（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十章 第59课 圆的综合问题要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第十章 第59课 圆的综合问题要点导学要点导学各个击破与圆有关的范围与最值问题已知实数x,y满足x2+y2-6x-8y+21=0.(1) 求的取值范围;(2) 求x2+y2+2x+4y的最大值与最小值.解答由x2+y2-6x-8y+21=0得圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4,所以方程x2+y2-6x-8y+21=0是以c(3,4)为圆心、2为半径的圆.(1) =表示圆上任意一点m(x,y)与原点o(0,0)连线的斜率.作图可以发现过原点作圆的切线,两条切线的斜率分别是的最大值与最小值.设切线为kx-y=0,则=2,解得k=,所以.(2) 因为x2+y2+2x+4y=(x+1)2+(y+2)2-5,所以x2+y2+2x+4y表示圆上任意一点m(x,y)与定点a(-1,-2)的距离的平方与5的差,ac=2,作图发现m=(ac+2)2=56+8,m=(ac-2)2=56-8,所以x2+y2+2x+4y的最大值是51+8,最小值是51-8.精要点评(1) 对于型问题常可以转化为圆上任意一点p与定点q连线的斜率.(2) 对于x2+y2-2mx-2ny型问题,可以转化为圆上任意一点m与定点n(m,n)间的距离的最大、最小值问题.在具体解题时注意数形结合思想的运用.如果实数x,y满足(x+2)2+y2=3.(1) 求的最大值;(2) 求2x-y的最小值.解答(1) 问题可转化为求圆(x+2)2+y2=3上任意一点到原点连线的斜率k=的最大值, 由图形性质可知,由原点向圆(x+2)2+y2=3作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值.设切线方程为y=kx,即kx-y=0,由=,解得k=或k=-,所以的最大值为.(2) 因为x,y满足(x+2)2+y2=3,所以可设所以2x-y=-4+2cos -sin =-4+sin(+),所以2x-y的最小值为-4-.直线与圆的位置关系(2014江苏模拟)若圆m经过不同的三点a(0,1),b(2,0),p(m,0),且斜率为1的直线与圆m相切于点p,求圆m的方程.解答由a(0,1),b(2,0)在圆上,可得圆m的弦ab的中垂线方程为4x-2y-3=0,bp也是圆m的弦,所以圆心在直线x=上.设圆心m,因为圆心m在直线4x-2y-3=0上,所以2m-2n+1=0.又因为斜率为1的直线与圆m相切于点p,所以kmp=-1.即=-1,整理得m-2n-2=0.由可得m=-3,n=-,所以m,半径ma=.故圆m的方程为x2+y2+x+5y-6=0.(2014佛山模拟)如图,已知半径为1的圆o1与x轴交于a,b两点,om为圆o1的切线,切点为m,且m在第一象限,圆心o1的坐标为(2,0),二次函数y=-x2+bx+c的图象经过a,b两点.(变式)(1) 求二次函数的解析式;(2) 求切线om的函数解析式.解答(1) 由题意知,圆o1的方程为(x-2)2+y2=1,令y=0,解得x=1或x=3,故点a的坐标为(1,0),点b的坐标为(3,0).由于二次函数y=-x2+bx+c经过a,b两点,则有解得故二次函数的解析式为y=-x2+4x-3.(2) 设直线om所对应的函数解析式为y=kx,由于点m在第一象限,所以k0.由于直线om与圆o1相切,则=1,解得k=,故切线om的函数解析式为y=x.圆的综合问题 (2014安徽示范高中模拟)已知点e(-2,0),f(2,0),曲线c上的动点m满足=-3,定点a(2,1),由曲线c外一点p(a,b)向曲线c引切线pq,切点为q,且满足pq=pa.(1) 求线段pa的最小值;(2) 若以点p为圆心所作的圆p与曲线c有公共点,试求半径取最小值时圆p的标准方程.解答(1) 设点m(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),因为=-3,所以(-2-x,-y)(2-x,-y)=x2+y2-4=-3,即x2+y2=1,所以曲线c的方程为x2+y2=1.因为pq=pa,所以po2-1=pa2,即a2+b2-1=(a-2)2+(b-1)2,化简得b=-2a+3.pa=,所以线段pa的最小值为.(2) 设圆p的半径为r,因为圆p与圆c有公共点,圆c的半径为1,所以|r-1|cpr+1,即rcp-1且rcp+1,而cp=,故当a=时,opmin=.此时b=-2a+3=,rmin=-1.故半径取最小值时圆p的标准方程为+=.(2014扬泰南宿二调)在平面直角坐标系xoy中,已知圆c:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0 r a),m为直线l上一动点,a1,a2分别为圆c与x轴的两个交点,直线ma1,ma2与圆c的另一个交点分别为p,q.(1) 若r=2,点m的坐标为(4,2),求直线pq的方程;(2) 证明:直线pq过定点,并求该定点的坐标.解答(1) 当r=2,m(4,2),则a1(-2,0),a2(2,0).直线ma1的方程为x-3y+2=0,联立方程组解得p.直线ma2的方程为x-y-2=0,联立方程组解得q(0,-2). 由两点式,得直线pq的方程为2x-y-2=0.(2) 由题设得a1(-r,0),a2(r,0).设m(a,t),直线ma1的方程为y=(x+r),直线ma2的方程为y=(x-r).由解得p.由解得q.于是直线pq的斜率kpq=,直线pq的方程为y-=.上式中令y=0,得x=,是一个与t无关的常数.故直线pq过定点.已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1) 若此方程表示圆,求m的取值范围;(2) 若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于m,n两点,且omon(o为坐标原点),求m;(3) 在(2)的条件下,求以mn为直径的圆的方程.思维引导omon(o为坐标原点)等价于以mn为直径的圆的经过原点.规范答题(1) 因为(x-1)2+(y-2)2=5-m是圆,所以m5.(3分)(2) 设m(x1,y1),n(x2,y2),则x1=4-2y1,x2=4-2y2,则x1x2=16-8(y1+y2)+4y1y2.因为omon,所以x1x2+y1y2=0,所以16-8(y1+y2)+5y1y2=0.由得5y2-16y+m+8=0,所以y1+y2=,y1y2=,代入,得m=. (8分)(3) 以mn为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0,所以所求圆的方程为x2+y2-x-y=0. (14分)1. 圆心在x-y-4=0上,并且经过圆c1:x2+y2-4x-3=0和圆c2:x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程为.答案x2+y2-6x+2y-3=02. 对于任意实数k,直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是.答案相切或相交解析根据直线恒过(1,3),且(1,3)在圆上可知直线与圆相交或相切.3. 已知直线2x+y-=0与圆x2+y2=2相交于a,b两点,o为原点,那么=.答案0解析因为圆心(0,0)到直线2x+y-=0的距离为1,所以直线被圆截得的弦长ab=2=2.因为oa2+ob2=ab2,所以aod=90,所以=0.4. 若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则实数a的值为.答案1解析圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=5,因为直线经过圆的圆心(-1,2),所以3(-1)+2+a=0,解得a=1.5. (2014惠州模拟)已知直线l1与直线l2:3x+4y-6=0平行,且与圆c:x2+y2+2y=0相切,那么直线l1的方程是.答案3x+4y-1=0或3