《空间向量的正交分解及其坐标表示》（人教）.docx

人民教育出版社A版 高二（选修2-1） 畅言教育空间向量的正交分解及其坐标表示 教材分析本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应的关系。 教学目标【知识与能力目标】1、 理解空间向量基本定理及其意义2、 掌握空间向量的正交分解及其坐标表示3、 会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。【过程与方法目标】1、 通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力。2、 体会类比、推广的思想方法，加深对向量的理解。【情感态度价值观目标】通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。 教学重难点【教学重点】理解空间向量基本定理及其意义，掌握用基底表示已知空间向量。【教学难点】理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 课前准备 多媒体课件 教学过程一、复习（课件2-3页）1.平面向量基本定理是什么？如果、同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有唯一的实数对（x，y），使，如图2所示。图1、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。2.平面向量的正交分解及坐标表示？如图2，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、为基底，若有，则把有序数对（x，y）叫做向量的坐标，记作。若将向量的起点移到坐标原点，则其终点坐标就是向量的坐标。图23.根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量、来表示，那么对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？我们设想将这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其坐标表示。二、知识探究（课件4-11页）探究（一）：空间向量基本定理思考1：如图3设、是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，对于空间任意一个向量，能否用两两垂直的向量、来表示向量？图3设点Q为点P在、所确定的平面上的正投影。在、所确定的平面上，由平面向量基本定理可得，存在实数z，使得。而在、所确定的平面上，由平面向量基本定理可得，存在有序实数对（x，y），使得。从而有：。思考2：上述分析表明什么结论？如何用适当的语言阐述？如果、是空间三个两两垂直的向量，那么，对于空间任意一个向量，存在一个有序实数组（x，y，z），使得。称、为向量在、上的分向量，即向量被分解为三个相互垂直的分向量，此即空间向量的正交分解。思考3：在空间中，如果用任意三个不共面的向量、代替两两垂直的向量、，还能否得出上述结论？类似于平面向量基本定理，我们将平面向量基本定理类推到空间，可得：如果三个向量、不共面，那么对于空间任一向量，存在有序实数组（x，y，z），使得，此即空间向量基本定理。空间所有向量的集合可以用来表示。叫做空间的一个基底，、都叫做基向量。思考4：那么空间任意三个向量都能构成一个基底吗？基底应注意什么？1. 空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底。2. 由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中每一个向量都不能为零向量。3. 一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。思考5：当基底是由特殊的向量构成时，空间向量基本定理可进一步简化。下面我们来介绍两个概念：正交基底和单位正交基底。正交基底：空间的一个基底的三个基向量互相垂直。单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量相互垂直，且长度为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用表示。设单位正交基底有公共起点O，以公共起点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz。则在此空间直角坐标系O-xyz中，O为坐标原点，对空间任一点P，对应一个向量。由空间向量基本定理可知，存在有序实数组（x，y，z），使得。此时，如图4所示，在单位正交基底构成的空间直角坐标系O-xyz中，与向量对应的有序实数组（x，y，z）叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作。其中，x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标。此即空间向量的坐标表示。图4三、随堂巩固练习（课件12-17页）例题1：设命题p：、是三个非零向量；命题q：为空间的一个基底，则命题p是命题q的( )。A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当非零向量、不共面时，可以当基底，否则不能当基底；反过来，当为基底时，一定有、为非零向量。所以选B。例题2：设、是空间向量的一个单位正交基底，则向量、的坐标分别是_。解析：是单位正交基底，故根据空间向量坐标表示的概念知：，。答案：(3,2,-1)，(2,4,2)。3. 如图5，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，点M、N分别是面A1B1C1D1和面AA1D1D的对角线的交点，请选取适当的基底表示向量、。图5分析：因为、有公共起点C，故可选、为空间向量的一组基向量，以达到最简化的表示。解：选取作为空间向量的一个基底，设、，则感悟：在几何体中，根据图形特点，选择公共起点最集中的向量中三个不共面的向量作为基底，更有利于解题。四、总结（课件18页）谈话：通过这堂课的学习，我们能够归纳总结向量在立体几何中的应用方法，即选定空间不共