（江苏专用）高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积 文.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积 文1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则aob就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a，b两点间的距离|ab|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)在四边形abcd中，且0，则四边形abcd为矩形()(4)两个向量的夹角的范围是0，()(5)由ab0可得a0或b0.()(6)(ab)ca(bc)()1已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b|_.答案解析由题意可得ab|b|cos 30|b|,4a24abb21，即42|b|b21，由此求得|b|.2(2015山东改编)已知菱形abcd 的边长为a，abc60，则_.答案a2 解析 如图所示，由题意，得bca，cda，bcd120.bd2bc2cd22bccdcos 120a2a22aa3a2，bda.|cos 30a2a2.3已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a|_.答案3解析|a|2aa(3e12e2)(3e12e2)9|e1|212e1e24|e2|29121149.|a|3.4已知a，b，c为圆o上的三点，若()，则与的夹角为_答案90解析由()可知点o为bc的中点，即bc为圆o的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以bac90，所以与的夹角为90.5(教材改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_答案2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2015四川)设四边形abcd为平行四边形，|6，|4，若点m，n满足3，2，则_.(2)已知正方形abcd的边长为1，点e是ab边上的动点，则的值为_；的最大值为_答案(1)9(2)11解析(1)，(43)(43)(16292)(1662942)9.(2)方法一以射线ab，ad为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则a(0，0)，b(1,0)，c(1,1)，d(0,1)，设e(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论e点在哪个位置，在方向上的投影都是cb1，|11，当e运动到b点时，在方向上的投影最大即为dc1，()max|11.思维升华(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补(1)如图，在平行四边形abcd中，已知ab8，ad5，3，2，则_.(2)已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则_.答案(1)22(2)2解析(1)由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22.(2)由题意知：()()()()224022.题型二用数量积求向量的模、夹角命题点1求向量的模例2(1)已知向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|ab|_.(2)(2014湖南)在平面直角坐标系中，o为原点，a(1,0)，b(0，)，c(3,0)，动点d满足|1，则|的最大值是_答案(1)(2)1解析(1)因为向量a，b均为单位向量，它们的夹角为，所以|ab| .(2)设d(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点d的轨迹为以点c为圆心的单位圆又o(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点p(1，)间距离的最大值圆心c(3,0)与点p(1，)之间的距离为，故的最大值为1.命题点2求向量的夹角例3(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为_(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_答案(1)(2)解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20，cos .又0，.(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，即2a3b与c反向综上，k的取值范围为.思维升华(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角为锐角的充要条件是cos 0且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解(1)已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.(2)在abc中，若a120，1，则|的最小值是_答案(1)(2)解析(1)|a| 3，|b| 2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，cos .(2)1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.题型三平面向量与三角函数例4(2015广东)在平面直角坐标系xoy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有ab0，反之不成立a组专项基础训练(时间：40分钟)1若向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则|ab|_.答案2解析|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos 604422212，|ab|2.2已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夹角为，则实数m_.答案解析ab(1，)(3，m)3m，abcos ，3mcos ，m.3设向量e1，e2是夹角为的单位向量，若a3e1，be1e2，则向量b在a方向上的投影为_答案解析向量e1，e2是夹角为的单位向量，|e1|e2|1，e1e211cos .又|a|3e1|3，ab3e1(e1e2)3e3e1e233，向量b在a方向上的投影为.4.如图，在abc中，若|，ab2，ac1，e，f为bc边的三等分点，则_.答案解析若|，则222222，即有0.e，f为bc边的三等分点，则()()22(14)0.5abc的外接圆圆心为o，半径为2，0，且|，则在方向上的投影为_答案解析如图，设d为bc的中点，由0，得2，点a、o、d共线且|2|，又o为abc的外心，ao为bc的中垂线，|2，|1，与的夹角为30，|cos 30，在方向上的投影为.6在abc中，m是bc的中点，am3，点p在am上，且满足2，则()的值为_答案4解析由题意得，ap2，pm1，所以()2221cos 1804.7如图，在abc中，o为bc中点，若ab1，ac3，60，则|_.答案解析因为，60，所以|cos 6013，又()，所以2()2(222)，所以2(139)，所以|.8在abc中，若，则点o是abc的_(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)答案垂心解析，()0，0，obca，即ob为abc底边ca上的高所在直线同理0，0，故o是abc的垂心9已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求abc的面积解(1)(2a3b)(2ab)61，4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，abc.又|a|4，|b|3，sabc|sinabc433.10在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量m(cos(ab)，sin(ab)，n(cos b，sin b)，且mn.(1)求sin a的值；(2)若a4，b5，求角b的大小及向量在方向上的投影解(1)由mn，得cos(ab)cos bsin(ab)sin b，所以cos a.因为0a，所以sin a .(2)由正弦定理，得，则sin b，因为ab，所以ab，则b.由余弦定理得(4)252c225c，解得c1，故向量在方向上的投影为|cos bccos b1.b组专项能力提升 (时间：20分钟)11(2015湖南改编)已知点a，b，c在圆x2y21上运动，且abbc.若点p的坐标为(2,0)，则|的最大值为_答案7解析由a，b，c在圆x2y21上，且abbc，所以ac为圆直径，故2(4,0)，设b(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，所以(x6，y)故|，所以x1时有最大值7.12在abc中，a90，ab1，ac2.设点p，q满足，(1)，r.若2，则_.答案解析(1)，(1)224(1)342，即.13.如图，在矩形abcd中，ab，bc2，点e为bc的中点，点f在cd上，若，则的值是_答案解析依题意得()()22120.14已知abc中，|2，且b，则的取值范围是_答案解析因为，所以()()()0，即22，可得abbc.由|2，