辽宁省沈阳市铁路实验中学高二数学上学期第一次月考试卷（含解析）.doc

2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1已知abc中，三内角a、b、c成等差数列，则sinb=（）abcd2在abc中，若bc=3，ac=4，ab=，则abc的面积等于（）a3b6c8d103已知数列an满足an+1=，若a1=，则a2015=（）a2b2c1d4已知等差数列an满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）as15=150ba8=10ca16=20da4+a12=205在等差数列an中，设公差为d，若s10=4s5，则等于（）ab2cd46已知等比数列an，a1=1，a5=，则a2a3a4（）abcd7设等比数列an的前n项和为sn，若s10：s5=1：2，则s15：s5=（）a3：4b2：3c1：2d1：38设sn为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0，则=（）a11b8c5d119已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为sn和tn，且，则使为整数的n值个数为（）a4b5c6d710已知数列 anbn满足 a1=b1=1，an+1an=2，nn*，则数列 b的前10项和为（）a（4101）b（4101）c（491）d（491）11已知等差数列前n项和为sn且s130，s120，则此数列中绝对值最小的项为（）a第5项b第6项c第7项d第8项12已知sn是等差数列annn*的前n项和，且s6s7s5，给出下列五个命题：d0；s110；s120；数列sn中最大项为s11；|a6|a7|，其中正确命题的个数（）a5b4c3d1二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13一船以每小时15km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔b在北偏东60处；行驶4h后，船到达c处，看到这个灯塔在北偏东15处这时船与灯塔的距离为km14已知数列an的前n项和sn=n216n，|a1|+|a2|+|a3|+|a11|=15数列an=n23n（nn*）为单调递增数列，则的取值范围是16下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为aij，则数字73在表中出现的次数为 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 4 7 10 13 16 19 5 9 13 17 21 25 6 11 16 21 26 31 7 13 19 25 31 37三、解答题（共6题，17题10分，1822每题12分，总计70分）17已知等差数列an满足：a5=11，a2+a6=18（）求数列an的通项公式；（）若bn=an+3n，求数列bn的前n项和sn18已知数列an，bn分别为等差和等比数列，且a1=1，d0，a2=b2，a5=b3，a14=b4（nn*）（）求an，bn的通项公式；（）设cn=anbn，求数列cn的前n项和19已知数列an中，a1=1，前n项和sn=an（1）求a2，a3，及an的通项公式（2）求的前n项和tn，并证明：1tn220在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知sinb（tana+tanc）=tanatanc（）求证：a，b，c成等比数列；（）若a=1，c=2，求abc的面积s21已知数列an中，an=2（n2），a1=，bn=（nn*）（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项，并说明理由22设数列an的前n项和为sn，已知a1+2a2+3a3+nan=（n1）sn+2n（nn*）（1）求a2，a3的值；（3）求证：数列sn+2是等比数列；（3）设bn=，数列bn的前n项和为tn，求满足tn0的最小自然数n的值2015-2016学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1已知abc中，三内角a、b、c成等差数列，则sinb=（）abcd【考点】等差数列的通项公式；正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】由题意可得a+c=2b，结合三角形的内角和可求b，进而可求sinb【解答】解：由题意可得，a+c=2ba+b+c=180b=60，sinb=故选b【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题2在abc中，若bc=3，ac=4，ab=，则abc的面积等于（）a3b6c8d10【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：由余弦定理可得：cosc=，c（0，），c=sabc=3故选：a【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3已知数列an满足an+1=，若a1=，则a2015=（）a2b2c1d【考点】数列递推式【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】通过求出前几项的值得出该数列是以3为周期的周期数列，进而可得结论【解答】解：an+1=，a1=，a2=2，a3=，a4=，数列an是以3为周期的周期数列，2015=6713+2，a2015=a2=2，故选：a【点评】本题考查数列的通项，求出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题4已知等差数列an满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）as15=150ba8=10ca16=20da4+a12=20【考点】等差数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项的性质，可得结论【解答】解：s15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即a正确；a6+a10=2a8=20，a8=10，即b正确；a6+a10a16，即c错误a4+a12=a6+a10=20，即d正确故选：c【点评】本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项的性质是关键5在等差数列an中，设公差为d，若s10=4s5，则等于（）ab2cd4【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】根据题意和等差数列的前n项和公式化简s10=4s5，即可求出的比值【解答】解：s10=4s5，10a1+45d=4（5a1+10）d，解得d=2a1，则=，故选：a【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，属于基础题6已知等比数列an，a1=1，a5=，则a2a3a4（）abcd【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式求解【解答】解：等比数列an中，a1=1，a5=，a2a3a4=qq2q3=q6=（）3=故选：a【点评】本题考查等比数列中三项积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用7设等比数列an的前n项和为sn，若s10：s5=1：2，则s15：s5=（）a3：4b2：3c1：2d1：3【考点】等比数列的性质【专题】计算题【分析】本题可由等比数列的性质，每连续五项的和是一个等比数列求解，由题设中的条件s10：s5=1：2，可得出（s10s5）：s5=1：1，由此得每连续五项的和相等，由此规律易得所求的比值选出正确选项【解答】解：等比数列an的前n项和为sn，若s10：s5=1：2，（s10s5）：s5=1：2，由等比数列的性质得（s15s10）：（s10s5）：s5=1：（2）：4，所以s15：s5=3：4故选a【点评】本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质sk，s2ksk，s3ks2k，成公比为qk等比数列数列，本题查了利用性质进行运算的能力8设sn为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0，则=（）a11b8c5d11【考点】等比数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可【解答】解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，解得q=2，所以=11故选a【点评】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式9已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为sn和tn，且，则使为整数的n值个数为（）a4b5c6d7【考点】等差数列的性质【专题】计算题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列【分析】当n=1时， =8；当n2时， =2+，从而判断即可【解答】解：当n=1时， =8，故成立；当n2时， =2+故n=2，3，5，11；故使得为整数的正整数的个数是4；故选：b【点评】本题考查了等差数列前n项和公式的应用及分类讨论的思想应用，属于基础题10已知数列 anbn满足 a1=b1=1，an+1an=2，nn*，则数列 b的前10项和为（）a（4101）b（4101）c（491）d（491）【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】根据等差数列与等比数列的定义结合题中的条件得到数列an与bn的通项公式，进而表达出ban的通项公式并且可以证明此数列为等比数列，再利用等比数列前n项和的公式计算出答案即可【解答】解：由an+1an=2，所以数列an是等差数列，且公差是2，bn是等比数列，且公比是2又因为a1=1，所以an=a1+（n1）d=2n1所以b=b2n1=b122n2=22n2设cn=b，所以cn=22n2，所以=4，所以数列cn是等比数列，且公比为4，首项为1由等比数列的前n项和的公式得：其前10项的和为=（4101）故选a【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列与等差数列的定义，以及它们的通项公式与前n项和的表示式11已知等差数列前n项和为sn且s130，s120，则此数列中绝对值最小的项为（）a第5项b第6项c第7项d第8项【考点】等差数列的前n项和；数列的应用【专题】等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质可得a6+a70，a70，进而得出|a6|a7|=a6+a70，可得答案【解答】解：s13=13a70，s12=6（a6+a7）0a6+a70，a70，|a6|a7|=a6+a70，|a6|a7|数列an中绝对值最小的项是a7故选c【点评】本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a70，a70，属中档题12已知sn是等差数列annn*的前n项和，且s6s7s5，给出下列五个命题：d0；s110；s120；数列sn中最大项为s11；|a6|a7|，其中正确命题的个数（）a5b4c3d1【考点】等差数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】先由条件确定第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，再将s11，s12由第六项和第七项的正负判定【解答】解：等差数列an中，s6最大，且s6s7s5，a10，d0，正确；s6s7s5，a60，a70，a1+6d0，a1+5d0，s6最大，不正确；s11=11a1+55d=11（a1+5d）0，s12=12a1+66d=12（a1+a12）=12（a6+a7）0，正确，错误故选：c【点评】本题考查等差数列的前n项和的最值在等差数列中sn存在最大值的条件是：a10，d0二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13一船以每小时15km的速度向东航行，船在a处看到一个灯塔b在北偏东60处；行驶4h后，船到达c处，看到这个灯塔在北偏东15处这时船与灯塔的距离为30km【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】根据题意画出相应的图形，求出b与bac的度数，再由ac的长，利用正弦定理即可求出bc的长【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，可得出b=7530=45，在abc中，根据正弦定理得： =，即=，bc=30km，则这时船与灯塔的距离为30km故答案为：30【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键14已知数列an的前n项和sn=n216n，|a1|+|a2|+|a3|+|a11|=73【考点】数列的求和【专题】计算题；函数思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用sn=n216n，求出an，然后化简|a1|+|a2|+|a3|+|a11|去掉绝对值，然后求解即可【解答】解：sn=n216n，当n=1时，a1=15；当n2时，an=snsn1=n216n（n1）216（n1）=2n17令an0，解得n8令tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a11|=a1a2a3a8+a9+a10+a11=15+13+11+9+7+5+3+1+1+3+5=73故答案为：73【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列的求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15数列an=n23n（nn*）为单调递增数列，则的取值范围是1【考点】数列的函数特性【专题】等差数列与等比数列【分析】数列an=n23n（nn*）为单调递增数列，可得anan+1对于nn*都成立，化简解出即可【解答】解：数列an=n23n（nn*）为单调递增数列，anan+1对于nn*都成立；n23n（n+1）23（n+1），化为，数列为单调递增数列，当n=1时，取得最小值11故答案为：1【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为aij，则数字73在表中出现的次数为12 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 4 7 10 13 16 19 5 9 13 17 21 25 6 11 16 21 26 31 7 13 19 25 31 37【考点】归纳推理【专题】推理和证明【分析】第1行数组成的数列a1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列aij（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果【解答】解：第i行第j列的数记为aij那么每一组i与j的组合就是表中一个数因为第一行数组成的数列a1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a1j=2+（j1）1=j+1，所以第j列数组成的数列aij（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以aij=（j+1）+（i1）j=ij+1令aij=ij+1=73，ij=72=172=236=324=418=612=89=98=126=184=243=362=721，所以，表中73共出现12次故答案为：12【点评】本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题三、解答题（共6题，17题10分，1822每题12分，总计70分）17已知等差数列an满足：a5=11，a2+a6=18（）求数列an的通项公式；（）若bn=an+3n，求数列bn的前n项和sn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】（i）利用等差数列的通项公式即可得出；（ii）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，a5=11，a2+a6=18，解得a1=3，d=2a1=2n+1（）由（i）可得：bn=2n+1+3nsn=3+5+（2n+1）+（3+32+3n）=+=n2+2n+【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18已知数列an，bn分别为等差和等比数列，且a1=1，d0，a2=b2，a5=b3，a14=b4（nn*）（）求an，bn的通项公式；（）设cn=anbn，求数列cn的前n项和【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】（1）由已知可得，a2，a5，a14成等比数列，结合等比数列的性质及等差数列的通项公式可求公差d，进而可求an，然后结合已知可求等比数列的公比，代入可求（2）设cn=anbn=（2n1）3n1，结合数列的项的特点，考虑利用错位相减求和【解答】解：（1）a2=b2，a5=b3，a14=b4，b2，b3，b4成等比数列a2，a5，a14成等比数列a1=1（1+d）（1+13d）=（1+4d）2d0解可得d=2an=1+2（n1）=2n1a2=b2=3，a5=b3=9q=3， =33n2=3n1（2）设cn=anbn=（2n1）3n1sn=130+33+532+（2n1）3n13sn=13+332+（2n3）3n1+（2n1）3n两式相减可得，2sn=1+2（3+32+3n1（2n1）3n=3n2（2n1）3n【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、等比数列的通项公式的应用及数列的错位相减求和方法的应用19已知数列an中，a1=1，前n项和sn=an（1）求a2，a3，及an的通项公式（2）求的前n项和tn，并证明：1tn2【考点】数列的求和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】（1）根据已知等式确定出a2，a3，得出an的通项公式即可；（2）表示出的前n项和tn，根据前n项和tn为递增数列，确定出tn的范围，即可得证【解答】解：（1）由s2=a2，a1=1，得到3（a1+a2）=4a2，解得：a2=3a1=3；由s3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，解得：a3=（a1+a2）=6由题设知a1=1，当n1时有an=snsn1=anan1，整理得：an=an1于是a1=1，a2=a1，a3=a2，an1=an2，an=an1，将以上n个等式两端分别相乘，整理得an=，综上，an的通项公式an=；（2）=，tn=2+=2（1+）=2（1）=22，即tn2，又tn+1tn，tn单调增，tn=t1=1，则1tn2【点评】此题考查了数列的求和，确定数列的通项公式，拆项法，以及数列的递推式，熟练掌握数列的性质是解本题的关键20在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知sinb（tana+tanc）=tanatanc（）求证：a，b，c成等比数列；（）若a=1，c=2，求abc的面积s【考点】等比数列的性质；三角函数中的恒等变换应用；解三角形【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】（i）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinb（sinacosc+sinccosa）=sinasinc，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2b=sinasinc，由正弦定理可证（ii）由已知结合余弦定理可求cosb，利用同角平方关系可求sinb，代入三角形的面积公式s=可求【解答】（i）证明：sinb（tana+tanc）=tanatancsinb（）=sinb=sinb（sinacosc+sinccosa）=sinasincsinbsin（a+c）=sinasinc，a+b+c=sin（a+c）=sinb即sin2b=sinasinc，由正弦定理可得：b2=ac，所以a，b，c成等比数列（ii）若a=1，c=2，则b2=ac=2，0bsinb=abc的面积【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用21已知数列an中，an=2（n2），a1=，bn=（nn*）（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项，并说明理由【考点】数列递推式【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】（1）利用等差数列的定义，进行证明；（2）依题意有an1=，求导数，确定函数的单调性，即可得出结论【解答】（1）证明：bn+1bn=1，a1=，b1=，数列bn是以为首项，1为公差的等差数列；（2）解：依题意有an1=，对于函数y=，在x3.5时，y0，y0，在（3.5，+）上为减函数且y0，故当n=4时，an=+1取最大值3而函数y=，在x3.5时，y0，y0，在（，3