（新课标）高考数学大一轮复习 第七章 立体几何单元质量检测 理.DOC

【红对勾】（新课标）2016高考数学大一轮复习 第七章 立体几何单元质量检测 理时间：90分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共40分)1以下关于几何体的三视图的叙述中，正确的是()a球的三视图总是三个全等的圆b正方体的三视图总是三个全等的正方形c水平放置的各面均为正三角形的四面体的三视图都是正三角形d水平放置的圆台的俯视图是一个圆解析：画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆答案：a2用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为()a. b.c8 d.解析：s圆r2r1，而截面圆圆心与球心的距离d1，所以球的半径为r.所以vr3，故选b.答案：b3设、是三个互不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()a若，则b若m，n，则mnc若，m，则md若，m，m，则m解析：对于a，若，可以平行，也可以相交，a错；对于b，若m，n，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，b错；对于c，若，m，则m可以在平面内，c错；易知d正确答案：d4一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a7 b.c. d.解析：依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为232111.答案：d5已知直四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd为正方形，aa12ab，e为aa1的中点，则异面直线be与cd1所成角的余弦值为()a.b.c.d.解析：如图，以d为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系设aa12ab2，则b(1,1,0)，e(1,0,1)，c(0,1,0)，d1(0,0,2)，(0，1,1)，(0，1,2)，cos，.答案：c6如图所示，正四棱锥pabcd的底面积为3，体积为，e为侧棱pc的中点，则pa与be所成的角为()a. b.c. d.解析：连接ac，bd交于点o，连接oe，易得oepa，所以所求角为beo.由所给条件易得ob，oepa，be.所以cosoeb，所以oeb60，选c.答案：c7如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中给出下列三个命题：点m到ab的距离为；三棱锥cdne的体积是；ab与ef所成的角是其中正确命题的个数是()a0 b1c2 d3解析：依题意可作出正方体的直观图如图，显然m到ab的距离为mc，正确；而vcdne111，正确；ab与ef所成的角等于ab与mc所成的角，即为，正确答案：d8正abc与正bcd所在平面垂直，则二面角abdc的正弦值为()a.b. c.d.解析：取bc中点o，连接ao，do.建立如图所示坐标系，设bc1，则a，b，d.，.由于为平面bcd的一个法向量，可进一步求出平面abd的一个法向量n(1，1)，cosn，sinn，.答案：c9正三棱柱abca1b1c1的棱长都为2，e，f，g为ab，aa1，a1c1的中点，则b1f与平面gef所成角的正弦值为()a. b.c. d.解析：如图，取ab的中点e，建立如图所示空间直角坐标系exyz.则e(0,0,0)，f(1,0,1)，b1(1,0,2)，a1(1,0,2)，c1(0，2)，g.(2,0，1)，(1,0,1)，.设平面gef的一个法向量为n(x，y，z)，由得令x1，则n(1，1)，设b1f与平面gef所成角为，则sin|cosn，|.答案：a10如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab1、bc1的中点，则下列结论不成立的是()aef与bb1垂直bef与bd垂直cef与cd异面def与a1c1异面解析：连接b1c，ac，则b1c交bc1于f，且f为b1c的中点，又e为ab1的中点，所以ef綊ac，而b1b平面abcd，所以b1bac，所以b1bef，a正确；又acbd，所以efbd，b正确；显然ef与cd异面，c正确；由ef綊ac，aca1c1，得efa1c1，故不成立的选项为d.答案：d二、填空题(每小题4分，共16分)11已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是底边长为4，高为2的等腰三角形，棱锥的高为2，故体积为v422.答案：12已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为_解析：将该三棱锥放入正方体内，若球与三棱锥各棱均相切等价于球与正方体各面均相切，所以2r，r，则球的表面积为s4r242.答案：213三棱锥sabc中，sbasca90，abc是斜边aba的等腰直角三角形，则以下结论中：异面直线sb与ac所成的角为90；直线sb平面abc；平面sbc平面sac；点c到平面sab的距离是a.其中正确结论的序号是_解析：由题意知ac平面sbc，故acsb，sb平面abc，平面sbc平面sac，正确；取ab的中点e，连接ce，(如图)可证得ce平面sab，故ce的长度即为c到平面sab的距离a，正确答案：14如图，在矩形abcd中，ab3，bc1，efbc且ae2eb，g为bc的中点，k为af的中点沿ef将矩形折成120的二面角aefb，此时kg的长为_解析：如图，过k作kmef，垂足m为ef的中点，则向量与的夹角为120，60.又，222211211cos603.|.答案：三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)15(10分)一个几何体是由圆柱add1a1和三棱锥eabc组合而成，点a，b，c在圆o的圆周上，其正(主)视图，侧(左)视图的面积分别为10和12，如图所示，其中ea平面abc，abac，abac，ae2.(1)求证：acbd.(2)求三棱锥ebcd的体积解：(1)因为ea平面abc，ac平面abc，所以eaac，即edac.又因为acab，abeda，所以ac平面ebd.因为bd平面ebd，所以acbd.(2)因为点a，b，c在圆o的圆周上，且abac，所以bc为圆o的直径设圆o的半径为r，圆柱高为h，根据正(主)视图，侧(左)视图的面积可得，解得所以bc4，abac2.以下给出求三棱锥ebcd体积的两种方法：方法1：由(1)知，ac平面ebd，所以vebcdvcebdsebdca，因为ea平面abc，ab平面abc，所以eaab，即edab.其中edeada224，因为abac，abac2，所以sebdedab424，所以sebcd42.方法2：因为ea平面abc，所以vebcdveabcvdabcsabceasabcdasabced.其中edeada224，因为abac，abac2，所以sabcacab224，所以vebcd44.16(10分)如图，abad，bad90，m，n，g分别是bd，bc，ab的中点，将等边bcd沿bd折叠成bcd的位置，使得adcb.(1)求证：平面gnm平面adc.(2)求证：ca平面abd.证明：(1)因为m，n分别是bd，bc的中点，所以mndc.因为mn平面adc，dc平面adc，所以mn平面adc.同理ng平面adc.又因为mnngn，所以平面gnm平面adc.(2)因为bad90，所以adab.又因为adcb，且abcbb，所以ad平面cab.因为ca平面cab，所以adca.因为bcd是等边三角形，abad，不妨设ab1，则bccdbd，可得ca1.由勾股定理的逆定理，可得abca.因为abada，所以ca平面abd.17(12分)如图，直角梯形abcd与等腰直角三角形abe所在的平面互相垂直，abcd，abbc，ab2cd2bc，eaeb.(1)求证：abde；(2)求直线ec与平面abe所成角的正弦值；(3)线段ea上是否存在点f，使ec平面fbd？若存在，求出；若不存在，请说明理由解：(1)证明：取ab的中点o，连接eo，do.因为ebea，所以eoab.因为四边形abcd为直角梯形ab2cd2bc，abbc，所以四边形obcd为正方形，所以abod.因为eodo0.所以ab平面eod，所以abed.(2)因为平面abe平面abcd，且eoab，所以eo平面abcd，所以eood.由ob，od，oe两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.因为三角形eab为等腰直角三角形，所以oaobodoe，设ob1，所以o(0,0,0)，a(1,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，e(0,0,1)所以(1,1，1)，平面abe的一个法向量为(0,1,0)设直线ec与平面abe所成的角为，所以sin|cos，即直线ec与平面abe所成角的正弦值为.(3)存在点f，且时，有ec平面fbd.证明如下：由，f，所以，(1,1,0)设平面fbd的法向量为v(a，b，c)，则有所以取a1，得v(1,1,2)因为v(1,1，1)(1,1,2)0，且ec平面fbd，所以ec平面fbd，即点f满足时，有ec平面fbd.18(12分)如图，ab为圆o的直径，点e，f在圆o上，abef，矩形abcd所在的平面与圆o所在的平面互相垂直已知ab2，ef1.(1)求证：平面daf平面bcf；(2)求直线ab与平面cbf所成角的大小；(3)当ad的长为何值时，平面dfc与平面fcb所成的锐二面角的大小为60？解：(1)证明：平面abcd平面abef，cbab，平面abcd平面abefab，cb平面abef，af平面abef，afcb，又ab为圆o的直径，afbf，又bfcbb，af平面cbf.af平面adf，平面daf平面cbf.(2)由(1)知af平面cbf，fb为ab在平面cbf内的射影，因此，abf为直线ab与平面cbf所成的角abef，四边形abef为等腰梯形，过点f作fhab，交ab于h.已知ab2，ef1，则ah.在rtafb中，根据射影定理得af2ahab，af1，sinabf，abf30.直线ab与平面cbf所成角的大小为30.(3)设ef中点为g，以o为坐标原点，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角