线的标准方程为x24-y28=1,所以a=2,则实轴长是4.2.(2014湖南师大附中质检)设双曲线x2a2-y29=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为(c)(a)4(b)3(c)2(d)1解析:由题意得3a=32,a=2.3.已知00,b0)的右焦点f,直线x=a2c与其渐近线交于a,b两点,与x轴交于d点,且abf为钝角三角形,则离心率取值范围是(d)(a)(3,+)(b)(1,3)(c)(2,+)(d)(1,2)解析:易知a(a2c,abc),若abf为钝角三角形,则afb为钝角,即afd45,所以在adf中,tanafd=addf=abcc-a2c1,解得1e0,b0)的左、右焦点分别是f1、f2,过f1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于m点,若mf2x轴,则双曲线的离心率为.解析:由条件令|mf2|=m,|mf1|=2m,则|f1f2|=3m,即2c=3m,2a=|mf1|-|mf2|=2m-m=m,所以离心率e=2c2a=3mm=3.答案:310.(2013高考天津卷)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.解析:由抛物线y2=8x知其准线方程为x=-2.则双曲线中c=2,ca=2a=2,a=1,b=3.所以双曲线方程为x2-y23=1.答案:x2-y23=111.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点p(3,-1),若此圆过点p的切线与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线的方程为.解析:切点为p(3,-1)的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10.双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,两渐近线方程为3xy=0.设所求双曲线方程为9x2-y2=(0).点p(3,-1)在双曲线上,代入上式可得=80,所求的双曲线方程为x2809-y280=1.答案:x2809-y280=1三、解答题12.(2015山东潍坊第一次质检)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于3,过右焦点f2的直线l交双曲线于a、b两点,f1为左焦点.(1)求双曲线的方程;(2)若f1ab的面积等于62,求直线l的方程.解:(1)依题意,b=3,ca=2a=1,c=2,双曲线的方程为x2-y23=1.(2)设a(x1,y1),b(x2,y2),由(1)知f2(2,0).易验证当直线l斜率不存在时不满足题意,故可设直线l:y=k(x-2),由y=k(x-2),x2-y23=1,消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k3时,x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,y1-y2=k(x1-x2),f1ab的面积s=c|y1-y2|=2|k|x1-x2|=2|k|16k4-4(k2-3)(4k2+3)|k2-3|=12|k|k2+1|k2-3|=62.得k4+8k2-9=0,则k=1.所以直线l方程为y=x-2或y=-x+2.13.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点f1、f2在坐标轴上,且过点p(4,-10).(1)求双曲线方程;(2)若点m(3,m)在双曲线上,求证:mf1mf2=0.(1)解:设双曲线方程为x2-y2=(0).双曲线过点(4,-10),16-10=,即=6,双曲线方程为x2-y2=6,即x26-y26=1.(2)证明:法一由(1)可知,双曲线中a=b=6,c=23,f1(-23,0),f2(23,0),kmf1=m3+23,kmf2=m3-23,kmf1kmf2=m29-12=-m23.点m(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3.故kmf1kmf2=-1,mf1mf2,mf1mf2=0.法二由(1)可知,双曲线中a=b=6,c=23,f1(-23,0),f2(23,0).mf1=(-23-3,-m),mf2=(23-3,-m),mf1mf2=(3+23)(3-23)+m2=m2-3.点m在双曲线上,9-m2=6.m2=3,即m2-3=0,mf1mf2=0.能力提升14.(2014浙江衢州模拟)过双曲线x2a2-y2b2=1(ba0)的左焦点f(-c,0)(c0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为e,延长fe交抛物线y2=4cx于点p,o为坐标原点,若oe=12(of+op),则双曲线的离心率为(d)(a)3+32(b)1+32(c)52(d)1+52解析:抛物线的焦点坐标为f2(c,0),准线方程为x=-c.圆的半径为a,oe=12(of+op),所以e是fp的中点,又e是切点,所以oefp,连接pf2,则pf2fp,且pf2=2a,所以oe=a,fe=b,pf=2b,过p作准线的垂线pm,则pm=pf2=2a,所以mf=pf2-pm2=(2b)2-(2a)2=2b2-a2,在直角三角形fpf2中,pfpf2=ff2mf,即2b2a=2c2b2-a2,所以c2(b2-a2)=a2b2,即c2(c2-2a2)=a2(c2-a2),整理得c4-3a2c2+a4=0,即e4-3e2+1=0,解得e2=39-42=352,根据题意舍去e2=3-52,所以e2=3+52,即e2=3+52=6+254=(5+1)24,所以e=1+52.15.已知点p在曲线c1:x216-y29=1上,点q在曲线c2:(x-5)2+y2=1上,点r在曲线c3:(x+5)2+y2=1上,则|pq|-|pr|的最大值是.解析:依题意知p在曲线c1的左支上时|pq|-|pr|取到最大值,|pq|的最大值为|pc2|+1,|pr|的最小值为|pc3|-1,则|pq|-|pr|的最大值是|pc2|+1-(|pc3|-1)=|pc2|-|pc3|+2=8+2=10.答案:1016.(2014高考湖南卷)如图,o为坐标原点,双曲线c1:x2a12-y2b12=1(a10,b10)和椭圆c2:y2a22+x2b22=1(a2b20)均过点p(233,1),且以c1的两个顶点和c2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求c1,c2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与c1交于a,b两点,与c2只有一个公共点,且|oa+ob|=|ab|?证明你的结论.解:(1)设c2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点p(233,1)在双曲线x2-y2b12=1上,所以(233)2-1b12=1.故b12=3.由椭圆的定义知2a2=(233)2+(1-1)2+(233)2+(1+1)2=23.于是a2=3,b22=a22-c22=2.故c1,c2的方程分别为x2-y23=1,y23+x22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂直于x轴,因为l与c2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=2或x=-2.当x=2时,易知a(2,3),b(2,-3),所以|oa+ob|=22,|ab|=23.此时,|oa+ob|ab|.当x=-2时,同理可知,|oa+ob|ab|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由y=kx+m,x2-y23=1得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与c1相交于a,b两点时,设a(x1,y1),b(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=2km3-k2,x1x2=m2+3k2-3.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3k2-3m2k2-3.由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与c2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得m2=2k2+3.因此oaob=x1x2+y1y2=m2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=-k2-3k2-30,于是oa2+ob2+2oaoboa2+ob2-2oaob,即|oa+ob|2|oa-ob|2.故|oa+ob|ab|.综合,可知,不存在符合题设条件的直线.探究创新17.(2015贵州省六校联盟联考)我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知f1、f2是一对相关曲线的焦点,p是它们在第一象限的交点,当f1pf2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是.解析:设椭圆的半长轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=ca1,a1=ce1.设双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=ca,a=ce.|pf1|=x,|pf2|=y(xy0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos