（江苏专用）高考数学一轮复习 第六章 数列 6.5 数列通项公式的求法 文.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.5 数列通项公式的求法 文1等差数列的通项公式(1)若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项ana1(n1)d.(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列an中，已知a1，d，am，an (mn)，则d，从而有anam(nm)d.(3)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0，c1)是等比数列an是正项等比数列logcan (c0，c1)是等差数列an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果数列an的通项公式an3n2，则数列an是递增数列()(2)数列an的前n项和为snn21，则其通项公式为ansnsn12n1.()(3)若已知数列an的递推公式为an1，且a21，则可以写出数列an的任何一项()(4)若三个数成等比数列，那么这三个数可以设为，a，aq (a0)()(5)指数函数f(x)2x图象上一系列点的横坐标构成数列xn，对应的纵坐标构成数列yn若数列xn是等差数列，则数列yn是等比数列()(6)数列1,0,1,0,1,0，的通项公式只能是an.()1数列1，的一个通项公式是an_.答案2已知数列an的通项公式为an，若am32，则m_.答案8解析an，am32.m8.3(教材改编)已知数列an的前n项和snn22n1 (nn*)，则an_.答案4数列an是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列bn的连续三项，若该等比数列的首项b13，则bn_.答案3n1解析aa7a15，(a19d)2(a16d)(a114d)，a1d，ana1(n1)dd，q，bn3n1.5数列an的前20项由如图所示的流程图依次输出的a值构成，则数列an的一个通项公式an_(nn*，n20)答案解析由流程图，知a1011，a2a1212，a3a23123，anan1n，即an123(n1)n，题型一利用观察法求通项公式例1写出下列数列的一个通项公式：(1)2，；(2)，2，；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，.解(1)原数列可改写成1，2，3，4，.故其通项公式为ann.(2)这个分数数列中分子、分母的规律都不明显，不妨把分子变成4，然后看分母，从而有，分母正好构成等差数列，从而原数列的通项公式为an.(3)注意到此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1.故它可改写成10,21,30,41,50,61，所以原数列的通项公式为ann.思维升华(1)观察是归纳的前提，合理的转换是完成归纳的关键(2)由数列的前几项归纳出的通项公式不一定唯一如数列5,0，5,0,5，的通项公式可为an1(1)n(1)(nn*)，也可为an5sin (nn*)(3)已知数列的前几项，写出数列的通项公式时，要熟记一些特殊数列，如(1)n，n，2n1，2n，2n1，n2，等，观察所给数列与这些特殊数列的关系，从而写出数列的通项公式(1)1，；(2)，3，3，；(3)1，；(4)3,5,3,5，.解(1)不看符号，数列可看作自然数列的倒数，正负相间隔用(1)的n次幂进行调整，通项公式an(1)n.(2)数列可化为，即，.每个根号内可看作3与2n1的乘积通项公式an.(3)数列的每项可看成两数之差，前一数是自然数的倒数，后一数为，通项公式an.(4)数列中的奇数项为3，偶数项为5.通项公式an此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为4,4加1便是5,4减1便是3，而加1与减1也就是(1)n.因此数列的通项公式还可以写成an(1)n4(1)n.题型二利用递推关系式求an命题点1利用迭加法求an例2已知数列an满足a11，an3n1an1 (n2)求an的通项公式an.解由已知anan13n1，令n分别取2,3,4，n得a2a131，a3a232，a4a333，anan13n1，以上n1个式子相加，得ana131323n1，an.n1时，a11.an.命题点2利用迭乘法求an例3在数列an中，a12，an1an，求数列an的通项公式an.解由a12，an1an，.取n1,2,3，n1得，.把上述各式两边分别相乘，得，ana1，即ann(n1)当n1时，a12适合上式故ann(n1) (nn*)命题点3利用构造法求an例4(2014大纲全国)数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式(1)证明由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)解由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.思维升华(1)如果给出数列an的递推公式为anan1f(n)型时，并且f(n)容易求和，这时可采用迭加法(2)如果数列an的递推公式为f(n)型时，并且f(n)容易求前n项的积，这时可采用迭乘法迭乘的目的是出现分子、分母相抵消的情况(3)若an1cand，可构造等比数列an1xc(anx)，从而求an.若an1，可构造为等差数列，从而求an.(1)数列an中，a12，an1an3n (nn*)，则数列的通项公式为_答案ann2n2解析由题意得anan13(n1)，an1an23(n2)，an2an33(n3)，a3a232，a2a131.把以上各式相加得ana1312(n1).ana12n2n2.(2)在数列an中，已知a14，an15nan，求an.解由题意知5n，所以5，52，53，5n1 (n2)，把上述各式两边分别相乘，得5525n1，an45123n14.又a14适合上式，an4.(3)(2015镇江模拟)在数列an中，已知a11，an12an1，求其通项公式an.解由题意知an112(an1)，又a1120，数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an12n，an2n1.题型三利用an求an例5设sn为数列an的前n项的和，且sn(an1) (nn*)，求数列an的通项公式解sn(an1)，当n1时，s1a1(a11)，解得a13.当n2时，ansnsn1(an1)(an11)，得3，当n2时，数列an是以3为公比的等比数列，且首项a23a19.n2时，an93n23n.显然n1时也成立故数列的通项公式为an3n (nn*)思维升华已知数列的前n项和公式，求数列的通项公式，其方法是ansnsn1(n2)这里常常因为忽略了n2的条件而出错，即由ansnsn1求得an时的n是从2开始的自然数，否则会出现当n1时，sn1s0，而与前n项和定义矛盾可见ansnsn1所确定的an，当n1时的a1与s1相等时，才是通项公式，否则要用分段函数表示为an已知：数列an的前n项和为sn，满足sn2an2n (nn*)(1)求数列an的通项公式an；(2)若数列bn满足bnlog2(an2)，而tn为数列的前n项和，求tn.解(1)当nn*时，sn2an2n，则当n2，nn*时，sn12an12(n1)，得an2an2an12，即an2an12，an22(an12)，2.当n1时，s12a12，则a12，当n2时，a26，an2是以a12为首项，以2为公比的等比数列an242n1，an2n12.(2)由bnlog2(an2)log22n1n1，得，则tn，tn，得tn，tn.13用函数的思想解决数列问题典例(14分)数列an的通项公式是ann2kn4.(1)若k5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)若对于任意nn*，都有an1an，求实数k的取值范围思维点拨(1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)n2kn4.f(n)在n*上单调递增，可利用二次函数的对称轴研究单调性，但应注意数列通项中n的取值规范解答解(1)由n25n40，解得1nan知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nn*，所以3.14分温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集n*上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取(3)易错分析：本题易错答案为k2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数方法与技巧1若递推关系为an1anf(n)或an1f(n)an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，累加即利用恒等式bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)，通过求和求通项；累乘是利用恒等式ana1求通项2数列与函数、an与sn的关系(1)数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性(2)an失误与防范1数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列anf(n)和函数yf(x)的单调性是不同的2数列的通项公式不一定唯一3在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成ansnsn1的形式，但它只适用于n2的情形a组专项基础训练(时间：45分钟)1设数列，2，则2是这个数列的第_项答案7解析数列可变为，故通项公式an.令2，得n7.2设函数f(x)满足f(n1) (nn*)，且f(1)2，则f(20)_.答案97解析由f(n1)知，f(n1)f(n)，f(2)f(1)1，f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(n)f(n1)(n1) (n2)以上各式相加得f(n)f(1)12(n1) (n2)，f(n)2 (n2)，f(20)297.3如果数列an的前n项和sn2an1，则此数列的通项公式an_.答案2n1解析当n1时，s12a11，a12a11，a11.当n2时，ansnsn1(2an1)(2an11)，an2an1，an是等比数列，经检验n1也符合an2n1，nn*.4已知数列an，bn满足a1b13，an1an3，nn*，若数列cn满足cnban，则c2 015_.答案272 015解析由已知条件知an是首项为3，公差为3的等差数列，数列bn是首项为3，公比为3的等比数列，an3n，bn3n，又cnban33n，c2 015332 015272 015.5已知每项均大于零的数列an中，首项a11且前n项和sn满足snsn12 (nn*且n2)，则a81_.答案640解析由已知snsn12可得，2，是以1为首项，2为公差的等差数列，故2n1，sn(2n1)2，a81s81s8016121592640.6若a11，an1，则an的通项公式an_.答案解析由已知3，3，13(n1)3n2，an.7数列an的各项都为正数，且满足sn (nn*)，求数列的通项公式an.解方法一(消sn)：由sn (nn*)，得4an14(sn1sn)(an11)2(an1)2，化简得(an1an)(an1an2)0，因为an0，所以an1an2，又4s14a1(a11)2，得a11，故an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an2n1.方法二(消an)：由上可知2an1，所以2snsn11 (n2)，化简可得(1)2sn1，(1)(1)0，又s11，an的各项都为正数，所以1.所以n，从而snn2，所以ansnsn12n1 (n2)，a11也适合，故an2n1.8设数列an满足a12，an1an322n1.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnnan，求数列bn的前n项和sn.解(1)由已知，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.(2)由bnnann22n1知sn12223325n22n1，从而22sn123225327n22n1.得(122)sn2232522n1n22n1，即sn(3n1)22n129在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn.证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和sn.(1)证明an12an2n，又bn，bn，bn1bn，bn1bn1，bn是等差数列(2)解bnb1n1n.ann2n1.sn1221322n2n1，两边乘以2得：2sn121222(n1)2n1n2n，两式相减得：sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，sn(n1)2n1.b组专项能力提升(时间：30分钟)10设数列an满足a10且1.(1)求an的通项公式；(2)设bn，记snb1b2bn，证明sn1.(1)解由题设1知，是公差为1的等差数列，又1，故n，an1.(2)证明由(1)得bn，sn112 (nn*)恒成立，求实数的取值范围(1)证明由3anan1anan10 (n2)，得3 (n2)，数列是以1为首项，3为公差的等差数列(2)解由(1)可得，13(n1)3n2.an.(3)解an对任意n2 (nn*)恒成立，即3n1对任意n2 (nn*)恒成立整理得 (