（新课标I）江西省高考数学研讨会 解析几何1.doc

高考数学总复习解析几何专题研讨一知识梳理（一）方程性质 1.直线：或，（不全为0）. 2.圆：，. 3.椭圆：，或， . 4.双曲线：，渐近线方程为，或，渐近线方程为. 5.抛物线；.焦点到准线的距离为，.（二）位置关系 1.直线与直线：（1）平行：或； （2）垂直：或； （3）相交：. 2.直线与圆：（1）相离； （2）相切； （3）相交. 3.圆与圆：外离，外切，相交，内切，内含. 4.直线与圆锥曲线（设而不求）：联立直线与圆锥曲线方程，利用判别式与韦达定理. （1）过定点的直线：； . 特别地，若定点在轴上，则讨论与； 若定点在轴上，则讨论与. （2）无限制：， . （3）给定斜率：. 5.中点弦问题（坐标与参数思想）： 已知点是椭圆的弦的中点， 设，则， 两式作差，得， . 6.直线与双曲线相交 设直线与相交于， 联立，消去得，. 7.抛物线的焦点弦问题 ，则， ， ， 设，代入，得 ， 二题型攻略（一）选填题（2010全国卷理科）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 .解：设椭圆方程为，由得. .代入椭圆方程，得，解得解法2：设椭圆的准线与轴的交点为，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，令，则，由第二定义，得，令，则，解得解法3：以左焦点为极点，如图建立极坐标系，则， ， ， 又，解得（2013附中校本五）设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，则与的面积之比为（ ）a b c d解：由题知,又（不妨取b为第四象限的点）由三点共线有，即，选c另解：设直线方程为，代入，得，又， （2013附中校本六）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ ）abcd解：如图，设，则，.，.4.（2014湖北理科）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）a b c3 d2解1：， .解2：， .解3：设，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，椭圆、双曲线的离心率分别为则由椭圆、双曲线的定义，得，平方得，又由余弦定理得，消去，得，即由柯西不等式得，（2014年浙江理科）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是 .解：双曲线的渐近线为，直线与双曲线的交点为，设的中点为d，则，由得，即，即， ， 另解：设中点，又，联立解得，即又双曲线渐近线方程为，由点差法得.将代入，化简得.已知是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（ ）a b c2 d3解：设点关于渐近线的对称点为，直线与渐近线的交点为，则， ， ， （2013年全国新课标理科）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ） a b c d解：设，则， 两式作差，得，. ，即. 又， 1.求方程、基本量、弦长、面积（2014安徽文科）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，.()若的周长为16，求；()若，求椭圆的离心率.解：（）周长为16, ，又且， ， .（）令，在中，即， 或（舍），在中，得，故，在中，即，.（2014江苏理科）如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连结.（）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；（）若，求椭圆离心率的值.解：设椭圆的焦距为，则()，= =，又 = ， = 点c在椭圆上，解得= 1所求椭圆的方程为()因为，在直线上，直线的方程为解方程组得 点的坐标为又垂直于轴，由椭圆的对称性，可得点的坐标为，且，又， 2.最值、范围问题（2014年新课标卷理科）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点. （）求的方程； （）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.解：（）设，由条件知，得，又，. 的方程.（）依题意当轴不合题意，设直线，设，将代入，得，当，即时，又点到直线的距离， 的面积设，则，当且仅当，时等号成立，且满足.当的面积最大时，的方程为：或.obapxy(2009年陕西理科)已知双曲线c的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为（）求双曲线的方程； （）如图，是双曲线上一点，两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围解：（）双曲线的顶点到渐近线的距离为，即由，得双曲线的方程为（）由（）知双曲线的两条渐近线方程为设，由得点的坐标为，将点坐标代入，化简得设，又，记，则由得，又，当时，的面积取得最小值2，当时，的面积取得最大值的面积的取值范围是解法二：（）设直线的方程为，由题意知，由得点的坐标为，由得点的坐标为由得点的坐标为，将点坐标代入得设为直线与轴的交点，则点的坐标为 3.定点定值问题(2009 辽宁理科)已知椭圆经过点，两个焦点为 （）求椭圆的方程； （）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值解：（）由题意，可设椭圆方程为在椭圆上，解得（舍去） 椭圆的方程为（）设直线方程为：，代入得设因为点在椭圆上，所以又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得直线的斜率即直线的斜率为定值，其值为 4.定直线问题 （2014年广州市一模文科）已知双曲线：的中心为原点，左，右焦点分别为，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足（）求实数的值；（）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同两点，在线段上取异于点，的点，满足，证明点恒在一条定直线上解：（）设双曲线的半焦距为，由题意可得解得 （）证明：由（）可知，直线，点设点,， ， 点在双曲线上， ，即直线与直线的斜率之积是定值（）证法1：设点，且过点的直线与双曲线的右支交于不同两点，由（）知，设，则即 由，得将，代入，得 将代入，得 点恒在定直线上证法2：依题意，直线的斜率存在设直线的方程为，联立得直线与双曲线的右支交于不同两点，则设点，由，得整理得整理得 点在直线上， 联立得点恒在定直线上 5.存在性问题(2009 全国ii理)已知椭圆（）的离心率为，过右焦点的直线与相交于两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为（）求的值；（）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的的坐标与的方程；若不存在，说明理由解：（）设，当的斜率为1时，其方程为，到的距离为，故由，得（）上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立由（）知的方程为设（）当不垂直于轴时,设的方程为.上的点使成立的充要条件是点的坐标为，且，整理得又、在上，即故将代入，并化简得，于是，代入解得此时于是，即因此，当时，的方程为；当时，的方程为（）当垂直于轴时，由知，上不存在点使成立综上，上存在点使成立，此时的方程为(2009年山东理科)设椭圆：，过两点，为坐标原点， （）求椭圆的方程； （）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由解：（）将的坐标代入椭圆的方程得解得 椭圆的方程为（）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为，其中设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点，当直线的斜率存在时，令直线的方程为， 将其代入椭圆的方程并整理得由韦达定理得， ，将代入并整理得联立得=直线和圆相切， 由得， 存在圆满足题意当切线的斜率不存在时，易得=，由椭圆的方程得=，显然，综上所述，存在圆满足题意解法一：当切线的斜率存在时，由得令，则1， ，12，即当切线的斜率不存在时，易得=， 综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且解法二：过原点作，垂足为，则为切点，设，oxyabd则为锐角，且， ，2， ，令，易证：当时，单调递减，当时，单调递增 6.交汇性问题（2010年新课标卷理科）设，分别是椭圆e：+=1（）的左、右焦点，过斜率为1的直线与e相交于a、b两点，且，成等差数列 （）求的离心率； （）设点满足，求的方程 解：（）由椭圆定义知， 又，得l的方程为，其中设，则a，b 两点坐标满足方程组化简得 则 直线ab斜率为1，即 ， 的离心率（）设的中点为，由（i）知，由得即，得，椭圆的方程为（2011年新课标卷理科）在平面直角坐标系中,已知点，点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线. （i）求的方程； （ii）为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值解：（）设，由已知得.，.再由题意可知，（+）=0， 即,曲线的方程为.()设为曲线：上一点，的斜率为.直线的方程为，即则点到的距离. 又，当=0时取等号，点到距离的最小值为2. （2012年新课标卷理科）设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于，两点. （）若，的面积为，求的值及圆的方程； （）若，三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值.解：（）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边， 点到准线的距离， ， 圆的方程为. （）由对称性设，则，点关于点对称得：.即，直线.切点.直线.坐标原点到距离的比值为.（2013年新课标卷理科）已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线. （）求的方程；（）是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求. 解：由已知得圆的圆心为,半径；圆的圆心为,半径. 设动圆的圆心为，半径为.（）圆与圆外切且与圆内切，=4，由椭圆的定义可知，曲线是以为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.（）对于曲线上任意一点，由于=，,当且仅当圆的圆心为时，. 当圆的半径最长时，其方程为，当的倾斜角为时，则与轴重合，可得.当的倾斜角不为时，由知不平行轴，设与轴的交点为，则=，可求得， 设：，由与圆相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=，=.当=时，由图形的对称性可知=. 综上，=或=.（2014年福建理科）已知双曲线的两条渐近线分别为. （）求双曲线的离心率；（）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一、四象限），且的面积恒为，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由. 解法一：（）双曲线的渐近线分别为，即， . .（）由（）知，双曲线的方程为，设直线与轴交于点.当直线轴时，直线与双曲线有且只有一个公共点，则，又， ，代入解得.此时双曲线的方程为.若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为.下证：当直线不与轴垂直时，双曲线也满足条件.设直线的方程为，依题意得或，则，记. 由，得，同理得. 由得：，即，得， ， 又， ，即直线与双曲线有且只有一个公共点.存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线解法二：（）由（）知，双曲线的方程为，设直线的方程为,记. 依题意得由，得，同理得. 设直线与轴交于点，则.由得：即.，得.，直线与双曲线有且只有一个公共点当且仅当.即，即.即， .得双曲线的方程为:.存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线.解法三：（）当直线不与轴垂直时，设直线的方程为，记.依题意得. 由，得. . 又的面积为，又易知,，化简后得 即.由（）得双曲线的方程为. 由，得直线与双曲线有且仅有一个公共点当且仅当.即，双曲线的方程为.当轴时，由可得 ，又易知与双曲线有且只有一个公共点，此时双曲线的方程也是.综上所述，存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，且的方程是（2014年北京理科）已知椭圆.（）求椭圆的离心率e；（）设o为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.解：（）由题意,椭圆的标准方程为. . 椭圆的离心率.()直线与圆相切.证明如下： 设点的坐标分别为其中., 即, .当时,代入椭圆的方程,得.直线的方程为. 圆心到直线的距离.此时直线与圆相切. 当时,直线的方程为即圆心到直线的距离 又. 此时直线与圆相切.另解：直线ab与圆x2y22相切证明如下：设点a，b的坐标分别为(x0，y0)，(t，2)，其中x00.oaob， ，即，解得.， ，直线ab与圆相切或：由题意知直线斜率必定存在，设直线斜率为，则设点坐标为，其中则直线方程为，点的坐标为， ，设点到直线的距离为，,点在椭圆上，可得，即，所以直线与圆相切.（2014年安徽理科）如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线，与分别交于两点，与分别交于两点.()证明：；()过作直线（异于）与，分别交于两点，记与的面积分别为，求的值. 解：()证：设直线的方程分别为，()，则由得， 由得.同理可得，.，.， .()由()知，同理可得，. 又由()， ， .（2014年广东理科）已知椭圆：的一个焦点坐标为，离心率为.（）求椭圆的方程；（）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.解：（）由题可知，又，3，4，椭圆的标准方程为1.（）设两切线为， 当轴或轴时，对应轴或轴，可知； 当与轴不垂直且不平行时，3，设的斜率为，则0，的斜率为，的方程为，联立1，得 直线与椭圆相切， 即 0， ， 是方程0的一个根， 同理是方程0的另一个根， ， 13，其中3， 点的轨迹方程为13 又满足上式，综上，点的轨迹方程为13.（2014年山东理科）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点， （）证明直线过定点，并求出定点坐标； （）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.解：()由题意知. 设，则的中点为.因为，由抛物线的定义知，解得或(舍去) 由，解得，所以抛物线的方程为.(2)证明：由(1)知设，因为，则，由得，故故直线的斜率.因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得.设)，则，.当时，可得直线的方程为，由，整理可得，直线恒过点当时，直线的方程为，过点直线恒过点由知，直线恒过点，所以.设直线的方程为，点在直线上，.设)直线ab的方程为，由，得.代入抛物线方程得，所以，可求得，. 点b到直线ae的距离为，则的面积，当且仅当，即时，等号成立所以的面积的最小值为.（2014年天津理科）设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.解：（）设椭圆的右焦点为，由，可得，化为又， （）由（）可得 椭圆方程为设，由，可得, , ,点在椭圆上， 联立，化为， ，代入，可得 .设圆心为，则，.，圆的半径.设直线的斜率为，则直线的方程为：.直线与圆相切， ，整理得，解得 直线的斜率为（2014年湖南理科）如图，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为，离心率为已知且（）求的方程；（）过作的不垂直于轴的弦，为的中点当直线与交于两点时，求四边形面积的最小值解：（1）， ，即， ， ， ，的方程分别为，.（2）不垂直于轴，且过点， 可设直线的方程为 由得， ，设， 则是上述方程的两个实根，.， 的中点为， 直线的斜率为，的方程为，即代入得， ，且， 设点到直线的距离为，则点到直线的距离也为， ，点在直线的异侧， ， ， 又， 四边形的面积 而， 当时，取得最小值2 综上所述，四边形在面积的最小值为2（2014年陕西理科）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为（）求的值；（）过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程解：（）在，的方程中，令，可得，且，是上半椭圆的左右顶点设的半焦距为，由及得，（）解法一 由知，上半椭圆的方程为（）易知，直线与轴不重合也不垂直，设其方程为（），代入的方程，整理得 （*）设点的坐标为，直线过点，是方程（*）的一个跟由求根公式，得，从而，点的坐标为同理，由，得点的坐标为，即，解得经检验，符合题意故直线的方程为解法二 若设直线的方程为（），比照解法一给分(2009年湖南理科)在平面直角坐标系中，点到点的距离的4倍与它到直线的距离的3倍之和记为当点运动时，恒等于点的横坐标与18之和 （）求点的轨迹； （）设过点的直线与轨迹相交于两点，求线段长度的最大值解：（）设点p的坐标为（x，y），则由题设，即 当时，由得， 化简得当时 由得， 化简得 yfoxyfonmeab图1图2故点的轨迹是由椭圆在直线的右侧部分与抛物线在直线的左侧部分（包括它与直线的交点）所组成的曲线，参见图1（）如图2所示，易知直线与，的交点都是，直线的斜率分别为=，=当点在上时，由知 当点在上时，由知 若直线的斜率存在，则直线的方程为（i）当，或，即，或时，直线与轨迹的两个交点（，），都在上，此时由知，（）+ （）=(+)由 得则，是这个方程的两根，所以+=，(+)=因为当所以当且仅当时，等号成立（ii）当，即时，直线与轨迹的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则知， 设直线与椭圆的另一交点为e ， 所以而点都在上，且 ，有（i）知若直线的斜率不存在，则=3，此时综上所述，线段长度的最大值为三思路探究 参数控制论：引参、消参四考向预测 （一）考查要求 （二）历年考向 2010（20）：椭圆：等差数列、椭圆定义、弦长公式求离心率、等腰三角形三线合一； 2011（20）：抛物线：向量共线与数量积的坐标运算，曲线在某点处的切线，点线距； 2012（20）：抛物线与圆的综合，抛物线的定义，直线与抛物线只有一个公共点关联切线； 2013（20）：圆与圆内切和外切，椭圆的定义及方程，直线与椭圆的相交求弦长； 2014（20）：椭圆：求方程，三角形面积最大时求直线方程.2010年新课标卷（20）（本小题满分12分） 设，分别是椭圆e：+=1（）的左、右焦点，过斜率为1的直线与e相交于a、b两点，且，成等差数列 （）求的离心率； （）设点满足，求的方程解：（）由椭圆定义知，又，得l的方程为，其中设，则a，b 两点坐标满足方程组化简得 则 即 ， 的离心率（）设的中点为，由（i）知，由得即，得， ，椭圆的方程为 2011年新课标卷（20）（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中,已知点，点在直线上，点满足，点的轨迹为曲线. （i）求的方程； （ii）为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值解：（）设，由已