（江苏专用）高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.5 独立性及二项分布 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其概率分布 12.5 独立性及二项分布 理1条件概率及其性质(1)对于两个事件a和b，在已知事件b发生的条件下，事件a发生的概率叫做条件概率，用符号p(a|b)来表示，其公式为p(a|b)(p(b)0)在古典概型中，若用n(b)表示事件b中基本事件的个数，则p(a|b).(2)条件概率具有的性质：0p(a|b)1；如果b和c是两个互斥事件，则p(bc|a)p(b|a)p(c|a)2相互独立事件(1)对于事件a、b，若事件a的发生与事件b的发生互不影响，则称事件a、b是相互独立事件(2)若a与b相互独立，则p(b|a)p(b)，p(ab)p(b|a)p(a)p(a)p(b)(3)若a与b相互独立，则a与，与b，与也都相互独立(4)若p(ab)p(a)p(b)，则a与b相互独立3二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有_两_种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的(2)在n次独立重复试验中，用x表示事件a发生的次数，设每次试验中事件a发生的概率为p，则p(xk)cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量x服从二项分布，记为xb(n，p)，并称p为成功概率【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率()(2)相互独立事件就是互斥事件()(3)对于任意两个事件，公式p(ab)p(a)p(b)都成立()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n二项展开式的通项公式，其中ap，b1p.()(5)p(b|a)表示在事件a发生的条件下，事件b发生的概率，p(ab)表示事件a，b同时发生的概率()(6)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是pc131.()1袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为_答案解析第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为.2(2014课标全国改编)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_答案0.8解析已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得p0.8.3.如图，用k，a1，a2三类不同的元件连结成一个系统当k正常工作且a1，a2至少有一个正常工作时，系统正常工作已知k，a1，a2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为_答案0.864解析方法一由题意知k，a1，a2正常工作的概率分别为p(k)0.9，p(a1)0.8，p(a2)0.8，k，a1，a2相互独立，a1，a2至少有一个正常工作的概率为p(a2)p(a12)p(a1a2)(10.8)0.80.8(10.8)0.80.80.96.系统正常工作的概率为p(k)p(a2)p(a12)p(a1a2)0.90.960.864.方法二a1，a2至少有一个正常工作的概率为1p(12)1(10.8)(10.8)0.96，故系统正常工作的概率为p(k)1p(12)0.90.960.864.4某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_答案解析设该队员每次罚球的命中率为p，则依题意有1p2，即p2.又0p1，故p.5(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为_答案解析记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件a，“乙去北京旅游”为事件b，又p( )p()p()1p(a)1p(b)(1)(1)，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，所求概率为1p( )1.题型一条件概率例1(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件a为“取到的2个数之和为偶数”，事件b为“取到的2个数均为偶数”，则p(b|a)_.(2)如图所示，efgh是以o为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用a表示事件“豆子落在正方形efgh内”，b表示事件“豆子落在扇形ohe(阴影部分)内”，则p(b|a)_.答案(1)(2)解析(1)p(a)，p(ab)，p(b|a).(2)ab表示事件“豆子落在oeh内”，p(b|a).引申探究若将本例(1)中的事件b：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？解p(a)，p(b)，又ab，则p(ab)p(b)，所以p(b|a).思维升华条件概率的求法：(1)利用定义，分别求p(a)和p(ab)，得p(b|a)，这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件a包含的基本事件数n(a)，再在事件a发生的条件下求事件b包含的基本事件数，即n(ab)，得p(b|a).已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为_答案解析方法一设事件a为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件b为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则p(a)，p(ab)，则所求概率为p(b|a).方法二第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为.题型二相互独立事件的概率例2在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)x表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，“求x2”的事件概率解(1)设a表示事件“观众甲选中3号歌手”，b表示事件“观众乙选中3号歌手”，则p(a)，p(b).事件a与b相互独立，a与相互独立，则a表示事件“甲选中3号歌手，且乙未选中3号歌手”p(a)p(a)p()p(a)1p(b)，(或p(a)(2)设c表示事件“观众丙选中3号歌手”，则p(c)，依题意，a，b，c相互独立，相互独立，且ab，ac，bc，abc彼此互斥又p(x2)p(ab )p(ac)p(bc)，p(x3)p(abc)，p(x2)p(x2)p(x3).思维升华解答此类问题的方法技巧(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立；(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算(2015陕西改编)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为t，t只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：t(分钟)25303540频数(次)20304010 (1)求t的概率分布； (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率解(1)由统计结果可得t的频率分布为t(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得t的概率分布为t25303540p0.20.30.40.1(2)设t1，t2分别表示往、返所需时间，t1，t2的取值相互独立，且与t的概率分布相同，设事件a表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件a对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”方法一p(a)p(t1t270)p(t125，t245)p(t130，t240)p(t135，t235)p(t140，t230)0.210.310.40.90.10.50.91.方法二p()p(t1t270)p(t135，t240)p(t140，t235)p(t140，t240)0.40.10.10.40.10.10.09，故p(a)1p()0.91.题型三独立重复试验与二项分布命题点1根据独立重复试验求概率例3甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得2分，对方得1分求乙队得分x的概率分布解(1)设“甲队以30,31,32胜利”分别为事件a，b，c，则p(a)，p(b)c2，p(c)c22.(2)x的可能的取值为0,1,2,3.则p(x0)p(a)p(b)，p(x1)p(c)，p(x2)c22，p(x3)3c2.x的概率分布为x0123p命题点2根据独立重复试验求二项分布例4在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题规定每位考生必须且只须在其中选做一题设4名学生选做每一道题的概率均为.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布解(1)设事件a表示“甲选做第21题”，事件b表示“乙选做第21题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“ab ，且事件a、b相互独立故p(ab )p(a)p(b)p()p().(2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且b(4，)，则p(k)ck4kc4(k0,1,2,3,4)故变量的概率分布为01234p思维升华独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率(2)根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率(2014四川改编)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得200分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为x，求x的概率分布(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解(1)x可能的取值为10,20,100，200.根据题意，有p(x10)c12，p(x20)c21，p(x100)c30，p(x200)c03.所以x的概率分布为x1020100200p(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件ai(i1,2,3)，则p(a1)p(a2)p(a3)p(x200).所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1p(a1a2a3)131.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.18独立事件概率求解中的易误点典例(16分)某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分记为射手射击3次后的总分数，求的概率分布易错分析解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n次独立重复试验，可导致求得pc()3()2这一错误结果规范解答解(1)设x为射手在5次射击中击中目标的次数，则xb.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率为p(x2)c23.4分(2)设“第i次射击击中目标”为事件ai(i1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件a，则p(a)p(a1a2a345)p(1a2a3a45)p(12a3a4a5)32323.8分(3)设“第i次射击击中目标”为事件ai(i1,2,3)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6.10分p(0)p(123)3；p(1)p(a123)p(1a23)p(12a3)22；p(2)p(a12a3)；p(3)p(a1a23)p(1a2a3)22；p(6)p(a1a2a3)3.14分所以的概率分布是01236p16分温馨提醒(1)正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生(2)独立重复试验中的概率公式p(xk)cpk(1p)nk表示的是n次独立重复试验中事件a发生k次的概率，p与1p的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件a有k次不发生的概率了方法与技巧1古典概型中，a发生的条件下b发生的条件概率公式为p(b|a)，其中，在实际应用中p(b|a)是一种重要的求条件概率的方法2相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为p(ab)p(a)p(b)互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为p(ab)p(a)p(b)3n次独立重复试验中，事件a恰好发生k次可看作是c个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个a事件与nk个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1p)nk.因此n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率为cpk(1p)nk.失误与防范1运用公式p(ab)p(a)p(b)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件a、b相互独立时，公式才成立2独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件a组专项基础训练(时间：45分钟)1已知a，b是两个相互独立事件，p(a)，p(b)分别表示它们发生的概率，则1p(a)p(b)是下列哪个事件的概率_事件a，b同时发生；事件a，b至少有一个发生；事件a，b至多有一个发生；事件a，b都不发生答案解析p(a)p(b)是指a，b同时发生的概率，1p(a)p(b)是a，b不同时发生的概率，即事件a，b至多有一个发生的概率2甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为_答案解析设“甲命中目标”为事件a，“乙命中目标”为事件b，“丙命中目标”为事件c，则击中目标表示事件a，b，c中至少有一个发生又p( )p()p()p()1p(a)1p(b)1p(c).故目标被击中的概率p1p( ).3袋子中有大小、质地相同的红球、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是_答案解析所有的基本事件的个数为2228，其中总分低于4分的事件只有一个，即三次均摸出黑球，故所求事件的概率为1.4设随机变量x服从二项分布xb(5，)，则函数f(x)x24xx存在零点的概率是_答案解析函数f(x)x24xx存在零点，164x0，x4.x服从xb(5，)，p(x4)1p(x5)1.5甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_答案解析设事件a：甲实习生加工的零件为一等品；事件b：乙实习生加工的零件为一等品，则p(a)，p(b)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)(1)(1).6有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_答案0.72解析设种子发芽为事件a，种子成长为幼苗为事件b(发芽又成活为幼苗)依题意p(b|a)0.8，p(a)0.9.根据条件概率公式p(ab)p(b|a)p(a)0.80.90.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.7设随机变量xb(2，p)，随机变量yb(3，p)，若p(x1)，则p(y1)_.答案解析xb(2，p)，p(x1)1p(x0)1c(1p)2，解得，p.又yb(3，p)，p(y1)1p(y0)1c(1p)3.8一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：3位病人都被治愈的概率为0.93；3人中的甲被治愈的概率为0.9；3人中恰有2人被治愈的概率是20.920.1；3人中恰好有2人未被治愈的概率是30.90.12；3人中恰好有2人被治愈，且甲被治愈的概率是0.920.1.其中正确结论的序号是_答案9某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为，该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为136，击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比(1)设x表示目标被击中的次数，求x的概率分布；(2)若目标被击中2次，a表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求p(a)解(1)依题意知xb(4，)，p(x0)c()0(1)4，p(x1)c()1(1)3，p(x2)c()2(1)2，p(x3)c()3(1)1，p(x4)c()4(1)0.x的概率分布为x01234p(2)设ai表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i1,2.bi表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i1,2.依题意知p(a1)p(b1)0.1，p(a2)p(b2)0.3，aa111b1a1b1a2b2，所求的概率为p(a)p(a11)p(1b1)p(a1b1)p(a2b2)p(a1)p(1)p(1)p(b1)p(a1)p(b1)p(a2)p(b2)0.10.90.90.10.10.10.30.30.28.10(2014陕西)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设x表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的概率分布；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率解(1)设a表示事件“作物产量为300 kg”，b表示事件“作物市场价格为6 元/kg”，由题设知p(a)0.5，p(b)0.4，因为利润产量市场价格成本所以x所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.p(x4 000)p()p()(10.5)(10.4)0.3，p(x2 000)p()p(b)p(a)p()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，p(x800)p(a)p(b)0.50.40.2，所以x的概率分布为x4 0002 000800p0.30.50.2(2)设ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1,2,3)，由题意知c1，c2，c3相互独立，由(1)知，p(ci)p(x4 000)p(x2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为p(c1c2c3)p(c1)p(c2)p(c3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为p(1c2c3)p(c1c3)p(c1c2)30.820.20.384，所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.b组专项能力提升(时间：30分钟)11设两个独立事件a和b同时不发生的概率是p，a发生b不发生与a不发生b发生的概率相同，则事件a发生的概率为_答案1解析根据题意，设事件a发生的概率为a，事件b发生的概率为b，则有由知ab，代入即得a1.12口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列an，an如果sn为数列an的前n项和，那么s73的概率为_答案c25解析由s73知，在前7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则s73的概率为c25.13先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6)两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y.设事件a为“xy为偶数”，事件b为“x，y中有偶数，且xy”，则概率p(b|a)_.答案解析由题意知p(a)p(x是偶数)p(y是偶数)p(x是奇数)p(y是奇数).记事件ab表示“xy为偶数，x，y中有偶数，且xy”即“x、y都是偶数且xy”，所以p(ab)，故p(b|a).14现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为