（应用数学专业论文）与分担值相关的亚纯函数族.pdf

重庆大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 本文主要研究亚纯函数族的正规性问题。正规性是单复变函数中的一个重要 研究课题，国内外许多学者对此做出了大量卓有成效的研究工作。近年来，把正 规族与分担值联系起来成为颇为活跃的研究课题，在本文中主要运用n e v a n l i n n a 值分布理论和正规族理论，继续研究了与分担值相关的亚纯函数族的正规性问题， 得到了与分担集合有关，与分担一个值有关，与分担函数有关以及涉及微分多项 式的亚纯函数的几个正规定则，完善和推广了现有的一些结果。 关键词：亚纯函数，正规族，分担值，分担集合，微分多项式 重庆大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w es t u d yn o r m a lf a m i l i e so f m e r m o r p h i cf u n c t i o n s ，w h i c hi sa n i m p o r t a n ts u b j e c ti nc o m p l e xa n a l y s i s m u c hw o r kw a sm a d eo nt h i sr e s p e c t i nr e c e n t y e a r ，c o n n e c t i n gn o r m a lf a m i l i e sw i ms h a r i n gv a l u e sh a sb e e nb e c o m i n ga na c t i v a t e d s u b j e c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed oaf u r t h e rs t u d yi nn o r m a lf a m i l i e so fm e r m o r p h i c f u n c t i o n so ns h a r i n gv a l u e sb yu s i n gm a i n l yt h en a v e l i n n asv a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y a n dt h et h e o r yo fn o r m a lf a m i l i e so fm e r m o r p h i cf u n c t i o n s as e r i e so fn o r m a l i t y c r i t e r i aa r ea t t a i n e d ，s u c ha st h en o r m a l i t yc r i t e r i o nc o n c e r n i n gs h a r i n gs e t s ，s h a r i n ga v a l u e ，s h a r i n gf u n c t i o n s ，c o n c e r n i n gd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l sa n ds o0 1 1 t h er e s u l t s p e r f e c ta n dg e n e r a l i z et h ep e r f e c tc o n c l u s i o n s k e y w o r d s ：m e r m o r p h i cf u n c t i o n ，n o r m a lf a m i l y , s h a r e dv a l u e s ，s h a r e ds e t ，d i f f e r e n t i a l p o l y n o m i a l s i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重麽太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：夏玉诠签字日期：2 口7年石月哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重庆盘堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重庞太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“”) 学位论文作者签名：夏互诠 签字日期：2 , - 7 年6 月哆口 导师签名： 门 欲厶芝 签字日期：u ，) 年f mj 日 重庆大学硕士学位论文1 引言及本文的主要结果 1 引言及本文的主要结果 1 1n e v a n l i n n a 理论简介 1 1 1 引言 1 9 世纪末，e b o r c l 成功地将e p i c a r d ，h p o i n c a r e 和j h a d a m a r d 关于解析函 数取值的若干独立结果结合起来，证明了b o r e l 定理，从而产生了值分布理论的萌 芽。1 9 2 5 年芬兰数学家r n e v a n l i n n a 为值分布理论的发展做出了划时代的贡献， 创立了n e v a n l i n n a 理论，构建了值分布论的基本理论，8 0 多年来值分布理论在 n e v a n l i n n a 理论的影响下取得了巨大的发展。n e v a n l i r m a 理论的诞生是亚纯函数发 展史上一个重大突破点，它为亚纯函数的发展开辟了新篇章，亚纯函数值分布理 论就是建立在它的基础上。特别地，它为正规族理论的发展提供了强有力的工具， 利用它我们可以得到很多深入的结果。下面简要介绍它，具体请参阅文献【1 1 2 1 3 】【4 】【5 】。 1 1 2n e v a n l i n n a 理论的基本概念与性质 我们先简要介绍一下n e v a n l i n n a 值分布理论中的基本概念与性质。 定义1 对石0 ，我们称l o g + x 为工的正对数，如果 +i l o g x ， 工l ， l o g 舻1 0 ，0 x 1 容易看出，对于任意的非负数工有 l o g x = l o g + j l o g + 二 设f ( z ) 为圆h r ( 0 r o o ) 内的非常数的亚纯函数，a 为任一复数，对于 0 ， r ，n e v a l l l i n n a 引进以下几个函数 定义2 朋( ，) = 去f 4 l o g + 厂( 膳”) p 口。埘( ，力也记胴( ，= 。) 或聊( ，o o ) ，是 i ，( z m 的正对数在h = ，的平均值。州( 7 三) = 去r 4 l o 旷1 7 杀p 口， 肌( 7 三) 也记m ( ，f a 2 口) 或m ( 口) ，是西南a l 的正对数在1 2 i = ，的平均值。 ，一i ，i z l 一 定姐( ，力= f 业半州o ，f ) l 。g ， n ( r ，f ) 称为f ( z ) 的极点的密指量( 或计数函数) ，也记为( r ，f = o o ) 或n ( r ，m ) 。这 里”( f ，门表示厂( z ) 在h g t ( o t ，) 上的极点个数，重级极点按其重数计算， n ( o ，门表示厂( z ) 在原点处极点个数，重级极点按其重数计算。 重庆大学硕士学位论文 1 引言及本文的主要结果 ( r ，万1 ) ：r 堕赵t州。，瓦1 ) 1 0 9 ， ( ，7 七) 称为厂( z ) 的口一值点密指量，也记为n ( r ，4 ) 。这里栉( f ，了l ) 表示 j 一“ ，一a ，( z ) 一口在l z l - t ( o - t r ) 上的零点个数，重级零点按其重数计算，h ( o ，= l ) 表示 f ( z ) 一a 在原点的零点个数，重级零点按其重数计算。 定义4 丙( ，力：= f 丛生垒竺堕盟刃+ - ( o ，厂) 】o g ，丙) 称作的精简密 指量，丙( ，门亦记作丙( r ，o o ) ， 矾，去) ：r 鉴2 生乞嘲。，乙) 1 0 9 ， 矾，寿) = ( 丝了t 骂嘲o ，石1 ) 1 0 9 r ( ，7 三) 称之为，( z ) 一口的精简密指量，亦记作丙( ，厂= 口) 或丙( r ，口) 。这里 五( f ，亡) 表示，( z ) 一口在h - t 上的零点个数，每个零点只记一次，n ( o ，7 l ) 表 一“ ，a 示f ( z ) 一a 在原点的零点个数，每个零点只记一次。 定义5 r ( ，) = m ( ) + ( ，) ，r n e v a n l i n n a t ( r ，) 为( 二) 的特征函 数。 h 7 三) = m ( r 7 ) + ( ，7 笔) ，r ( ，7 与) 称为7 石* i 的特征函数。 特征函数基本性质：设乃乜) u = 1 2 ，p ) 为圆h r ( o r 。) 内，个亚纯函 数，f a o ) o o ( ，= 1 , 2 ，p ) ，则 r ( ，垂工) t ( r ，工) ( o ， r ) 丁( ，工) r ( r ，工) + l o g p ( o ， r ) 在上述性质中若去掉乃( o ) 。o ( ，= l 2 ，p ) 的限制，则从p ，厶) 的意义可知上面 两个不等式于1 ， r 成立。 定义6 f ( z ) 召e i z f r ( o r ) 内亚纯，我们称 九力：上望 1 + l f 【z ) i 为f ( z ) 的球面导数。 定义7 厂( z ) 为平面上的亚纯函数，厂( z ) 的级a 与下级分别定义为t ( r ，) 的 级a 与下级，即 2 重庆大学硕士学位论文1 引言及本文的主要结果 a ：1 丽l o g * t ( r , f ) ， 一l o g r “：l i m l o g + t ( r , f ) 。 = 品l o g r 对于f ( z ) 的级有下面两个性质( 具体证明参考文献 6 ) ： ( 1 ) 设f ( z ) 为平面上的亚纯函数，若f ( z ) 的球面导数厂8 ( z ) 有界，则f ( z ) 的级至 多为2 。 ( 2 ) 设f ( z ) 为平面上的整函数，若f ( z ) 的球面导数厂。( z ) 有界，则，( z ) 的级至多 为1 。 1 1 3 一些基本的定理 n e v a n l i n n a 第一基本定理 设f ( z ) 为h z r ( o r o o ) 内的一个非常数的亚纯函数。 数，则当0 ， r 时，有 1 r ( r ，一) = t ( r ，f ) + h ( a ，) ， 1 一a 其中 i ( 口，r ) 喀l o d c , l + l o g + a i + l 0 9 2 ， 若a 为任意有穷复 f ( z ) 一a = c , z 4 - c j + i z ”1 + ( c j 0 ) 公式( 1 1 ) 可简单写作 r ( r ，) = t ( r ，门+ d ( 1 ) ， _ ，一4 它表达了对任一有穷复数口，r ( ，) 与r ( r ，门仅仅相差一个有界量。 j a n e v a n l i n n a 第二基本定理的一般形式 厂( z ) 为h 3 ) 个判别的复数 重庆大学硕士学位论文1 引言及本文的主要结果 ( 其中之一可以是m ) ，则 ( q - 2 ) t ( r ，) ( ，亡) + s ( r ，厂) ( 1 2 ) i = l j u i 这里s ( r ，厂) 具有上述中所表述的余项的性质。 关于第二基本定理的余项s ( r ，厂) ，根据对数导数引理，有如下估计： 设函数f ( z ) 为开平面上的非常数亚纯函数，s ( r ，f ) 由n e v a n l i n n a 第二基本定 理中的( 1 2 ) 确定，则当，( z ) 为有穷级时有 s ( r ，) = o ( t ( r ，厂) )r 斗o o ) ； 当f ( z ) 为无穷级时有 s ( r ，) = o ( t ( r ，) )p - - 9 , o o ，盛e ) 其中e 是一个有穷线性测度的集合。 注：对于非常数亚纯函数f ( z ) ，本文用s ( r ，厂) 泛指这样的量： s ( r ，f ) = o ( t ( r ，厂) ) 驴一0 0 ) ，当f ( z ) 为无穷级时，此时可能需除去，的一个线性测 度有限之集，但每次出现不一定完全相同。 m i l l o u x 不等式 n e v a r t l i n n a 第二基本定理研究亚纯函数的特征函数可被亚纯函数的密指量所 界囿，而用亚纯函数及其导数的密指量所界囿首先由h m i l l o u x 获得下面的结果。 m i l l o u x 不等式 7 1 ：设厂( z ) 为h r ( 0 r o o ) 内的亚纯函数。若 f ( 0 ) o ，o o ；厂( o ) 1 ；厂“( o ) 0 ，则当0 r r 时，有 r ( ，力 丙( ，) + ( r ，7 1 ) 十( r ，7 未j ) 一( ，7 击) + s ( ，) 对数导数引理嘲 设函数f ( z ) 于h r ( 0 r 0 0 ) 内亚纯。若f ( o ) o ，o o ，七为任意正整数，则当 0 r p r 时，有 聊( ，掣) c k 1 c k 1 + l o g + l o g + 点+ l o g + 三1 + l o g + 1 _ + l o g + p + l o g + t ( p ，埘 州 手k南 7古 ) ) 其中c 。是仅依赖于k 的常数。 h a y m a n 9 不等式 设函数f ( z ) 于l z l r ( m ) 内亚纯。若k 为一正整数，且 ，( o ) o ，；，。( o ) l ；f “1 ( o ) 0 ( 露+ 1 ) 厂+ 2 ( 0 ) ( ，q ( o ) 一1 ) 一( k + 2 ) f k m ( 0 ) 2 0 则当0 r r 时，有 m ，小( 2 + 妻) ( ，争+ ( 2 + 7 南m ，) o 4 重庆大学硕士学位论文1 引言及本文的主要结果 1 2 正规族理论 1 2 1 引言 全纯函数和亚纯函数的正规族理论是复分析的一个重要组成部分，也是复分 析里一个有力工具。例如从上世纪8 0 年代初开始活跃并且正在蓬勃发展的复动力 系统，就是以正规族作为一个极其基本的概念。众所周知，平面上任无限点集 至少存在一个聚点( 有穷或无穷) ，这就是点集的列紧性。但一族函数未必就具有上 述的性质。2 0 世纪初，p m o n t e l 引进了正规族的概念。他把具有某中列紧性的函 数族称为正规族，它使函数的正规性与函数的取值问题紧密的联系在了一起。而 n e v a n l i n n a 理论的产生促进了正规族理论的深入发展。c m i r a n d a 使用n e v a n l i n n a 理论建立了m i r a n d a 定则，该定则把函数族的正规性与函数导数的取值问题联系了 起来，开辟了正规族理论的新的研究领域。自从顾永兴把m i r a n d a 正规定则推广到 亚纯函数族的情形以后，关于亚纯函数正规族的研究，在我国颇为活跃。下面简要 的介绍它，具体请参阅【l o 】。 1 2 2 正规族理论的基本概念与性质 我们先叙述一下全纯函数族正规的定义 定义1 设 厂( z ) ) 为区域d 内一族全纯函数。如果从这个族中每一个函数序列 l ( z ) = l 2 ) 中均可以选出一子序列z 。( z ) ( k = l 2 ) 在区域d 上内闭一致收敛 或内闭一致趋于无穷，则称族 厂( z ) ) 在区域d 内正规。 为了叙述亚纯函数族正规的定义，首先引入亚纯函数序列一致收敛的定义。 定义2 设z 0 ) ( ，f l 2 ) 为一函数序列，均在一区域d 内亚纯。我们称z 0 ) 在d 上内闭致收敛，如果对任点z o d ，存在一邻域n ( z o ) ( n ( z o ) c y d ) ，使工( z ) 一或在n ( z o ) 上按通常意义一致收敛。 ，。( z j 一个亚纯函数序列在一区域内闭一致收敛，其极限函数具有下列性质： 定理i 在区域d 上内闭一致收敛的亚纯函数序列z ( z ) ( n = l 2 ) 的极限函数 厂( z ) 在d 内或为亚纯函数，或恒为0 0 。 有了亚纯函数序列内闭一致收敛的概念，下面给出亚纯函数族正规的定义： 定义3 设 厂( z ) ) 为区域d 内一族亚纯函数。如果从这个族中每一个函数序列 z ( z ) ( n = l 2 ) 中均可以选出一个子序列六。( z ) ( g = - i 2 ) 在区域d 上内闭一致收 敛，则称族f f c z ) 在区域d 内正规。 在亚纯函数正规族理论中还有一个比较重要的概念，那就是函数族在一点正 规的概念。下面就给出这个定义： 定义4 设 厂( z ) ) 为区域d 内一族亚纯函数族，我们称族 厂( z ) ) 在区域d 内 一点z 。正规，如果存在一个属于d 的以z 。为心的圆内部c ( z 。) ，使族 ，( z ) ) 在 重庆大学硕士学位论文1 引言及本文的主要结果 c ( z 。) 内正规。 关于一函数族在一区域内正规与它在区域内一点正规的关系如下： 定理i i 设 厂( z ) ) 为区域d 内的亚纯函数族，这个族在区域d 内正规的充要 条件是它在区域d 内每点正规。 下面的定理是正规判定的一个重要方法。 定理i i i 设 厂( z ) 为区域d 内一族亚纯函数族。若对任一点z 。d ，存在圆域 c ( 钿) c d 及一正数k ，使对任- - f ( z ) 厂( z ) ) 在c ( z 。) 内或者恒有l 厂( z ) l k 或者 1 恒有i i i _ i k ，则族b q z ) 在d 内正规。 i ，l z l i 关于亚纯函数族，下面给出关于正规性的另一个等价定义。首先引进球面距 离( 简称球距) 的概念。 定义5 设z 。，z ：为复平面c 上的两个复数( 有穷或无穷) ，我们称下面的非负实 数为z 与z ：之间的球面距离，记作b ，z ：l 。 i 毛，乞l _ 根据球面距离的定义不难验证下面的性质。 l z l ，z 2 f l 毛一= 2 i ( 毛0 0 ，z 2 ) ， f z 。，毛l j z 。，z 2 + l z ：+ z ，f ， 11i 2 i _ 盲剖 ( z t o o ，z 2 o o ) ( z l 。，乞= o o ) ( 毛= o o ，z 2 = ) b g 南扎g 乍卜k g 乍：f 0 ，如 果在区域g 的每一个有界闭域d 上，存在n ( 8 ，d ) ，使得当n 时有 阮( z ) ，厶( z ) i 0 ，使得当f = 0 时有i ，( z ) l a ，则若f 在z 。不 正规，那么对于o ! 口亟，存在： 1 ) 实数r , 0 ， 1 ： 2 ) 点列扛。) ，m ， 1 ，乙一z 0 ； 3 ) 函数列 丘) ，正f ； 4 ) 正数列 p 。) ，成哼0 + 使得 “护盟：哮幽 p 。 按球面距离内闭一致收敛，这里g 是复平面c 上的非常数亚纯函数， 且g 为有穷 极，满足9 4 ( ) s 9 4 ( o ) = k a + 1 。 注：在上面的引理中，当0 口 k 时，对厂0 ) 的限制可以忽略。 1 3 本文的主要结果 定理l 设f 是单位圆盘上的亚纯函数族，k 是一正整数，a 与b 是两个不 同的非零有穷复数，a k - 1 ( z ) ，q ( z ) ，( z ) 是上的全纯函数，s = 叠，b ) 。如果对 任意的，f ，f 的零点重数后+ l ，e l ( s ) c l s ( s ) ，贝i j f 在上正规。其中 三( 门= 厂七( z ) + 口i l ( z ) 厂( k - d ( z ) + + 口o ( z ) 厂( z ) 。 推论1 设f 是单位圆盘上的亚纯函数族，k 是一正整数，a 与b 是两个不 同的非零有穷复数，s = 口，b 。如果对任意的f f ，厂的零点重数k + l ， e ，( s ) 匕e s ( s ) ，则，在上正规。 推论2 设f 是单位圆盘上的亚纯函数族，k 是一正整数，a 与b 是两个不 同的非零有穷复数。如果对任意的f f ，厂的零点重数k + l ，豆，( a ) 匕y ( a ) ， f ，m ( 6 ) c e s ( 6 ) ，则，在上正规。 对于全纯函数得到如下定理 定理2 设f 是单位圆盘上的全纯函数族，a 与b 是两个不同的非零有穷复 数，s = 如，b 。如果对任意的f f ，f 的零点重数k ，s ( s ) c e f t ，( s ) ，则f 在上正规。 9 重庆大学硕士学位论文1 引言及本文的主要结果 定理3 设f 为区域d 上的亚纯函数族，k 是正整数，如果对任意的 ，f ，f a 的零点重数至少为k ，f ( z ) = 口j 厂( z ) = 乜；f “( z ) = 4 ，则f 在 d 上正规。 定理4 设f 为区域d 上的亚纯函数族，口( z ) 是区域d 上的全纯函数，且在d 上 a ( z ) m + l 咖= 0 , 1 ，2 ，) 。如果对任意的f f ，豆，( 0 ) = 亏，0 ( z ) ) ，且存在h 1 ， 使得当：言，q ) 时有，一( ：) ：j 年! 婪j l ，则f 在d 上正规。 1 + l 厂( z ) r 对于全纯函数得到如下定理 定理5 设f 为区域d 上的全纯函数族，( z ) 是区域d 上的全纯函数。如果对 任意的，f ，言，( 0 ) c 应，( ( z ) ) ，存在h l ，使得当z 五，( 1 ) 时有 厂一( z ) = 骐 ， 则f 在d 上正规。 1 + ( z ) r 推论3 设f 为区域d 上的亚纯函数族，口( z ) 是区域d 上的全纯函数，且在d 上a ( z ) 1 7 1 + 1 沏= 0 , 1 ，2 ，) 。如果对任意的f f ，雪，( o ) = 豆( d ( z ) ) ，且存在正 整数缸七( j i l 0 的多 项式，a 和b 是两个不为零的有穷复数。如果对任意的厂f ，满足下面的条件：厂 的零点重数至少为k + l ， f ( z ) = a j p ( 厂) + 日( ，厂，f ) = a ， p ( 厂) + 日( 厂，厂。，f ) = b j f ( z ) = 6 ， 则f 在区域d 上正规。 1 0 重庆大学硕士学位论文 2 与分担集合相关的亚纯函数的正规族 2 与分担集合相关的亚纯函数的正规族 2 1 引言 设d 是复平面c 上的一个区域，厂是区域d 上的亚纯函数，若口与b 是c 上 的两个不同的复数，定义 e i ( s ) = e s ( a ，6 ) = z d ：( 厂( z ) 一4 ) ( 厂( z ) 一6 ) = o ) ， 其中s = 和，b 。如果定义在区域d 上的两个亚纯函数厂和g 满足豆，( s ) = 雪。( s ) ， 则称，和g 在d 上分担集合s = 慨b ) 。 1 9 9 2 年s c h w i c k 首先把分担值与正规族联系起来，证明了： 定理a 【2 1 1 设f 为单位圆盘a 上的亚纯函数族，a ，a ，a ，为三个互为判别 的有穷复数。如果对任意的厂f ，q ，d ：，a ，为，和，在上的i m 分担值， 则f 在上正规。 1 9 9 9 年，徐炎讨论了全纯函数的正规性，得到： 定理b e 2 2 1 设f 为单位圆盘上的全纯函数族，a 与b 为两个判别的有穷复 数，如果任意的厂f ，口与b 为厂和，在上的i m 分担值，则f 在上正规。 2 0 0 0 年庞学诚和z a l c m a n 改进了定理a 和定理b ，证明了： 定理c 2 3 1 设，为单位圆盘上的亚纯函数族，a 与b 为两个判别的有穷复 数，如果任意的f f ，口与b 为和厂在上的i m 分担值，则，在上正规。 2 0 0 4 年章文华考虑了关于分担集合的亚纯函数的正规族，得到： 定理d 2 4 1 设f 是单位圆盘上的亚纯函数族，a 与b 是两个不同的非零有 穷复数，s = d ，b ) 。如果对任意的厂f ，厂的零点是重级的，豆，( s ) = 豆，。( s ) ， 则f 在上正规。 很自然地，我们希望把定理d 中的厂用厂似或更一般地用 ( z ) + 口。( z ) 厂( k - d ( z ) + + 口0 ( z ) 厂( z ) 代替后定理d 的结论仍成立，在本文中证 明了： 定理1 设f 是单位圆盘上的亚纯函数族，k 是一正整数，a 与b 是两个不 同的非零有穷复数，a k - 1 ( z ) ，q ( z ) ，( z ) 是上的全纯函数，s = 如，b ) 。如果对 任意的，f ，厂的零点重数k + 1 ，e l ( s ) c 豆，( s ) ，则f 在上正规。其中 ( 门= f ( z ) + 4 i l ( z ) 厂( k - d ( z ) + + a 0 ( z ) 厂( z ) 。 推论l 设f 是单位圆盘上的亚纯函数族，k 是一正整数，a 与b 是两个不 同的非零有穷复数，s = 口，b 。如果对任意的f f ，厂的零点重数k + l ， 雷，t ，( s ) c 雷，( s ) ，则f 在上正规。 推论2 设f 是单位圆盘上的亚纯函数族，k 是一正整数，a 与b 是两个不 重庆大学硕士学位论文 2 与分担集合相关的纯函数的正规族 同的非零有穷复数。如果对任意的厂f ，厂的零点重数k + l ，e ，”( n ) c e ，( ) ， 豆，( ”( b ) c e s ( b ) ，则f 在上正规。 对于全纯函数我们得到 定理2 设f 是单位圆盘上的全纯函数族，a 与b 是两个不同的非零有穷 复数，s = 伽，b 。如果对任意的厂f ，f 的零点重数k ，豆，”( s ) 3 e s ( s ) ， 则f 在上正规。 注：在上述定理中s o ，o o 。例如对于亚纯函数族f = p ”) ，如果s = 0 ， ， 显然，对于每一个厂f ，厂与，分担s = 0 ，o o ，但f = p ” 却在单位圆盘上 不正规。 2 2 定理的证明 2 2 1 定理1 的证明 假设f 在单位圆盘上不正规。不失一般性，不妨假设f 在z 。= o 不正规， 由z a l c m a n 引理可知，存在 实数，0 r 1 ； 复数列乙，k i 0 ，使得g ( 孝) 在d 2 。= 话：悟一彘l 2 占 上解析，从而当玎充分大时，邑“( 善) ( ，= o ，1 2 “k 1 ) 在 d ，= 留：悟一o l 占j 上解析，且g 。力( 善) 在d 。上一致收敛于g “( 告) 。因为 三( ：i ( z 。+ p 。孝) ) 一a = 正( ) ( z 。+ 尸。善) + 口i - 1z 。+ p 。善) ：( k - 1 ) ( z 。+ p 。孝) + + 4 0 ( z 。+ 善) ，( z 。+ p 。亏) 一口 = g 。( ) ( 善) + p 。口i l ( z 。+ 户。毒) g 。【一) ( 善) + + p 。口o ( z 。+ 手) g ( 孝) 一口 当厅充分大时岛n ( 善) 在d 5 上解析，a k _ l ( z ) ，a l ( z ) ，a o ( z ) 在a 上全纯，k i ， 岛j 0 ，故在d j 上，当，l 充分大时，有 i 口肜。+ 岛孝) 卜m 、r ，+ l ，a ，、 z ) ) o o ( j = o ，1 ，2 ，后一1 ) 故口h ( 乙+ 岛孝) 岛岛“1 ( 善) + + 4 0 ( 乙+ 成善) 成g ( 善) 在见= 偕：悟一磊i 0 使 得，当悟一品f j 时，有 g m ( 孝) 0 ( 2 1 ) 另一方面由彘是g a 的m ( m 2 ) 重零点及h u r w i t z 定理，存在m 个序列 鼠) ，i = 1 , 2 ，册，使得 l 嗵彘= 磊，i = 1 , 2 ，m 1 4 重庆大学硕士学位论文2 与分担集合相关的亚纯函数的正规族 并且对于充分大的h 有 g 。( 乞) 一a = 0 ，i = 1 , 2 ，m 因此由豆，( s ) c 萤，( j ) ，我们得到 g 。( 彘) = p 。厶( z 。+ 成厶) = p a 0 或p b 0 ，( i = 1 , 2 ，m ) ( 2 2 ) 不妨假设g 。( 彘) = 成以( z 。+ 成) = p a ( 当( 彘) = 成z 。( z 。+ 见彘) = p 。b 时 我们同理可证) ，则厶o = 1 , 2 ，m ) 是g 。( 善) 一口的m 个单级零点，所以 彘善m ，1 s i j m ( 2 3 ) 故由( 2 2 ) 和( 2 3 ) 得到g 抽( 彘) = 0 ，这与( 3 1 ) 矛盾。从而g a 。 同理可证g b 。 由n e v a n l i n n a 第二基本定理得 2 t ( r , g ) ( ，g ) + f v ( r , ! 一) + ( r ，l ) + f c ( r , 上) 十s ( r ，g ) g ag dg 1 n ( r ，二) + s ( r ，g ) g t ( r ，g ) + s p ，g ) 即 r p ，g ) s ( r ，g ) 再结合g ( 考) 4 和g ( 掌) b 得到g 为常数，矛盾。从而f 在上正规。 当j j _ 2 时 下面我们证明：e g ) c e ；m ( o ) ，e 。( 6 ) 匕e g ( 0 ) g ( 善) 恒不等于零，否则g 就是一个次数低于k 的多项式，这与g ( 善) 的零点 重数k 矛盾。 假设存在磊使g ( 4 0 ) = a ，由h u r w i t z 定理，存在点列磊，磊_ 彘，当栉充 分大时， g 。( 孝) = 工( z 。+ 成六) = a ， 由亏，t ”( s ) 3 雷，( s ) ，我f 门得到 岛”( ) = n 。：| ( ：。+ 成品) = 见口或以6 g ( 彘) = 1 i m g 。( 乞) = 0 ， 因此雷。( 口) c - 虏。m ( o ) 。 同理可证得应。( b ) c 豆。m ( 0 ) 。 由n e v a n l i n n a 第一和第二基本定理得 2 r ( ，g ) ( r ，g ) + f c ( r , 一) + a t ( r , 上) + i t ( r ! ) + s ( ，g ) g ag dg 11 a t ( r , 吉) + ( ，蠢- ) + s ( r ，g ) 重庆大学硕士学位论文2 与分担集合相关的亚纯函数的正规族 妻( ，吉) + 嘶，i 1 却悄r g ) i t ( r , g ) + r ( r ，g ) + s ( r ，g ) - ；t ( r ，g ) + t ( r ，g ) + k n ( r ，g ) + s ( r ，g ) 生兰r ( ， g ) + s ( 吣) 即 k - 7 ；lt ( ，g ) s ( ，g ) 因为k 2 ，所以t ( r ，g ) s 0 0 ) s ( r ，g ) ，矛盾。从而f 在a 上正规。 1 6 重庆大学硕士学位论文3 分担一个值的距纯函数族 3 分担一个值的亚纯函数族 3 1 引言 庞学诚2 5 1 ，陈怀惠和华歆厚2 6 】证明了下面的定理 定理e 设f 为区域d 上的亚纯函数族，a 为非零复数，如果对任意的厂f ， ，和，。分担a ，则f 在d 上正规。 很自然地，我们希望把定理g 中的，用，”，厂”用，七“1 代替后定理g 的结 论仍成立，在本文中得到了： 定理3 设f 为区域d 上的亚纯函数族，七是正整数，如果对任意的 厂f ，一口的零点重数至少为i ，( z ) = a j 厂( ) ( z ) = 口j f “1 ( z ) = 口，则f 在 d 上正规。 3