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得 分中国农业大学第1学期高等数学（A，B）期末考试试题一.填空题（每小题3分，共15分）1 设，则.2 .3 .4 上半球面和锥面所围成的立体在面上的投影为_.5 .得 分二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设在上，则或几个数的大小顺序为（ ）.(A). ; (B);(C); (D).2. ( ).(A).单调减少,曲线是凹的; (B). 单调减少,曲线是凸的; (C). 单调增加,曲线是凹的; (D).单调增加,曲线是凸的. 3.设在处可导，则等于（ ）.(A). ; (B).;(C).; (D).4.已知向量的模分别为，且，则( ). (A) . ; (B). ;(C). ; (D). 2 .5. 下列正确的是( ).(A) . = 2 ; (B). = - 2 ;(C). 不存在; (D). = 0 .三.解答下列各题（每小题6分，共36分）1. 求.2求通过点和且与平面垂直的平面方程.3计算.4设 ，求 .5设函数连续，且，存在， ，求.6已知的一个原函数为，求四（0分）证明：当时，有成立五（0分） 计算抛物线与直线所围成的图形的面积，以及此图形绕轴旋转而成的旋转体的体积.六（8分）当为何值时,函数有极值? 是极大值还是极小值?七.(6分) 设函数在上具有二阶导数，且，在内取得最大值，证明：中国农业大学2004-2005学年第1学期高等数学(A,B)期末考试试题 （2005/1/13）一.填空题（每小题3分，共15分）1 设，则2 .3 .（） 4 上半球面和锥面所围成的立体在面上的投影为_. 5 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设在上，则或几个数的大小顺序为（ B ）.(A). ; (B);(C); (D).2. ( D ).(A).单调减少,曲线是凹的; (B). 单调减少,曲线是凸的; (C). 单调增加,曲线是凹的; (D).单调增加,曲线是凸的. 3.设在处可导，则等于（ B）.(A). ; (B).;(C).; (D).4.已知向量的模分别为，且，则( C ). (A) . ; (B). ;(C). ; (D). 2 .5. 下列正确的是( C ).(A) . = 2 ; (B). = - 2 ;(C). 不存在; (D). = 0 .三.解答下列各题（每小题6分，共36分）1. 求.解 = =（L法则）（L法则）2求通过点和且与平面垂直的平面方程.解 设为所求平面上任一点, , 则,与已知平面的法向量三向量共面, 故 即. 3计算.解 由于，在上，；在上，所以 4设 ，求 .解 对求导得， = = 5.函数连续，且，存在， 求.解 令，则 = 于是，= 6已知的一个原函数为，求.解 由已知得， 由分部积分得，= =四（0分）证明：当时，有成立证 令 则，从而，当时，即是单调增加的于是即 是单调增加的. 这样有,即所以,不等式成立. 五（0分） 计算抛物线与直线所围成的图形的面积，以及此图形绕轴旋转而成的旋转体的体积.解 如图所示,解方程组:得交点和，从而知道这图形在直线及之间， 选取纵坐标为积分变量， . 得所求的面积为. =。六（8分）当为何值时,函数有极值? 是极大值还是极小值?解 , 令 得,而, 故, 为极大值, 为极小值。七. (6分) 设函数在上具有二阶导数，且，在内取得最大值，证明：证 设且在点达到最大,于是有 从而又由Largrange中值定理得，（）则. 2005-2006（一）高等数学期末考试试题A卷参考答案 2006/01/11一 填空题（本题共有5道小题，每小题3分，满分15分。）1是函数 的第 类间断点。2函数在区间上单调增加。3函数的微分。4。5曲线的拐点为。答案：1 一; 2; ; ; 二 选择题（本题共有5道小题，每小题3分，满分15分。）1。（A） ; （B） ; （C） ; （D）2. 若函数在点不连续，则在。（A）必定可导; （B） 必不可导; （C）不一定可导; （D）必无定义3若，则。（A） ; （B） ; （C） ; （D）4下列积分中，值等于零的是。（A）; （B） ; （C）; （D）5反常积分。（A） ; （B） ; （C） ; （D）发散答案：（A）; 2. （B）; （D）; （D）; （C）三 求极限（本题共有道小题，每小题6分，满分12分。） 求；解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。分子可写成它是以为上限的积分，作为的函数可看成是以为中间变量的复合函数，故有.因此 。解 原式. 四 求导数（本题共有道小题，每小题6分，满分12分。） 设，求的导数。解 . 设函数由方程组所确定，求解 方程组两边对求导得 五 计算下列积分（本题共有道小题，每小题6分，满分12分。）； 解 原式 。解 原式 . 六 （本题满分1分）证明不等式证 设，则在（或）上连续，在（或）内可导， 由拉格朗日中值定理，存在介于与之间，使得， 即 ； 又，则. 七 （本题满分1分）设定义在上，为上任意一点. 问当为何值时，图中两阴影部分(如图)的面积与之和具有最小值？ 解 由图可知 . 因为函数在上连续,且，令，.又由于 ,.因此在上为最小值。所以当时，具有最小值. 八 （本题满分8分）设在上有二阶连续导数，则。证 . 九 （本题满分6分）设在上连续，在内可导，且，试证至少存在一点，使得. 证 令 ，显然，在上连续，在内可导， 又 ，由零点定理可知，存在一个，使. 又 ，对在上用罗尔定理，存在一个，使，即，. 高等数学（AB）期末试题2006-2007-1（A卷解答）一、填空题（满分15分，每小题3分）1. 2. 设，则是第 一 类间断点.3. 已知，则.4. 设（k是常数），则k=5. 已知其中连续，则=.二、选择题（满分15分，每小题3分）1. 当x 0时，若，则当x 0时( D ). (A) ； (B) ；(C) ； (D) 不能判定两个函数的大小.2. 设, 则当时, 有( B ).(A) 与x是等价无穷小； (B) 与x同阶但非等价无穷小；(C) 是比x高阶的无穷小； (D) 是比x低阶的无穷小.3. 设为单位向量, 且满足, 则=( C ). (A) ； （B） 0； （C） ； (D) 1 .4. 函数在有限区间上连续,为在上的一个原函数,则（B）.(A) ； (B) ；(C) ； (D) .5. 是可导函数在处有极值的（A）. (A) 必要条件； (B) 充分条件； (C) 充要条件； (D) 非充分又非必要条件.三、计算下列各题（满分30分，每小题5分）1.解：2.解：3.设, .解：， . 4. 设，求.解： ， . 5. 已知的一个原函数是，求.解： . 6. 计算.解： . 四、（8分）证明当时，证 令. ， . .五、（8分）证明.证 令 . . 六、（8分）求过点(1,1,1)且垂直于两平面和的平面方程.解：已知二平