（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第61课 椭圆的几何性质 文.doc

第61课 椭圆的几何性质(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修1-2-1p30例1改编)椭圆+=1的长轴长为，离心率为，右焦点坐标为.【答案】10(4，0)2.(选修1-1p35习题4改编)若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 .【答案】(-，-1)【解析】由题意有2-m|m|-10，解得1m或mb0)的左焦点f(-c，0)为圆心、c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是.【答案】【解析】由条件得椭圆的左准线方程为x=-，从而由-c-c，得a22c，a2=b2+c2，a0，b0，c0标准方程及图形+=1(ab0)+=1(ab0)范围|x|a，|y|b|y|a，|x|b对称性曲线关于原点、x轴、y轴对称顶点长轴顶点(a，0)短轴顶点(0，b)长轴顶点(0，a)短轴顶点(b，0)焦点(c，0)(0，c)长、短轴的长度长轴长2a，短轴长2b焦距f1f2=2c(c2=a2-b2)准线方程x=y=离心率e=(0，1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆2.点p(x0，y0)和椭圆+=1(ab0)的关系(1)点p(x0，y0)在椭圆外+1.(2)点p(x0，y0)在椭圆上+=1.(3)点p(x0，y0)在椭圆内+b0)的左顶点为a，左焦点为f，上顶点为b，若bao+bfo=90，求椭圆的离心率.【思维引导】根据所给的几何条件，建立关于a，b，c的方程.【解答】方法一：因为bao+bfo=90，所以sinbfo=cos bao=cos baf.在abf中，由正弦定理得=，即=，所以=，所以a2=b，即a4=(a2-c2)(2a2-c2)，化简得e4-3e2+1=0，解得e2=，故e=(负值舍去).方法二：易知baf=fbo，所以rtbfortabo，则=，即=，所以ac=b2=a2-c2，所以c2+ac-a2=0，即e2+e-1=0，解得e=(负值舍去).方法三：设椭圆右顶点为c，连接bc，则bco=baf，所以bco+bfc=90，则bf2+bc2=cf2，即a2+a2+b2=(a+c)2，所以2a2-c2=2ac+c2，即c2+ac-a2=0，所以e2+e-1=0，解得e=(负值舍去).【精要点评】椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化，建立关于a，b，c的齐次方程.本题对于所给条件bao+bfo=90采取了三种转化，分别是正弦定理、余弦定理以及相似三角形、直角三角形(勾股定理)，但目的都是一致的.【高频考点题组强化】1.椭圆+=1的离心率为.【答案】2.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率等于.【答案】【解析】因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以a=2b，则有椭圆的离心率e=.3.(2015苏北四市期末)已知椭圆+=1(ab0)，点a，b1，b2，f依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 ab2与直线 b1f的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为.【答案】(第3题)【解析】如图，a(-a，0)，b1(0，-b)，b2(0，b)，f(c，0)，设点m.由=kam，得=，所以ym=b.由=kfm，得=，所以ym=，从而b=，整理得2e2+e-1=0，解得e=或e=1(舍去).4.如图，已知f1为椭圆的左焦点，a，b分别为椭圆的右顶点和上顶点，p为椭圆上的点.若pf1f1a，poab(o为椭圆中心)，求椭圆的离心率.(第4题)【解答】设椭圆方程为+=1(ab0)，f1(-c，0)，c2=a2-b2，则p.因为abpo，所以kab=kop，即-=，所以b=c.又因为a=b，所以e=.求椭圆离心率的取值范围微课13 典型示例例2若椭圆+=1(ab0)的右焦点为f，其右准线与x轴的交点为a，在椭圆上存在点p，使得线段ap的垂直平分线过点f，则椭圆离心率的取值范围是.【思维导图】【答案】【规范解答】由题意知，椭圆上存在点p，使得线段ap的垂直平分线过点f，即点f到点p与点a的距离相等.而fa=-c=，pfa-c，a+c，于是a-c，a+c，即ac-c2b2ac+c2，所以解得又因为e=，e(0，1)，故e.【精要点评】(1)一般地，求解离心率的值或取值范围的问题，关键是将几何条件转化为a，b，c的方程或不等式，然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式.(2)对于椭圆上或直线上的点，应该利用该点建立方程，转化为与该点相关的变量的方程的有解问题，这里要注意椭圆等图形本身的范围限制. 总结归纳1.存在性问题可转化为方程有解；2.求离心率范围可转化为求不等式(组)的解集或方程有解等问题；3.若点p在椭圆上，f为椭圆的一个焦点，则pfa-c，a+c. 题组强化1.(2014合肥三检)椭圆+=1的离心率e的取值范围是.【答案】【解析】由题知(a+1)2a0，所以e=，故e.2.在平面直角坐标系xoy中，椭圆+=1(ab0)的左焦点为f，右顶点为a，p是椭圆上一点，l为左准线，pql，垂足为q.若四边形pqfa为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是.【答案】(-1，1)【解析】由题意知af=pq，即a+c=xp+，则xp=a+c-，所以有-aa+c-a，即c2a+c，左侧不等式显然成立，所以a20.又0e1，所以-1eb0)上的点，以m为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点f，圆m与y轴相交于p，q两点.若pqm是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是.【答案】【解析】由题意可知圆m的半径为，点m到y轴的距离为c，由于pqm是等腰三角形，故只能是pmq为钝角，从而只需c即可，即acb2=a2-c2，两边同除以a2并整理得e2+e-10，解得e. 又因为0eb0)的左、右焦点分别为f1(-c，0)，f2(c，0).若椭圆上存在点p，使得=，则该椭圆的离心率的取值范围为.【答案】(-1，1)【解析】在pf1f2中，由正弦定理知=，因为=，所以=，即pf1=epf2.又因为点p在椭圆上，所以pf1+pf2=2a，将代入得pf2=(a-c，a+c)，同除以a得1-e1+e，解得-1eb0)的左顶点为a，右焦点为f(c，0)，p(x0，y0)为椭圆上一点，且papf.(例3)(1)若a=3，b=，求x0的值；(2)若x0=0，求椭圆的离心率；(3)求证：以f为圆心，fp为半径的圆与椭圆的右准线x=相切.【解答】(1)因为a=3，b=，所以c2=a2-b2=4，即c=2.由papf，得=-1，即=-x0+6.又+=1，所以4+9x0-9=0，解得x0=或x0=-3(舍去).(2)当x0=0时，=b2，由papf，得=-1，即b2=ac，所以a2-c2=ac，所以e2+e-1=0，解得e=(负值舍去).(3)依题意，椭圆右焦点到直线x=的距离为-c，且+=1，由papf，得=-1，即=-+(c-a)x0+ca，由整理得(x0+a)（x0+）=0，解得x0=-或x0=-a(舍去).所以pf=a+ =-c，所以以f为圆心、fp为半径的圆与右准线x=相切.【精要点评】关于椭圆性质的综合应用的题目都有一定的难度，充分利用或挖掘各种条件是解决问题的关键.但是，基本量的求解与基本关系的处理是解决问题的必要途径.变式(2015福建卷改编)已知椭圆e：+=1(ab0)过点(0，)，且离心率为.(1)求椭圆e的方程；(2)设直线x=my-1(mr)交椭圆e于a，b两点，判断点g与以线段ab为直径的圆的位置关系，并说明理由.【解答】(1)由已知得解得所以椭圆e的方程为+=1.(2)设点a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab中点为h(x0，y0).由消去x，得(m2+2)y2-2my-3=0，所以y1+y2=，y1y2=-，从而y0=.所以gh2=+=（my0+）2+=(m2+1)+my0+.=(m2+1)(-y1y2).故gh2-=my0+(m2+1)y1y2+=-+=0，所以gh，故点g在以ab为直径的圆外.1.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为f1，f2，点p在椭圆上，若pf1=4，则点p到右准线的距离是.【答案】【解析】由pf1=4，知pf2=6，所以点p到右准线的距离d=.2.设f1，f2为两定点，f1f2=8，动点p满足pf1pf2，且pf1+pf2=10，满足条件的点p的个数为.【答案】4【解析】由pf1+pf2=10，可知点p(x，y)在曲线+=1上.又因为pf1pf2，根据对称性可知点p的个数为4.3.若过椭圆+=1(ab0)的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为a，则该椭圆的离心率是.【答案】(第3题)【解析】如图，设椭圆焦点为(c，0)，a2=b2+c2，点p的坐标为(c，0)，点m的坐标为，则=，即=，即=，所以e=.4.已知f1，f2为椭圆的两个焦点，若椭圆上总存在点m，使得=0，则椭圆离心率的取值范围为.【答案】【解析】因为椭圆上总存在点m，使得=0，且动点m位于椭圆上顶点时，f1mf2最大，所以90f1mf2b0)，p(x1，y1)，f1(-c，0)，f2(c，0)，c0，由第二定义易知pf1=a+ex1，pf2=a-ex1.在pf1f2中，由余弦定理得cos60=，解得=4分(1)因为0，a2)，所以0b0)的左、右焦点，p为直线x=上一点，f2pf1是底角为30的等腰三角形，则椭圆e的离心率为.5.在平面直角坐标系中，椭圆+=1(ab0)的焦距为2c，以原点o为圆心，a为半径作圆o，过点作圆o的两条切线互相垂直，则离心率e=.6.已知f1，f2分别是椭圆c的左、右焦点，点p在椭圆上，且满足pf1=2pf2，pf1f2=30，则椭圆的离心率为.7.若点o和点f分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为.8.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为f1，f2，点p(x0，y0)为椭圆上的动点，当f1pf2为钝角时，点p的横坐标x0的取值范围为.二、 解答题 9.(2015扬州期末)如图，a，b，c是椭圆m：+=1(ab0)上的三点，其中点a是椭圆的右顶点，bc过椭圆m的中心，且满足acbc，bc=2ac.(1)求椭圆m的离心率；(2)若y轴被abc的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆m的方程.(第9题)10.已知椭圆的右焦点f(m，0)，左、右准线分别为l1：x=-m-1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于a，b两点.(1)若离心率为，求椭圆的方程；(2)当b0)的左、右焦点，顶点b的坐标为(0，b)，连接bf2并延长交椭圆于点a，过点a作x轴的垂线交椭圆于另一点c，连接f1c.(1)若点c的坐标为，且bf2=，求椭圆的方程；(2)若f1cab，求椭圆的离心率e.(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在abc中，acb=60，sin asin b=85，则以a，b为焦点且过点c的椭圆的离心率为.13.设f1，f2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点，若在直线x=上存在点p，使线段pf1的中垂线过点f2，则椭圆的离心率的取值范围是.【检测与评估答案】第61课椭圆的几何性质1. y=4【解析】因为c2=a2-b2=8-4=4，所以准线方程为y=4.2.+=1【解析】因为2c=8，所以c=4，所以e=，故a=8.又因为b2=a2-c2=48，所以椭圆的方程为+=1.3. 1或16【解析】若焦点在x轴上，则m4，即a2=m，b2=4c2=a2-b2=m-4，得到=m=16.4.【解析】由题意可得pf2=f1f2，所以2=2c，所以3a=4c，所以e=.5.【解析】如图，四边形oapb为正方形，所以op=oa，所以=a，解得=，即离心率e=.(第5题)6.【解析】在pf1f2中，由正弦定理得sinpf2f1=1，即pf2f1=90.设pf2=1，则pf1=2，f2f1=，所以离心率e=.7.6【解析】由椭圆方程得f(-1，0)，设p(x0，y0)，则=(x0，y0)(x0+1，y0)=+x0+.因为p为圆上一点，所以+=1.所以=+x0+3=+x0+3=(x0+2)2+2.因为-2x02，所以的最大值在x0=2时取得，且最大值等于6.8.【解析】由题意知f1(-，0)，f2(，0)，由p(x0，y0