（新课标地区）高三数学上学期月考四（A卷）.doc

试卷类型：a2014届高三月考试题四数学适用地区：新课标地区 考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何、统计、统计案例、计数原理（仅理科有），概率、随机变量及其分布（仅理科有）建议使用时间：2013年11月底本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2b铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 2013天津卷 已知集合axr|x|2，bxr|x1，则ab()a(，2 b1，2c2，2 d2，1【答案】d解析 abxr|2x2xr|x1xr|2x12.（2012年4月9日大连沈阳联合考试数学文理）下面的茎叶图表示的是某城市一台自动售货机的销售额情况(单位：元)，图中的数字表示的意义是这台自动售货机的销售额为( )a.元 b.元 c.元 d.元【答案】c【解析】树干表示的是十位数字，故7表示为27.3.（理）（2012届北京东城二模理）的展开式中的常数项为（ ） a. b. c. d.【答案】d【解析】展开式中的通项为，令，得.所以展开式中的常数项为.（文）2013重庆卷 若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()a(a，b)和(b，c)内 b(，a)和(a，b)内c(b，c)和(c，)内 d(，a)和(c，)内6a解析 因为f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以函数的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内，故选a.4.（东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试（2012长春三模）数学文）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是（ ）相关系数为 相关系数为相关系数为 相关系数为a.b.c.d.【答案】a【解析】由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知.5. 2013江西卷 等比数列x，3x3，6x6，的第四项等于()a24 b0c12 d24【答案】a解析 (3x3)2x(6x6)得x1或x3.当x1时，x，3x3，6x6分别为1，0，0，则不能构成等比数列，所以舍去；当x3时，x，3x3，6x6分别为3，6，12，且构成等比数列，则可求出第四个数为24.6.(河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学文理)从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为（ ）a.70.09 b.70.12 c.70.55 d.71.05【答案】b【解析】，.因为回归直线过点，所以将点(170,69)代入回归直线方程，得，故回归方程为.代入cm，得其体重为70.12kg.7. 2013浙江卷 已知函数f(x)acos(x)(a0，0，r)，则“f(x)是奇函数”是“”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件【答案】b解析 f(x)acos(x)是奇函数的充要条件是f(0)0，即cos 0，k，kz，所以“f(x)是奇函数”是“”的必要不充分条件，故选择b.8.（理）(河北省石家庄市2012届高中毕业班第二次模拟考试数学理) 的展开式中的常数项为（ ）a.-60 b.-50 c.50 d.60【答案】d【解析】展开式的通项为，令,解得.故常数项为.（文）（2012年4月9日大连沈阳联合考试数学文）若利用计算机在区间上产生两个不等的随机数和，则方程有不等实数根的概率为（ ）a. b. c. d.【答案】b【解析】方程可化为，因其有两个不等实数根，所以，以为横轴，为纵轴，建立平面直角坐标系如下图所示，区域即为阴影区域.故由几何概型得，所求事件的概率为.oababc9. 2013湖北卷 将函数ycos xsin x(xr)的图像向左平移m(m0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()a. b. c. d.【答案】b解析 结合选项，将函数ycos xsin x2sin的图像向左平移个单位得到y2sin2cos x，它的图像关于y轴对称，选b.10. 2013湖南卷 若变量x，y满足结束条件则x2y的最大值是()a b0 c. d.【答案】c解析 根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，可知在点c处x2y取最大值为.11. 2013四川卷 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是()a. b.c. d.【答案】c解析 设第一串彩灯在通电后第x秒闪亮，第二串彩灯在通电后第y秒闪亮，由题意满足条件的关系式为2xy2.根据几何概型可知，事件全体的测度(面积)为16平方单位，而满足条件的事件测度(阴影部分面积)为12平方单位，故概率为.12.（2012届北京东城二模文）设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ）a. b. c. d.【答案】a【解析】若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则.根据抛物线的定义知,点到准线的距离大于4，即，所以.第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.13. (宁夏银川一中2012届高三年级第三次月考数学文)已知(2,3),=(-1,5)，则=_.【答案】 【解析】.14.2013辽宁卷 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_图13【答案】1616解析 由三视图可以得到原几何体是一个圆柱里面挖去了一个长方体，所以该几何体的体积为v44161616.15.（2012届北京东城二模文）将容量为的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之比为且前三组数据的频数之和等于，则的值为 .【答案】 【解析】根据已知条件知，所以.16. 2013福建卷 椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为f1，f2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点m满足mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率等于_【答案】1解析 如图，mf1f2中，mf1f260，mf2f130，f1mf290，又|f1f2|2c，|mf1|c，|mf2|c，2a|mf1|mf2|cc，得e1.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.（本小题满分10分）2013辽宁卷 设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x.(1)若|a|b|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值【解】 (1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x.|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos xsin2xsin 2xcos 2xsin.当x时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.18.（本小题满分12分）2013江西卷 正项数列an的前n项和sn满足：s(n2n1)sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为tn，证明：对于任意的nn*，都有tn0，snn2n.于是a1s12，n2时，ansnsn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项为an2n.(2)证明：由于an2n，bn，则bn.tn.19.（本小题满分12分）(理)2013湖北卷 假设每天从甲地去乙地的旅客人数x是服从正态分布n(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若xn(，2)，有p(x)0.682 6，p(2x2)0.954 4，p(3x3)0.997 4)(2)某客运公司用a，b两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，a，b两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求b型车不多于a型车7辆若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备a型车、b型车各多少辆？【解】(1)由于随机变量x服从正态分布n(800，502)，故有800，50，p(700x900)0.954 4.由正态分布的对称性，可得p0p(x900)p(x800)p(800x900)p(700x900)0.977 2.(2)设a型、b型车辆的数量分别为x，y辆，则相应的营运成本为1 600x2 400y，依题意，x，y还需满足：xy21，yx7，p(x36x60y)p0.由(1)知，p0p(x900)，故p(x36x60y)p0等价于36x60y900，于是问题等价于求满足约束条件且使目标函数z1 600x2 400y达到最小的x，y值作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为p(5，12)，q(7，14)，r(15，6)由图可知，当直线z1 600x2 400y经过可行域的点p时，直线z1 600x2 400y在y轴上截距最小，即z取得最小值，故应配备a型车5辆，b型车12辆(文) 2013北京卷 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天图16(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设x是此人停留期间空气质量优良的天数，求x的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【解】设ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i1，2，13)根据题意，p(ai)，且aiaj(ij)(1)设b为事件“此人到达当日空气重度污染”，则ba5a8.所以p(b)p(a5a8)p(a5)p(a8).(2)由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，且p(x1)p(a3a6a7a11)p(a3)p(a6)p(a7)p(a11)，p(x2)p(a1a2a12a13)p(a1)p(a2)p(a12)p(a13)，p(x0)1p(x1)p(x2).所以x的分布列为x012p故x的期望e(x)012.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大20.（本小题满分12分）（理）2013新课标全国卷 如图13所示，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1accbab.(1)证明：bc1平面a1cd；(2)求二面角da1ce的正弦值图13【解】(1)证明：联结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点又d是ab中点，联结df，则bc1df.因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd.(2)由accbab得，acbc.以c为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.设ca2，则d(1，1，0)，e(0，2，1)，a1(2，0，2)，(1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)设n(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m为平面a1ce的法向量，则可取m(2，1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角da1ce的正弦值为.（文）2013北京卷 如图15，在四棱锥pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分别是cd和pc的中点求证：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.图15证明：(1)因为平面pad底面abcd，且pa垂直于这两个平面的交线ad，所以pa底面abcd.(2)因为abcd，cd2ab，e为cd的中点，所以abde，且abde，所以abed为平行四边形，所以bead.又因为be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因为abad，而且abed为平行四边形，所以becd，adcd.由(1)知pa底面abcd，所以pacd.又因为adpaa，所以cd平面pad，所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点，所以pdef，所以cdef，所以cd平面bef，所以平面bef平面pcd.21.（本小题满分12分）2013新课标全国卷 已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.【解】(1)f(x)ex.由x0是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex.函数f(x)ex在(1，)单调递增，且f(0)0，因此当x(1，0)时，f(x)0.所以f(x)在(1，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)证明：当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0.当m2时，函数f(x)ex在(2，)单调递增又f(1)0，故f(x)0在(2，)有唯一实根x0，且x0(1，0)当x(2，x0)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0得ex0，ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.22.（本小题满分12分）（理）【2012高考真题广东理20】在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：1(ab0)的离心率e，且椭圆c上的点到点q(0,2)的距离的最大值为3.（1）求椭圆c的方程；（2）在椭圆c上，是否存在点m(m，n)，使得直线l：mxny1与圆o：x2y21相交于不同的两点a、b，且oab的面积最大？若存在，求出点m的坐标及对应的oab的面积；若不存在，请说明理由.【解】（1）因为e，所以a23b2，即椭圆c的方程可写为1.设p(