（江苏专用）高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第15课 函数的综合应用 文.doc

第15课 函数的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1p31练习8改编)下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是.(填序号)y=-log2x；y=x3+x；y=3x；y=-.【答案】【解析】为非奇非偶函数，是奇函数，但在整个定义域上不是增函数.2.(必修1p36习题9改编)若函数f(x)=x-+在(1，+)上是增函数，则实数p的取值范围是.【答案】-1，+)【解析】由题意得f(x)=1+0对x(1，+)恒成立，所以p-x2对x(1，+)恒成立，所以p-1.3.(必修1p45练习3改编)已知函数f(m)=(3m-1)a+b-2m，当m0，1时，f(m)1恒成立，则a+b的最大值是.【答案】【解析】由题意知作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图象可知，当a+b=0过点时取得最大值，且(a+b)max=.(第3题)4.(必修1p84练习1改编)若函数f(x)=ax(a0且a1)在-1，2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)=(1-4m)在0，+)上是增函数，则实数a=.【答案】【解析】若a1，则a2=4，a-1=m，所以a=2，m=，此时g(x)=-为减函数，不合题意.若0a2，求函数f(x)的最小值.【解答】(1)由已知得f(-x)=f(x)，即|2x-a|=|2x+a|，解得a=0.(2)f(x)=当xa时，f(x)=x2+2x-a=(x+1)2-(a+1)，由a2，xa，得x1，从而x-1，故f(x)单调递增，f(x)的最小值为f=.当x0知，f(x)的最小值为a-1.变式已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为常数).(1)若a=1，作出函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间1，2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3)设h(x)=，若函数h(x)在区间1，2上是增函数，求实数a的取值范围.(变式)【解答】(1)当a=1时，f(x)=x2-|x|+1=图象如图所示.(2)当x1，2时，f(x)=ax2-x+2a-1.若a=0，则f(x)=-x-1在区间1，2上是减函数，g(a)=f(2)=-3.若a0，则f(x)=a+2a-1，函数f(x)的图象的对称轴是直线x=.当a0时，f(x)在区间1，2上是减函数，g(a)=f(2)=6a-3.当0时，f(x)在区间1，2上是增函数，g(a)=f(1)=3a-2；当12，即a时，g(a)=f=2a-1；当2，即0a时，f(x)在区间1，2上是减函数，g(a)=f(2)=6a-3.综上，g(a)=(3)当x1，2时，h(x)=ax+-1，在区间1，2上任取x1，x2，且x10.因为x2-x10，x1x20，所以ax1x2-(2a-1)0，即ax1x22a-1.当a=0时，上面的不等式恒成立，符合题意.当a0时，x1x2，由1x1x24，得1，解得0a1.当a0时，x1x2，由1x1x24，得4，解得-a0，cr.当且仅当x=-2时，函数f(x)取得最小值-2.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若方程f(x)=x+a(ar)至少有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围.【解答】(1)因为当且仅当x=-2时，函数f(x)取得最小值-2，二次函数y=x2+bx+c的对称轴x=-0)，方程：x2+4x+2=x+a(x0).分别研究方程和方程的根的情况：()方程有且仅有一个实数根a2，方程没有实数根a2.()方程有且仅有两个不相等的实数根，即方程x2+3x+2-a=0有两个不相等的非正实数根，所以解得-a2；方程有且仅有一个实数根，即方程x2+3x+2-a=0有且仅有一个非正实数根，所以2-a2或a=-.综上可知，当方程f(x)=x+a(ar)有三个不相等的实数根时，-a0，a1).(1)若a1，且关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围；(2)设函数g(x)=f(-x)，x-2，+)，g(x)满足如下性质：若存在最大(小)值，则最大(小)值与a无关，试求实数a的取值范围.【思维引导】解方程的关键在于等价转化，如第(1)问转化为方程有两个相异的大于1的根；第(2)问探究函数的最值是否与参数a无关的问题要对参数分类讨论，又要对自变量分域讨论.【解答】(1)令ax=t，x0，因为a1，所以t1，所以“关于x的方程f(x)=m有两个不同的正数解”等价于“关于t的方程t+=m有相异的且均大于1的两根”，即关于t的方程t2-mt+2=0有相异的且均大于1的两根，所以解得2m1时.)当x0时，ax1，g(x)=3ax，所以 g(x)3，+).)当-2x0时，ax，即1a0，所以 g(x)在-2，0)上单调递增，所以g(x)，综合)和)可知函数g(x)有最小值为a2+，与a有关，不符合.b)当，即a时，由g(x)=0得x=-loga2，且当-2x-loga2时，g(x)0；当-loga2x0，所以 g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以g(x)min=g=2，综合)和)可知函数g(x)有最小值为2，与a无关，符合要求.当0a1时.)若当x0时，0ax1，g(x)=3ax，所以g(x)(0，3.)若当-2x0时，1ax，g(x)=a-x+2ax，所以 g(x)=-a-xln a+2axln a=ln a -x+4的解集是.【答案】(4，+)【解析】当x-10时，f(x-1)=-(x-1)2-3(x-1)=-x2-x+2，原不等式转化为-x2-x+2-x+4，即x2+20时，f(x-1)=-f(1-x)=(1-x)2+3(1-x)=x2-5x+4，原不等式化为x2-5x+4-x+4，即x2-4x0，解得x4.综上，不等式的解集是(4，+).2.(2014湖南卷)已知函数f(x)=x2+ex-(x0)，可得a(-，).3.(2014无锡期末)已知函数f(x)=g(x)=asin-a+2(a0)，若存在x1，x20，1，使得f(x1)=g(x2)成立，则实数a的取值范围为.【答案】1，4【解析】对于函数f(x)，当x时，f(x)；当x时，f(x)，从而当x0，1时，函数f(x)的值域为d1=0，1.对于函数g(x)，因为0x1，0x，0sinx，所以2-aasinx-a+22-a，从而当x0，1时，函数g(x)的值域为d2=(a0).因为存在x1，x20，1，使f(x1)=g(x2)，所以d1d2，若d1d2=，则2-a1，解得0a4，所以当d1d2时，1a4.故实数a的取值范围是1，4.4.(2014淮阴中学)已知f(x)=a-是定义在(0，+)上的函数.(1)求证：函数y=f(x)在(0，+)上是增函数；(2)若函数y=f(x)在m，n上的值域是m，n(mn)，求实数a的取值范围；(3)若不等式x2|f(x)|1对x恒成立，试求实数a的取值范围.【解答】(1)设x1，x2(0，+)，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=-=2.所以a的取值范围是(2，+).(3)分离参数原不等式可化为-a+，令t=，则t2，3，t-t2at+t2，进而可求得-2a6.故实数a的取值范围是-2，6.【融会贯通】融会贯通能力提升对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x-4a，ar，试判断f(x)是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2)若f(x)=2x+m是定义在区间-1，1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；(3)若f(x)=4x-m2x+1+m2-3为定义在r上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围.【思维引导】【规范解答】f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)+f(-x)=0有解.1分(1)当f(x)=ax2+2x-4a(ar)时，方程f(x)+f(-x)=0，即2a(x2-4)=0有解，x=2，所以f(x)为“局部奇函数”.3分(2)当f(x)=2x+m时，f(x)+f(-x)=0可化为2x+2-x+2m=0，因为f(x)的定义域为-1，1，所以方程2x+2-x+2m=0在-1，1上有解. 5分令t=2x，则-2m=t+.设g(t)=t+，则g(t)=1-=，6分当t(0，1)时，g(t)0，故g(t)在(1，+)上为增函数， 8分所以t时，g(t)，所以-2m，即m.10分(3)当f(x)=4x-m2x+1+m2-3时，f(x)+f(-x)=0可化为4x+4-x-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.11分令t=2x+2-x2，+)，则4x+4-x=t2-2，从而t2-2mt+2m2-8=0在2，+)上有解即可保证f(x)为“局部奇函数”.令f(t)=t2-2mt+2m2-8.当f(2)0时，t2-2mt+2m2-8=0在2，+)上有解.由f(2)0，即2m2-4m-40，解得1-m1+.13分当f(2)0时，t2-2mt+2m2-8=0在2，+)上有解等价于解得1+f(-)0，那么方程f(x)=0的根的个数为.二、 解答题9.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.一个月(以30天计算)有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问：应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大? 并求每月最大利润.10.(2014安庆模拟)已知函数f(x)=(a0)是奇函数，且函数f(x)的图象经过点(1，3)，求实数a，b的值.11.(2014南京模拟)已知函数f(x)=x2-2ax+5(a1).(1)若f(x)的定义域和值域均是1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(-，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a+1，总有|f(x1)-f(x2)|4，求实数a的取值范围.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015北京卷)设函数f(x)= (1)若a=1，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围.【检测与评估答案】第15课函数的综合应用1.【解析】由题意知f=f=f=f=+1=.2.-1【解析】由题意可得f(-1)=f(1)，即log3(3-1+1)-a=log3(3+1)+a，解得a=-1. 3.log23【解析】考虑换元t=2x. 4.(-，1【解析】因为f(x)=所以f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数，且是增函数，所以不等式变形为2f(a)2f(1)，即f(a)f(1)，所以a的取值范围是(-，1.5.-1【解析】由题意知函数g(x)的图象与x轴的交点坐标为(a，0)，又因为点(a，0)也在函数f(x)的图象上，所以a3+a2=0，而a0，所以a=-1.6.(-，-2)【解析】函数f(x)=lo(x2-4)的定义域为(-，-2)(2，+)，由于外层函数为减函数，及复合函数的单调性可知，只需求u(x)=x2-4(x2)的单调减区间，所以f(x)=lo(x2-4)的单调增区间为(-，-2).7.(-，2)【解析】当x1时，f(x)=lox0；当x0，故有f()0，由零点存在定理知，存在c，使得f(c)=0，即函数f(x)在(0，+)上有唯一零点，由奇函数图象的特点知，函数f(x)在(-，0)上也有一个零点，故方程f(x)=0的根的个数为2.9.设每天从报社买进x份(250x400).数量(份)价格(元)金额(元)买进30x0.206x卖出20x+102500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200则每月所获利润y=(6x+750)+(0.8x-200)-6x=0.8x+550(250x400).y在250，400上是一次函数，所以当x=400时，y取得最大值870.所以从报社买进400份才能使每月所获得的利润最大，每月最大利润为870元.10.因为函数f(x)=是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即=-，因为a0，所以-x+b=-x-b，所以b=0.又函数f(x)的图象经过点(1，3)，所以f(1)=3，即=3，因为b=0，所以a=2.11.(1) 因为f(x)=(x-a)2+5-a2(a1)，所以f(x)在1，a上是减函数，又定义域和值域均为1，a，所以即解得a=2.(2) 因为f(x)在区间(-，2上是减函数，所以a2，又x=a1，a+1，且(a+1)-aa-1，所以f(x)max=f(1)=6-2a，f(x)min=f(a)=5-a2，因为对任意的x1，x21，a+1，总有|f(x1)-f(x2)|4，所以f(x)max-f(x)min4，即(6-2a)-(5-a2)4，解得-1a3，又a2，所以2a3.综上，实数a的取值范围是2，3.12.(1) 当a=1时，f(x)=当x1时，-